公共課標(biāo)準(zhǔn)課程加強(qiáng)階段測(cè)試卷（數(shù)一答案）

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2023屆全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試（公共課標(biāo)準(zhǔn)課程加強(qiáng)階段測(cè)試卷）

數(shù)一答案

答題本卷須知

1．本試卷考試時(shí)間180分鐘，總分值150分。

2．試卷后面附有參考答案，供學(xué)員測(cè)試后核對(duì)。

針對(duì)性教學(xué)：一切以提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?yōu)樽谥?

一、選擇題(此題共8小題,每題4分,總分值32分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)

1D2A3B4C5A6C7B8D(1)設(shè)數(shù)列?xn?與?yn?滿足limxnyn?0，則以下說法正確的是（）

n??(A)若?xn?發(fā)散，則?yn?必發(fā)散．(B)若?xn?無界，則?yn?必有界．(C)若?x?1?n?有界，則?yn?必為無窮?。?D)若??x?為無窮小，則?yn?必為無窮?。畁?D.

舉反例：若取yn?0，則可排除A；若取xn?0，則?yn?可為任意數(shù)列，可排除C；取x?n,n為奇數(shù)n???0,n為偶數(shù),y?0,n為奇數(shù)n??，則可排除B；故正確答案為D.?n,n為偶數(shù)(2)設(shè)f?x?為連續(xù)函數(shù)，且F?x???lnx1f?t?dt，則F??x?為x(A)

1xf?lnx??1?1?x2f??x??．(B)f?lnx??f??1??x??．(C)

11xf?lnx???1?x2f??x??．(D)f?lnx??f??1??x??．A.

F??x???lnx????11f?t?dt??f?lnx??f??1???x?????1?x??1xf?lnx??1?1??2?x?x?x2f??x??.

(3)函數(shù)u?ln?x2?y2?z2?在點(diǎn)M?1,2,?2?處的梯度graduM為(A)?1,2,?2?．(B)29?1,2,?2?．(C)19?1,2,?2?．(D)29?1,?2,2?．

B.由于

?u2x??x?u2y?u2zx2?y2?z2,?y?x2?y2?z2,?z?x2?y2?z2,于是有g(shù)radu2442M?9i?9j?9k?9?1,2,?2?.

(4)微分方程y?4??2y???y?0的通解是

針對(duì)性教學(xué)：一切以提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?yōu)樽谥迹ǎ?/p>

（）

（）2(A)C1ex?C2x?C3e?x?C4.(B)C1ex?C2sinx?C3e?x?C4cosx.(C)?C1?C2x?ex??C3?C4x?e?x.(D)?C1?C2x?sinx??C3?C4x?cosx.C.

特征方程：r?2r?1?r?142?2?2?0，特征根r1?r2?1,r3?r4??1，應(yīng)選項(xiàng)C是正確的.

(5)設(shè)A,B,C均為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若B?E?AB,C?A?CA，則B?C為（）(A)E.(B)?E.(C)A．(D)?A．A.

B?BA.由B?E?AB，知?E?A?可見E?A與B互為逆矩陣，于是有B?E?A??E，故AB?E，

從而有B?C?E?AB?A?CA?E?BA?A?CA?E??A?，即，而B?CA?B?C??E?A???E?AE?A可逆，故B?C?E，應(yīng)選A.

(6)已知三階矩陣A的特征值為1,?2,2，則A?2A的正特征值的個(gè)數(shù)為（）(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．

C.

由于A的特征值為1,?2,2，則A?2A的特征值為

2212?2?1?3,??2??2???2??0,22?2?2?8,

顯然有兩個(gè)正特征值，應(yīng)選C.

(7)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均聽從區(qū)間?0,3?上的均勻分布，則Pmax?X,Y??1為（）

(A)0.(B)B.

由于X與Y相互獨(dú)立，所以

11111P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1??P?Y?1???0dx??0dy?.

3392??121.(C)．(D).993(8)若X和Y滿足D?X?Y??D?X?Y?，且D?X??0,D?Y??0，則必有（）

(A)X與Y相互獨(dú)立．(B)D?X??D?Y??0．(C)D?XY??D?X?D?Y?．(D)X和Y不相關(guān).D.根據(jù)題設(shè)有

D?X?Y??D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y?，

針對(duì)性教學(xué)：一切以提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?yōu)樽谥?因此Cov?X,Y??0，故?XY?0，X與Y不相關(guān).

二、填空題（此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上.）

910x211121314y?etany?21x?35[?1,1)8??a?b?c?R33x?0?1,3?(9)微分方程y?sinx?ylny滿足初始條件yx???e的特解是.

2y?etanx2.

tanx2分開變量后積分得通解y?Ce，再由yx???e得C?1，則特解為y?e2tanx2.

(10)曲線?5y?2???2x?1?在點(diǎn)?0,??處的切線方程為.y?35??1?5?21x?.3524由原方程得3?5y?2??5y??5?2x?1??2，將x?0,y??12代入其中得y??，故所求切線方程為53y?21x?.35(11)冪級(jí)數(shù)

?n?0?xn的收斂域是.n?1[?1,1).

???1??1an?11n?1,lim當(dāng)x?1時(shí)?發(fā)散，當(dāng)x??1時(shí)?收?lim?1,R?1，

n???n?1n?1n???ann?1n?2n?0n?0nan?斂，故收斂域?yàn)閇?1,1).

2(12)設(shè)?是?:?x?a???y?b???z?c??R的外側(cè)，則I?222????x2dydz?y2dzdx?z2dxdy?.??a?b?c?R.

383由高斯公式知I?2????x?y?z?dv?2?x?y?z?V?V為?的體積?

?48=2?a?b?c???R3???a?b?c?R3.

33?001???(13)已知三階矩陣A??x10?有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則參數(shù)x?.

?100???x?0.

針對(duì)性教學(xué)：一切以提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?yōu)樽谥???E?A=?x0?10????1????1?，由A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量知對(duì)于??1，A有兩

2??10?1?個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以r?E?A??1.

?10?1??10?1?????E?A???x00???00?x?，故x?0.

??101??000??????11,?3,x??0,??2?2??3,6,k使得P?X?k(14)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f?x???,x?若??，則k的取值范圍

3?9?0,其他.??是.?1,3?.由P?X?k?????kf?x?dx，易知

??22dx?；?k393??3622當(dāng)k??1,3?時(shí)，P?X?k???f?x?dx??0dx??dx?；

kk393622當(dāng)k??3,???時(shí)，P?X?k???dx?；

k932故要使得P?X?k??，則k的取值范圍是?1,3?.

3當(dāng)k????,1?時(shí)，P?X?k??f?x?dx??6三、解答題(此題共9小題,總分值94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值9分)

1求極限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.

3??????方法1：原式?limx?0e?2?cosx?xln??3??x3?2?cosx?ln??