勾股定理（知識點(diǎn)串講）解析版

專題08勾股定理的性質(zhì)應(yīng)用

（知識點(diǎn)考點(diǎn)大串講）

【知識點(diǎn)考點(diǎn)-思維導(dǎo)圖】

（?考點(diǎn)1:用勾股定麒三角形

烤點(diǎn)13:梯子滑額度、考點(diǎn)2:求兩點(diǎn)間的距離

?？键c(diǎn)14:求旗桿高度、。考點(diǎn)3:勾股數(shù)問題

烤點(diǎn)15:求4鳴飛行距離）（?？键c(diǎn)4:以直角三角形的三邊長為邊的三角形的面積

烤點(diǎn)16:求大樹折斷前的高度廣?？键c(diǎn)5:勾股定理與網(wǎng)§問題

烤點(diǎn)17:水杯中的筷祠1?烤點(diǎn)6:勾航理與折疊問題

應(yīng)用

烤點(diǎn)18:航海疆考點(diǎn)7:利用勾股定理求兩條線段的平方的和或差

烤點(diǎn)19:求河醵（。考點(diǎn)8:利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

烤點(diǎn)20：求酬上蜷長度烤點(diǎn)9:勾法理猴明方法

。考點(diǎn)21:求臺風(fēng)是否受影響?？键c(diǎn)10：以弦圖為背景的計(jì)算題

烤點(diǎn)22:選址6考點(diǎn)H:用勾股定理構(gòu)造圖形解決璃

烤點(diǎn)12:勾股談與穆數(shù)

?知識點(diǎn)一：勾股定理

◎考點(diǎn)1：用勾股定理解三角形

例1.（2021?陜西寶雞市?八年級期末）如圖，在RtSABC中，團(tuán)BCA=90°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),

AD=BD,若AB=8,BD=5,貝UCD=（）

C

DB

2.1B.1.4C.3.2D.2.4

【答案】B

【分析】

設(shè)CD=x,在RtMCD和RtElABC中，利用勾股定理列式表示出AC?,然后解方程即可.

【詳解】

解：設(shè)CD=x，則BC=5+x,

在RtHACD中,AC2=AD2-CD2=25-X2,

在Rtl3ABe中,AC2=AB2-BC2=64-(5+x)2,

所以，25切=64-(5+x)2,

解得x=1.4,

即CD=1.4.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，熟記定理并在兩個三角形列出等式表示出AC2,然后列出方程是解題

的關(guān)鍵.

練習(xí)1.(2021?山西臨汾市?八年級期末)如圖，在AABC中，AB^AC,以點(diǎn)C為圓心，

C3長為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)3和點(diǎn)。，再分別以點(diǎn)民。為圓心，大于,8。長為半徑

2

畫弧，兩弧相交于點(diǎn)”，作射線CM交于點(diǎn)E.若AE=4,8E=1,則EC的長度是

()

A

A.3B.5C.V5D.V7

【答案】A

【分析】

利用基本作圖得到CE，AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=5,然后利用勾股定理

計(jì)算即可;

【詳解】

由做法得C￡_LAB,則ZAEC=90°，

AC=AB=BB+AB=l+4=5,

在RtHACE中,

CE=y]AC2-AE2=A/52-42=3；

故答案選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.（2021?陜西寶雞市?八年級期末）已知一個直角三角形三邊的平方和為800,則這個

直角三角形的斜邊長為（）

A.20B.40C.80D.100

【答案】A

【分析】

直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，已知三邊的平方和可以求出斜邊的平方,

根據(jù)斜邊的平方可以求出斜邊長.

【詳解】

解：團(tuán)在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，

又團(tuán)己知三邊的平方和為800,則斜邊的平方為三邊平方和的一半，

即斜邊的平方為，800+2=400,

回斜邊長=日記=20,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活應(yīng)用，考查了勾股定理的定義，本題中正確計(jì)算

斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)3.（2020?浙江杭州市?九年級期末）某海防哨所0發(fā)現(xiàn)在它的西南方向A處有一艘船，

向正東AC方向航行，當(dāng)船行駛到距離A處400米的B處時，測得船位于海防哨所的南偏

東30。方向，則3。的長為（）

布▲北

酉-----\\0

工

,/4130）

//1、

F................i……飛

A.20073-200B.40073-400C.20073+200D.40073+400

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意得到AC=OC,BC=—OB,設(shè)BC=X,根據(jù)AC+BC=AB=400得到方程，解之即可得到

2

B0.

【詳解】

解：由題意可知I:0AOC=45O,0BOC=3O°,AB=400,

1

@AC=OC,BC=—OB,

2

設(shè)BC=x,則OB=2x,

0AC=OC=^（2X）2-X2=瓜，

0AC+BC=AB=4OO,

團(tuán)Gx+x=（G+1）X=400,

400

0X=-F=-=-200（V3-l）=20073-200,

V3+1

0BO=2x=40073-400，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，方位角，二次根式的除法，解題的

關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出AB.

◎考點(diǎn)2：求兩點(diǎn)間的距離

例1.（2021?江蘇揚(yáng)州市?八年級期末）已知點(diǎn)P（3機(jī),4-4m）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，若

。為原點(diǎn)，則線段P0的最小值為（）

2B.2.4C.2.5D.3

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求出兩點(diǎn)的距離OP=J（3m）2+（4-4m）2配方得={25（加—掾）+詈，

當(dāng)機(jī)="時，0Psi小=2.4即可.

25

【詳解】

P（3m,4-4m）,

OP=^（3//z）2+（4-4m）2，

=,25療一32加+16,

I3〃z=—，0P*小=—=2.4,

255

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理求兩點(diǎn)距離問題，掌握勾股定理兩點(diǎn)距離公式，會用配方法求最值是解題

關(guān)鍵.

練習(xí)1.（2020?福建福州市?八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-1,3）到原點(diǎn)的距離

是（）

A.MB.4C.272D.2

【答案】A

【分析】

根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解.

【詳解】

0P(-1，3),原點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

回點(diǎn)P(-b3)到原點(diǎn)的距離=，(一1一0)2+(3—0)2=9,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式，掌握"若A(xi,yi),B(X2,yz),則AB=

&972)2+(乂-必)2是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.(2020?四川省通江縣民勝職業(yè)高級中學(xué)八年級月考)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

P(3,n)與點(diǎn)Q(m,-4)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則PO的長為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出m,n的值，進(jìn)而利用勾股定理求得線段長度.

【詳解】

團(tuán)點(diǎn)P(3,n)與點(diǎn)Q(m,-4)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

0n=4,m=—3,

團(tuán)。P=J32+42=5>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)變化規(guī)律.

練習(xí)3.(2021?全國八年級)代數(shù)式+4+“12一X,+9的最小值為()

A.12B.13C.14D.11

【答案】B

【分析】

建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(X,0),設(shè)A(0,-2),B(12,3),過點(diǎn)B作BC取軸,

交AC于點(diǎn)C,則AB的長即為代數(shù)式&+4+^(12-X)2+9的最小值，然后根據(jù)Rt回ABC,

利用直角三角形的性質(zhì)可求得AB的值.

【詳解】

解：如圖所示：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(X,0),設(shè)A(0,-2),B(12,3),過點(diǎn)B作BC0X軸，交

AC于點(diǎn)C,

0BC=3-(-2)=5,AC=12

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短AB的長即為代數(shù)式&+4+J(12-療+9的最小值

22

MB=VBC+AC=13.

代數(shù)式乂？+4+,（12-尤）2+9的最小值為13.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了最短路線問題以及勾股定理的應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角

三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)3：勾股數(shù)問題

例1.（2021?廣東佛山市?八年級期末）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,3,4D.1,加,6

【答案】B

【分析】

根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足/+從=°2的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)，據(jù)此可判斷.

【詳解】

A.0.3、（）.4、0.5,不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，選項(xiàng)錯誤；

B.9、40、41，是正整數(shù)，且滿足92+4（）2=41?，是勾股數(shù)，選項(xiàng)正確；

C.2、3、4,是正整數(shù)，但22+32742,所以不是勾股數(shù)，選項(xiàng)正確；

D.1、及、百，不是正整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，選項(xiàng)錯誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股數(shù)的判定方法，解題關(guān)鍵是要看這組數(shù)是否為正整數(shù)，且滿足最小兩個數(shù)的

平方和等于最大數(shù)的平法.

練習(xí)1.（2021?陜西寶雞市?八年級期末）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.7,8,9C.6,8,10D.Q,近

【答案】C

【分析】

三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)

此判斷即可.

【詳解】

解：A,不是勾股數(shù)，因?yàn)?.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

B、不是勾股數(shù)，因?yàn)?2+82=92,此選項(xiàng)不符合題意；

C、是勾股數(shù)，因?yàn)?2+82=102,此選項(xiàng)符合題意；

D、不是勾股數(shù)，因?yàn)榘伲?，、后不是正整數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股數(shù)的概念，勾股數(shù)是指：①三個數(shù)均為正整數(shù)；②其中兩個較小的數(shù)的平方

和等于最大的數(shù)的平方.

練習(xí)2.（2021?江蘇泰州市?八年級期末）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.11,60,61D.1,6，2

【答案】C

【分析】

根據(jù)勾股數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】

解：442+52坨2,不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

B、1.5,2.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

C、1#+602=612,三個數(shù)都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

D、6不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意：

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足。2+5=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

練習(xí)3.（2021?山西長治市?八年級期末）下列各組數(shù)據(jù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.1,2,3

C.8,9,10D.5,6,9

【答案】A

【分析】

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最

長邊的平方.

【詳解】

解：A、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；

12+22^32.不能構(gòu)成三角形，故不是勾股數(shù)；

C、82+921102,不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù);

D、52+62^92.不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股數(shù)的定義及勾股定理的逆定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)4：以直角三角形的三邊長為邊的三角形的面積

例1.（2021?河南平頂山市?八年級期末）如圖，分別以RSABC的三邊為斜邊向外作等腰

直角三角形，若斜邊AB=6,則圖中陰影部分的面積為（）.

A.6B.12C.16D.18

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的面積公式，可以證明：以直角三角形的兩條直角邊為斜邊

的等腰直角三角形的面積和等于以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積.則陰影部分的面積

即為以斜邊為斜邊的等腰直角三角形的面積的2倍.

【詳解】

解：在RtBJAHC中，AC2=AH2+HC2,AH=HC,

E

0AC2=2AH2,

AC

0HC=AH=正,

BCAB

同理：CF=BF=-y^,BE=AE=《,

在RtEJABC中，AB2=AC2+BC2,AB=6,

111

SW/=SWAHC+ST)BFC+SKAEB=—HC,AHH-CF,BFH—AE,BE,

222

=^-(AB2+AB2)

=-AB2

1

=-x62

2

=18.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的知識，難度適中，解題關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理證明三個等腰直角三角形

的面積之間的關(guān)系.

練習(xí)1.（2021?河南開封市?八年級期末）如圖，直線I上有三個正方形a、b、c,若a、c的

面積分別為3和4,則b的面積為（)

A.B.4C.5D.7

【答案】D

【分析】

根據(jù)"AAS"可得至崛ABC03CDE,由勾股定理可得到b的面積=a的面積+c的面積.

【詳解】

解：如圖

03ACB+EIECD=9O°,EIDEC+(3ECD=90°,

00ACB=0DEC,

03ABe=I3CDE,AC=CE,

03ABCG0CDE,

0BC=DE,

0AC2=AB2+BC2,

E)AC2=AB2+DE2,

0b的面積

=a的面積+c的面積

=3+4

=7.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出

相等的量是解答此題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.(2021?山東煙臺市?七年級期末)如圖所示的圖案是由兩個直角三角形和三個正方形

組成的圖形，其中一直角三角形的斜邊和一直角邊長分別是13,12,則陰影部分的面積是

()

A.25B.16C.50D.41

【答案】C

【分析】

由勾股定理解得AB?、CD2+BD2＞再根據(jù)正方形邊長相等的性質(zhì)得到

CD2+BD2=BC2=AB2=25-據(jù)此解題即可.

【詳解】

解：由勾股定理得，482=132—122=25

?<-BC2=CD2+BD2

CD-+BD2=BC2=6=25

，陰影部分的面積是CD2+BD2+BC?=25+25=50，

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

練習(xí)3.(2020?浙江紹興市?八年級其他模擬)如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等

邊三角形，面積分別為S1、S2、S3；如圖2,分別以直角三角形三邊長為半徑向外作半圓，面

積分別為S-S'Se.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,貝!]S3+S4=()

A.86B.64C.54D.48

【答案】C

【分析】

分別用AB、BC和AC表示出Si、S2、S3,然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出Si、S2、S3的關(guān)系.同

理，得出S4、S5、S6的關(guān)系，即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：如圖1,過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為D,

甌ABE是等邊三角形，

00AED=0BED=3O°,設(shè)AB=x,

11

0AD=BD=—AB=-x,

22

__________伺

團(tuán)DE=yjAE2—AD2~x，

E1S2=-xxx—x=—AB2,

224

同理:s尸2A。，2走BC2,

44

0BC2=AB2-AC2,

團(tuán)S3=S2-S1,

如圖2,S4=L仕AB17rVAB2,

2U)8

2

同理S5=2AC2,S6=-BC,

88

則S4=Ss+S6,

053+54=45-16+11+14=54.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì).勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別

是a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

◎考點(diǎn)5：勾股定理與網(wǎng)格問題

例1.（2021?山西長治市?八年級期末）如圖，每個小正方形的邊長都相等，A,B,C是小正

方形的頂點(diǎn)，則NABC的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】A

【分析】

由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，從而得到13ABe的度數(shù).

【詳解】

解：如圖，連結(jié)AC,

4

B

C

由題意可得：

AB=Vl2+32=V10,AC=Vl2+22=A/5,BC=V12+22=A/5,

回AC=BC,AB2=AC2+BC2.

03ABC是等腰直角三角形，

I32ABC=I3BAC=45°,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

練習(xí)1.（2020?沈陽市雨田實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期末）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個小正

方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，若BO是AABC的邊AC上的高，則

的長為（）

B.*

A.—V26C.上小D.—V13

13713

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用割補(bǔ)法可得團(tuán)ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)

論.

【詳解】

解：由勾股定理得：AC-722+32=V13-

1117

EISHABC—3x3----xlx2------xlx3-----x2x3=一，

2222

17

團(tuán)一AC?BD=一,

22

0713*BD=7,

7

0BD——J13.

13

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理與三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.（2020?浙江省開化縣第三初級中學(xué)八年級期中）如圖，設(shè)每個小方格的邊長都為1,

則圖中以小方格頂點(diǎn)為端點(diǎn)且長度為炳的線段有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】D

【分析】

屈是直角邊長為2,3的直角三角形的斜邊，據(jù)此畫兩條以格點(diǎn)為端點(diǎn)口長度為舊的線

段.

【詳解】

解：回收甘=屈，

13是直角邊長為2,3的直角三角形的斜邊，

如圖所示，AB,CD,BE,DF的長都等于JI5；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是勾股定理，找到無理數(shù)是直角邊長為哪兩個有理數(shù)的直角三角形的斜邊

長是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)3.（2020?四川成都市?天府四中八年級期中）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個小正

方形的邊長都為1,△A6C的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則邊上的高為（）

A2VI0_Vio_Vion3M

551010

【答案】A

【分析】

首先，根據(jù)勾股定理求得A43C各邊的長度；然后，根據(jù)勾股定理逆定理推知AABC是直

角三角形；最后，根據(jù)面積法來求AABC中AB邊上的高.

【詳解】

解：設(shè)AA5C中AB邊上的高為〃.

QAB2^10,AC2=8>BC2=2.

.-.AB2=AC2+BC2，

:.ZACB=90°,

SDABC=；BCgAC=；AB期,即1&Js/22V2=I?Mh.

解得，力=竺3.

5

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面積的計(jì)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

?？键c(diǎn)6：勾股定理與折疊問題

例1（2021?陜西寶雞市?八年級期末）如圖，在長方形ACQ中，AB=3cm,AD=9cm,

將此長方形折疊，便點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，折痕為EF,則△ABE的面積為（）c病.

D.15

【答案】C

【分析】

設(shè)AE=x,由折疊BE=ED=9-x,再在Rt回ABE中使用勾股定理即可求出x,進(jìn)而求出I3ABE的面

積.

【詳解】

解：設(shè)AE=x,由折置可知：BE=ED=9-x,

在RtElABE中，由勾股定理有：AB2+AE2=BE2,代入數(shù)據(jù)：

32+x2=（9-x）2,解得x=4,

故AE=4,此時SMBE=gAExA6=；x4x3=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題中的勾股定理，利用折疊后對應(yīng)邊相等，設(shè)要求的邊為x,在一個直角

三角形中，其余邊用x的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立方程求解X.

練習(xí)1.（2021.河南南陽市?九年級期末）如圖①，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、

8,按如圖②方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)CB重合，折痕為DE,則△3CE與AADE的面積之

比為（）

A.2:3B.4:9C.9:25D.14:25

【答案】D

【分析】

由折疊可得AO=3Z)=5，AE=BE，根據(jù)勾股定理可得CE,AE，OE的長度，即可

求面積比.

【詳解】

解：\-BC=6,AC=8，

AB=10.

?.?折疊，

：.AD=BD=5,AE=BE，

BC2+CE2=BE2，

36+CE2=(8-C￡)2,

???C￡4

725

AE=8--=—

44

DE=JAE2-AD2=—,

4

SARC；:S^=—BCxCE:—xADxDE=14:25,

4JZ>CZJISnLn/Er,2?

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題，勾股定理，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理求線段的長度.

練習(xí)2.（2021?山西晉城市?八年級期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,

AC=12cm,BC=9cm,將斜邊AB翻折使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處,

折痕為AO,則CO的長為（）

A.4cmB.5cmC.JY7cmD.—cm

4

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE=AB,已知AC的長，可將CE

的長求出，再根據(jù)勾股定理列方程求解，即可得到CD的長.

【詳解】

解：在Rti3ABe中，AC=12cm.BC-9cm.

AB=+8c2=15cm,

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=AB=15cm,

0AC=12cm,

團(tuán)CE=AE-AO3cm,

設(shè)CD=xcm,貝ljBD=9-x=DE,

在RtfECDE中，根據(jù)勾股定理得

CD2+CE2=DE2,即X?+32=(9-x)2,

解得x=4,

即CD長為4cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊前后的對應(yīng)相等關(guān)系.解題時，我們常常

設(shè)要求的線段長為X,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度,

選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.

練習(xí)3.（2020?北京第二外國語學(xué)院成都附屬中學(xué)八年級月考）如圖所示，在長方形ABCD

中，AD=6,AB=10,若將長方形ABC。沿OE折疊，使點(diǎn)C落在A3邊上的點(diǎn)F處，

則線段CE的長為（）

10

C.一D.10

3

【答案】C

【分析】

設(shè)要求的線段CE的長為X，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到DF的長，并根據(jù)勾股定理求出AF的長,

在直角三角形BEF中將三邊用含有X的式子進(jìn)行表示，并用勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖所示：

設(shè)CE長為x,CE=EF—x,BE=6-x,

?.?△DCE^ADFE（翻折），

:.DC=DF=10,AD=6,

根據(jù)勾股定理可得：

AF2+AD2-DF2>

.?.AF=8，

.?.M=AB—AF=10—8=2，

回在RtAEB/7中，

BF2^EF2-BE2-

4=/-（6x）2,

4—x~一36+12x—x?>

12x=40,

4010

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察勾股定理得應(yīng)用，利用軸時稱的性質(zhì)和勾股定理在直角三角形BEF中建立三邊

長的等量關(guān)系，形成方程求解即可得到CE的長.

◎考點(diǎn)7：利用勾股定理求兩條線段的平方的和或差

例1.（2021?江蘇南京市?八年級期末）如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2.以

AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（）

A.8B.12C.18D.20

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理解得AB?的值，再結(jié)合正方形的面積公式解題即可.

【詳解】

在AABC中，NC=90°,AC=4,BC=2,

AB2=AC2+BC2=42+22=20

以AB為一條邊向三角形外部作的正方形的面積為AB2=2O,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

練習(xí)1.（2021?江蘇揚(yáng)州市?八年級期末）如圖，在I3ABC中，AB=6,AC=9,ADE1BC于D,

M為AD上任一點(diǎn)，則MC2-MB2等于（）

A.29B.32C.36D.45

【答案】D

【分析】

在RtEIABD及RtOADC中可分別表示出BD?及CD?,在RtElBDM及Rt0CDM中分別將BD2及CD?

的表示形式代入表示出BM2和MC2,然后作差即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：在RtSABD和RtfflADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

在Rt0BDM和RtECDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

1aMe2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分

別兩次運(yùn)用勾股定理求出MC2和MB?是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握.

練習(xí)2.（2020?寧波市鄴州藍(lán)青學(xué)校八年級期中）如圖，在AABC中，D,E分別是邊BC,

AC的中點(diǎn)，已知NACB=90°,BE=4,AD=7,則AB的長為（）.

A.2713B.573C.10D.2厲

【答案】A

【分析】

設(shè)CD=BO=x,CE^AE^y,在RtzXACD和中，利用勾股定理可證得

/+;/=]3,在Rt回ABC中，利用AB=J(2x)2+(2y)2即可求解.

【詳解】

設(shè)CD=BD=x，CE=AE=y,

在RtA4C￡>中，x2+(2y)2=72,①

在RSBCE中，J/+QX)2=42,②

①+②，5f+5y2=65,

0x2+y2=13.

在RtHABC中,

AB=J3+叱=J(2X)2+(2y)2=2岳,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，借助中點(diǎn)的定義，靈活運(yùn)用勾股定理是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)3.（2020?江蘇南京市第二十九中學(xué)八年級期中）如圖，在中，NACB=90°.若

AB=15,則正方形AOEC和正方形CEGB的面積和為（）

A.150B.200C.225D.125

【答案】c

【分析】

小正方形的面積為AC的平方,大正方形的面積為BC的平方.兩正方形面積的和為AC2+BC2,

對于Rt回ABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和.

【詳解】

解：正方形ADEC的面積為：AC2,

正方形BCFG的面積為：BC2；

在RtEJABC中，AB2=AC2+BC2,AB=15,

則AC2+BC2=225.

即正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理.關(guān)鍵是根據(jù)由勾股定理得AB2=AC2+BC2.注意勾股定理應(yīng)用的前提條

件是在直角三角形中.

◎考點(diǎn)8：利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

例1.（2021?山西臨汾市?八年級期末）已知中，NA,DB,NC的對邊分別為。、

b、C,若ZB=90。，則（）.

A.b2=a2+c2B.c2^a2+b2

C.a2=c2+h2D.a+b=c

【答案】A

【分析】

先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理即可得.

【詳解】

由題意，畫出圖形如下：

由勾股定理得：b2=a2+c2,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確畫出圖形是解題關(guān)鍵.

練習(xí)1.（2020?江蘇鹽城市?八年級月考）在△ABC中，!2BAC=90。,則下列結(jié)論成立的是（)

A.BC=AC+BCB.AC2=AB2+BC2

C.AB2=AC2+BC2D.BC2=AB2+AC2

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：在回A8C中，團(tuán)BAC=90°,根據(jù)勾股定理可得5c2=A52+AC2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.（2020?溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）2020年溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)文化節(jié)征稿文化節(jié)

LOGO,小明利用古希臘醫(yī)學(xué)家希波克拉底所畫圖形進(jìn)行設(shè)計(jì).如圖AAHC內(nèi)接于一個

半徑為5的半圓，NACB=90°,分別以AB，BC,AC為直徑向外作半圓.若陰影部

分圖形面積之和是空白部分圖形面積之和的3倍，則AABC的面積為（）

25萬

A.5nB.7.5乃D.10萬

-3~

【答案】B

【分析】

設(shè)AC=a,BC=b,由勾股定理可求得a2+b2=102,由三角形的面積公式和圓的面積公式分別求

出空白部分圖形面積和陰影部分圖形面積，利用陰影部分圖形面積之和是空白部分圖形面積

之和的3倍可求得ab,進(jìn)而可求得回ABC的面積.

【詳解】

解：設(shè)AC=a,BC=b,由題意，AB=10,

0a2+b2=lO2,

251

由圖可知，空白部分面積為(，萬一一ab),

22

陰影部分面積=—x(—)2^+X-X(-)2^-+-7/?--+

22222<22

(4+〃)25,

=-----------7T-----7T+ab

82

10025,

82

=ab,

回陰影部分圖形面積之和是空白部分圖形面積之和的3倍，

,251,

Bab=3(——n——ab),

22

解得：ab=15兀，

1,-L

EEABC=—ab-7.5%.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的面積公式、三角形的面積公式、勾股定理、解方程等知識，熟記面積公式,

利用割補(bǔ)法和整體思想解決問題是解答的關(guān)鍵.

練習(xí)3.(2020?洛陽市第二十六中學(xué)八年級月考)如圖，以RtM8C為直徑分別向外作半圓，

若51=10,$3=8,則52=()

A.2B.6C.垃D.76

【答案】A

【分析】

222

根據(jù)勾股定理，得：AB+BC=AC,再根據(jù)圓面積公式，可以證明：Si+S2=S3.即52=10-

8=2.

【詳解】

^AB2+BC2=AC2,任］，AC2；

'2I2J8

。1fAB?7T-AB2

s2=aUk；

。1fBC?^-BC2

32L2J8

22

cc乃?AB?^--BC兀（AWD?7\AC

52+53=-------------+-------------=—AB+BC~=-------=5i，

888、78

故52=51-S3=10-8=2.

故選A.

【點(diǎn)睛】

注意根據(jù)圓面積公式結(jié)合勾股定理證明：$1+52=53,即直角三角形中，以直角邊為直徑的兩

個半圓面積的和等于以斜邊為直徑的半圓面積.

◎考點(diǎn)9:勾股定理的證明方法

例1.（2020?河南鄭州市?八年級期中）1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)

證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE,在一條直線上，證明中用到的面

積相等關(guān)系是（）

AbEaB

A.S&EDA=S&CEBB.SMDA+S&CDE+S&CEB=S四邊形ABCD

S&EDA+S&CDE

C.S&CEB=D-S四邊形AEC。-S四邊形OE8C

【答案】B

【分析】

直接根據(jù)梯形ABCD的面枳的兩種算法進(jìn)行解答即可.

【詳解】

解：由圖形可得：S.+SLCDE+S&CEB~S四邊形ABC。

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的證明方法，將圖形的面積用兩種方式表示出來成為解答本題的關(guān)

鍵.

練習(xí)1.（2020?遼寧鐵嶺市?八年級期中）如圖，兩個大正方形的面積分別為132和108；則

小正方形M的面積為（）

M

\132

108\

A.240B.4-715C.276D.24

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理的驗(yàn)證可得〃=132—108即可得解；

【詳解】

根據(jù)勾股定理的驗(yàn)證可得：M=132-108=24；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的驗(yàn)證，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.（2020?山西八年級期中）圖中不能證明勾股定理的是（）

【答案】A

【分析】

根據(jù)各個圖象，利用面積的不同表示方法，列式證明結(jié)論/+〃=。2,找出不能證明的那

個選項(xiàng).

【詳解】

解：A選項(xiàng)不能證明勾股定理；

21

B選項(xiàng)，通過大正方形面積的不同表示方法，可以列式(a+b)=4x-ab+c2,可得

a2+b2=c2

C選項(xiàng)，通過梯形的面積的不同表示方法，可以列式(a+b)+示可得

222

a2+b2=c2:

D選項(xiàng)，通過這個不規(guī)則圖象的面積的不同表示方法，可以列式

22222

c+2x—ab-a+b+2x—ab,可得a2+/,-c.

22

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的證明方法.

練習(xí)3.(2020?鄭州市中原區(qū)第一中學(xué)八年級月考)下面各圖中，不能證明勾股定理正確性

的是()

【答案】C

【分析】

把各圖中每一部分的面積和整體的面積分別列式表示，根據(jù)每一部分的面積之和等于整體的

面積，分別化簡，再根據(jù)化簡結(jié)果即可解答.

【詳解】

解：A、S—ab+—c2+—ab=—(a+b)(a+b),

2222

回整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、B4x—ah+(b-a)2—c2,

2

團(tuán)整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；

D、E14x—ah+c2—(a+b)2,

2

團(tuán)整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是利用構(gòu)圖法來證明勾股定理.

◎考點(diǎn)10：以弦圖為背景的計(jì)算題

例1.(2021?山西臨汾市?八年級期末)如圖，圖1是我國古代著名的"趙爽弦圖”的示意圖,

它是由四個全等的直角三角形圍成的，若AC=6,6C=5,將四個直角三角形中的邊長為6

的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車"，則這個風(fēng)車的外圍周長是()

圖1

A.24D.76

【答案】D

【分析】

由題意回ACB為直角，AD=6,利用勾股定理求得BD的長，進(jìn)一步求得風(fēng)車的外圍周長.

【詳解】

解：依題意HACB為直角，AD=6,

0CD=6+6=12,

由勾股定理得，BD2=BC2+CD2,

0BD2=122+52=169,

所以BD=13,

所以"數(shù)學(xué)風(fēng)車"的周長是：（13+6）x4=76.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.在直角三角形中,

如果兩條直角邊分別為a和b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

練習(xí)1.（2020?甘肅張掖市?張掖四中八年級期末）如圖，兩個較大正方形的面積分別為225,

289,則字母A所代表的正方形的面積為（）

A.514B.8C.16D.64

【答案】D

【分析】

設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c,由題意得/+廿=02,代入得到6+225=289,

計(jì)算求出答案即可.

【詳解】

如圖，設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c,由題意得

a2+b2-c2，

13a2+225=289,

團(tuán)字母A所代表的正方形的面積Y=64,

【點(diǎn)睛】

此題考查以弦圖為背景的證明，熟記勾股定理的計(jì)算公式、理解三個正方形的面積關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

練習(xí)2.（2020?江蘇南通市?八年級期末）如圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼

成的大正方形.若小正方形邊長為3,大正方形邊長為15,則一個直角三角形的面積等于

()

A.36B.48C.54D.108

【答案】c

【分析】

根據(jù)圖形的特征先算出4個三角形的面積之和，再除以4,即可求解.

【詳解】

由題意得：15x15-3x3=216,

216+4=54,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查“趙爽弦圖"的相關(guān)計(jì)算，理清圖形中的面積關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)3.（2021?重慶七年級期末）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)如圖所示,

它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積

是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較長直角邊為a,較短直角邊為b