動量守恒定律和能量守恒定律

本文格式為Word版，下載可任意編輯——動量守恒定律和能量守恒定律第三章動量守恒定律和能量守恒定律

3-1一架以3.0?10ms的速率水平飛行的飛機，與一只身長為0.20m、質量為0.50kg的飛鳥相碰。設碰撞后飛鳥的尸體與飛機具有同樣的速度，而原來飛鳥對于地面的速率很小，可以忽略不計。估計飛鳥對飛機的沖擊力，根據此題的計算結果，你對高速運動的物體與尋常狀況下不足以引起危害的物體相碰后產生后果的問題有什么體會？

解：以飛鳥為研究對象，其初速為0，末速為飛機的速度，由動量定理。

2?1F?t?mv?0,?t?l聯(lián)立兩式可得：vmv2F??2.25?105N

l飛鳥的平均沖力F'??F??2.25?10N

式中的負號表示飛機受到的沖擊力與飛機的運動速度方向相反。

從計算結果可知F'??F??2.25?10N大于鳥所受重力的4.5萬倍。可見，沖擊力是相當大的。因此告訴運動的物體與尋常狀況下不足以引起危險的物體相碰，可能造成嚴重的后果。

3-2質量為m的物體，由水平面上點O以初速為v0拋出，v0與水平面成仰角?。若不計空氣阻力。求：（1）物體從發(fā)射點O到最高點的過程中，重力的沖量；（2）物體從發(fā)射點到落回至同一水平面的過程中，重力的沖量。

解：（1）在垂直方向上，物體m到達最高點時的動量的變化量是：

55?P1?0?mvsin?

而重力的沖擊力等于物體在垂直方向的動量變化量：

I1??P1?0?mvsin???mv0sin?

（2）同理，物體從發(fā)射點到落回至同一水平面的過程中，重力的沖力等于物體豎直方向上的動量變化量

I2??P2?mv2?mv1??mvsin??mvsin???2mvsin?

負號表示沖量的方向向下。

3-3高空作業(yè)時系安全帶是十分必要的。假使一質量為51.0kg的人，在操作時不慎從高空跌落下來，由于安全帶保護，最終使他懸掛起來。已知此時人離原處的距離為2.0m，安全帶彈性緩沖作用時間為0.50s。求安全帶對人的平均沖力。

解：在人下落的整個過程中，重力的沖量和安全帶沖量相等，但方向相反。設人自由落體的那段時間為t

t?2hg則Img?IF?mv2?mv1?0

mg(t_0.5)?F?0.5?0，代入h?2.0m,g?9.8ms?2,m?51.0kg

F?mg(t?0.50)/0.50??1.14?103N

3-4質量為m的質點作圓錐擺運動，質點的速率為v，圓半徑為R。圓錐母線與軸線之間的夾角為?，計算拉力在一周內的沖量。

解：建立圖3-4所示的三維直角坐標系z根據功能原理，質點運動一周內，合力的沖量為kIr?IT?Ip??mv?0

所以拉力在一周內的沖量為

i2?RK圖3-4jyIT??Ip??(?mg?T?K)?mgT為拉力，P為重力。

3-5一作斜拋運動的物體，在最高點炸裂為質量相等的兩塊，最高點距離地面19.6m爆炸1.00s后，第一塊落到爆炸點正下方的地面上，此處距拋出點的水平距離為1.00×102m。問其次塊落在距拋出點多遠的地面上。（不計空氣阻力）

解：建立如圖3-5所示的坐標系，爆炸后，兩碎片落地后，拋出點的距離分別為x1,x2，爆炸前物體的運動時間為：t0?2hgx1t012gt12物體在最高點只有水平速度：V0?爆炸后，第一塊的速度為V1，經時間t1落地，則：h?V1t1?爆炸前后系統(tǒng)動量守恒，其分量式為x方向：mV0?y方向：0?1V2x211mV2y?mV122爆炸后，其次塊作斜拋運動，經過時間t2落地，則：

x2?x1?V2xt2

y2?h?V2yt2?落地時，y2?0

聯(lián)立所有式子，得：x2?500m

3-6A、B兩船在恬靜的湖面上平行逆向航行，當兩船擦肩相遇時，兩船各自向對方平

穩(wěn)的傳遞50kg的重物，結果是A船停下來，而B船以3.4m/s的速度繼續(xù)向前駛去。A、B

12gt22兩船原有質量為0.5?103kg和求在傳遞重物前兩船的速度。（忽略水對船的阻1.0?103kg，力）。

解：由于忽略水對船的阻力，滿足水平方向動量守恒定律。設兩船的速度分別為VA0、

VB0，末速度為VAt、VBt原來的質量分別為MA、MB轉移的質量為m

對上述系統(tǒng)I應用動量守恒定律：（搬出重物后A船與從B船搬入的重物為一個系統(tǒng)）

(MA?m)VA0?mVB0?MAVAt

對系統(tǒng)II應用動量守恒定律：（B船與從A船搬入的重物為一個系統(tǒng)）

(MB?m)VB0?mVA0?MBVBt

由上面兩式聯(lián)立解出：

VA0?VB0??MBmVBt(MB?m)(MA?m)?m2(MA?m)MBVBt(MA?m)(MB?m)?m2

將已知數(shù)據代入得

VA0??0.40m?s?1(負號表示與B船的速度方向相反)VB0?3.6m?s?1

3-7質量為m'的人手里拿著一個質量為m的物體，此人用與水平面成?角的速率v0向前跳去。當他達到最高點時，他將物體相對于人為u的水平速度向后拋出。問：由于拋出物體，他騰躍的距離增加了多少？（假設人可視為質點）

解：把人與物可視為一系統(tǒng)，當人騰躍到最高處，向左拋出的過程中，滿足動量守恒定律，有

(m?m')v0cos??m'v?m(v?u)mv?v0cos??um'?m人從最高點開始水平運動的距離為

S1?(v0cos??vsin?mu)?0m'?mg假使不拋物人從最高點開始水平運動的距離為

S2?v0cos??v0sin?g人騰躍后增加的距離為

?S?S1?S2?mv0sin?u

(m'?m)g3-8一質量均勻溫和的繩豎直的懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。假使把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證明：在繩下落過程中的任意時刻，作用于桌面上的壓力等于已落到桌面下繩的重量的三倍。

證：以繩子上端初始位置為坐標原點，豎直向下為y軸正向，繩子的線密度為?，設在t時間內落到桌面上的繩子長度為y，這段繩子所受的重力為G?mg??yg，對于t~t?dt內下落繩子長設為dy，桌面對繩子的沖力為F

由動量定理

dPdmdy?V?V??V2?dtdtdt桌面在t?dt時間內所受的合力為F??F?G?F??gy?V?F?3?yg?3G

證畢。

2?

由自由落體運動V2?2gy，帶入上式：

3-9設在地球表面附近，一初質量為5.00?105kg的火箭，從尾部噴出氣體的速率為

2.00?103m?s?1。（1）試問：每秒噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度為4.90?10m?s?2；（2）若火箭的質量比為6.00，求該火箭的最終速率？

解：以繩子上段初始位置為坐標原點，豎直向下為y軸的正向，繩子的線密度為λ，設在t時間內落到桌子上的繩子的長度為y，這段繩子所受的重力為G=mg=λyg，對于t~t+dt內下落的繩子長設為dy，桌面對繩子的沖擊力為F

由動量守定律

F?dpdmdy?v?v??v2?dtdtdt2桌面在t+dt時間內所受的合力為

?F?G?F??gy?v?

自由落體運動v?2gy，代入上式得：

2?F?3?gy?3G

證畢。

3-10設在地球表面附近，一初質量為5.00?10kg的火箭，從尾部噴出的氣體的速率為2.00?10ms。試問：（1）每秒需噴出多少氣體，才能使火箭最初向上的加速度大小為

3?154.90ms?2；（2）若火箭的質量比為6.00，求該火箭的最終速率。

解：（1）設火箭受氣體的沖擊力為F，則F?v0再由牛頓其次定律得：

dmdtv0dm?mg?ma(1)dt現(xiàn)在考慮m0?5.00?105kg,a0?4.9ms?2,v0?2.00?103ms?1。則燃料噴出率為：

dmm0(g?a0)??3.68?103kg?s?1dtv0（1）將a?dv代入（1）式，分開變量并積分可得：dtvmdmt?v0???gdt(2)?v0dv'm0m0所以v?v0'?v0lnm?gtm0dm?tdt?1解得：t?5m0(3)

dmm066dt由于

m1?即m06m0?將（3）式代入（2）式并考慮初始條件可得火箭的最終速率為：

vt?v0lnm?gt?2.47?103ms?1m0?2?13-11一火箭垂直向上發(fā)射，它的氣體質量排出率恒為5.00?10m?s，其中m0是火箭最初的質量。火箭排除的氣體相對于火箭的速率為5.00?10m?s。求發(fā)射后火箭速率和高度。（重力略去不計）

解：以發(fā)射點為原點建立垂直向上的坐標軸oy，設t時刻火箭（含未排除氣體）的質量為m，速率為v，