初等數(shù)論習(xí)題 v2

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1.證明：若m?p?mn?pq，則m?p?mq?np。

2.證明：任意給定的連續(xù)39個(gè)自然數(shù)，其中至少存在一個(gè)自然數(shù)，使得

這個(gè)自然數(shù)的數(shù)字和能被11整除。

3.設(shè)p是n的最小素約數(shù)，n=pn1，n1>1，證明：若p>3n，則n1是

素?cái)?shù)。

4.證明：存在無窮多個(gè)自然數(shù)n，使得n不能表示為a?p（a>0是整

數(shù)，p為素?cái)?shù)）的形式。5.證明：12?n4?2n3?11n2?10n，n?Z。

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6.設(shè)3?a?b，證明：3?a且3?b。

7.設(shè)n，k是正整數(shù)，證明：nk與nk+4的個(gè)位數(shù)字一致。

8.證明：對(duì)于任何整數(shù)n，m，等式n?(n?1)=m?2不可能成立。9.設(shè)a是自然數(shù)，問a?3a?9是素?cái)?shù)還是合數(shù)？

10.證明：對(duì)于任意給定的n個(gè)整數(shù)，必可以從中找出若干個(gè)作和，使得

這個(gè)和能被n整除。11.設(shè)x，y?Z，17?2x?3y，證明：17?9x?5y。

12.設(shè)a，b，c?N，c無平方因子，a2?b2c，證明：a?b。

32n?113.設(shè)n是正整數(shù)，求C1的最大公約數(shù)。2n,C2n,?,C2n2

222

42

14.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：(a?b)[a,b]=a[b,a?b]。15.求正整數(shù)a，b，使得a?b=120，(a,b)=24，[a,b]=144。16.設(shè)a，b，c是正整數(shù)，證明：

[a,b,c]2[a,b][b,c][c,a]k

k

?(a,b,c)2(a,b)(b,c)(c,a)k

。

17.設(shè)k是正奇數(shù)，證明：1?2???9?1?2???9。

18.用輾轉(zhuǎn)相除法求整數(shù)x，y，使得1387x?162y=(1387,162)。19.計(jì)算：(27090,21672,11352)。

20.使用引理1中的記號(hào)，證明：(Fn+1,Fn)=1。

21.若四個(gè)整數(shù)2836，4582，5164，6522被同一個(gè)大于1的整數(shù)除所得的

余數(shù)一致，且不等于零，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？22.記Mn=2n?1，證明：對(duì)于正整數(shù)a，b，有(Ma,Mb)=M(a,b)。23.寫出22345680的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

24.證明：在1,2,,2n中任取n1數(shù)，其中至少有一個(gè)能被另一個(gè)整

1

除。25.證明：1?12???1n（n?2）不是整數(shù)。

26.設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：存在a1，a2，b1，b2，使得a=a1a2，b=b1b2，

(a2,b2)=1，并且[a,b]=a2b2。27.求使12347!被35整除的最大的k值。28.設(shè)n是正整數(shù)，x是實(shí)數(shù)，證明：?[r?1?k

n?22rr?1]=n。

29.設(shè)n是正整數(shù)，求方程x2?[x2]=(x?[x])2在[1,n]中的解的個(gè)數(shù)。30.證明：方程f(x)=[x]?[2x]?[22x]?[23x]?[24x]?[25x]=12345沒有實(shí)數(shù)解。

31.證明：在n!的標(biāo)準(zhǔn)分解式中，2的指數(shù)h=n?k，其中k是n的二進(jìn)

制表示的位數(shù)碼之和。

32.證明：若2n?1是素?cái)?shù)，則n是2的乘冪。33.證明：若2n?1是素?cái)?shù)，則n是素?cái)?shù)。34.證明：形如6n?5的素?cái)?shù)有無限多個(gè)。

35.設(shè)d是正整數(shù)，6?|d，證明：在以d為公差的等差數(shù)列中，連續(xù)三項(xiàng)都是素?cái)?shù)的狀況最多發(fā)生一次。

36.證明：對(duì)于任意給定的正整數(shù)n，必存在連續(xù)的n個(gè)自然數(shù)，使得它

們都是合數(shù)。37.證明：級(jí)數(shù)?n?1?1pn發(fā)散，此處使用了定理1注2中的記號(hào)。

38.求8

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被13除的余數(shù)。

39.設(shè)f(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，并且f(1),f(2),?,f(m)都不能被m整除，則f(x)

=0沒有整數(shù)解。40.已知99?62??427，求?與?。

41.證明：若2p?1是奇素?cái)?shù)，則(p!)2?(?1)p?0(mod2p?1)。42.證明：若p是奇素?cái)?shù)，N=1?2???(p?1)，則(p?1)!?p?1(mod

N)。43.證明Wilson定理的逆定理：若n>1，并且(n?1)!??1(modn)，則

n是素?cái)?shù)。44.設(shè)m是整數(shù)，4?m，{a1,a2,?,am}與{b1,b2,?,bm}是模m的兩個(gè)完全

剩余系，證明：{a1b1,a2b2,?,ambm}不是模m的完全剩余系。45.設(shè)m1,m2,?,mn是兩兩互素的正整數(shù)，?i（1?i?n）是整數(shù)，并且?i

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?1(modmi)，1?i?n，?i?0(modmj)，i?j，1?i,j?n。

46.證明：當(dāng)bi通過模mi（1?i?n）的完全剩余系時(shí)，b1?1?b2?2???bn?n通過模m=m1m2?mn的完全剩余系。47.設(shè)m1,m2,?,mn是兩兩互素的正整數(shù)，xi分別通過模mi的簡(jiǎn)化剩余系

（1?i?n），m=m1m2?mn，Mi=過模m的簡(jiǎn)化剩余系。

48.設(shè)m>1，(a,m)=1，x1,x2,?,x?(m)是模m的簡(jiǎn)化剩余系，證明：

?(m)i?1mmi，則M1x1?M2x2???Mnxn通

?{axim}?12?(m)。其中{x}表示x的小數(shù)部分。

49.設(shè)m與n是正整數(shù)，證明：?(mn)?((m,n))=(m,n)?(m)?(n)。

50.設(shè)a，b是任意給定的正整數(shù)，證明：存在無窮多對(duì)正整數(shù)m與n，使

得a?(m)=b?(n)。51.設(shè)n是正整數(shù)，證明：(ⅰ)?(n)>

?n?n。

52.證明：1978103?19783能被103整除。

53.求313被7除的余數(shù)。54.證明：對(duì)于任意的整數(shù)a，(a,561)=1，都有a560?1(mod561)，但561

是合數(shù)。

55.設(shè)p，q是兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，證明：p56.將612?1分解成素因數(shù)之積。57.求?d|n12n；(ⅱ)若n是合數(shù)，則?(n)

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q?1

?q

p?1

?1(modpq)。

1d。

58.設(shè)f(n)是積性函數(shù)，證明：(ⅰ)??(d)f(d)??(1?f(p))

d|np|n(ⅱ)??2(d)f(d)??(1?f(p))。

d|np|n59.求?(n)的Mobius變換。

60.寫出789的二進(jìn)制表示和五進(jìn)制表示。61.求

821的小數(shù)的循環(huán)節(jié)。

62.證明：七進(jìn)制表示的整數(shù)是偶數(shù)的充要條件是它的各位數(shù)字之和為偶

數(shù)。

3

63.證明：既約正分?jǐn)?shù)

mn的b進(jìn)制小數(shù)(0?a?1a?2a?3?)b為有限小數(shù)的充要

條件是n的每個(gè)素因數(shù)都是b的素因數(shù)。64.設(shè)連分?jǐn)?shù)??1,?2,?,?n,??的第k個(gè)漸近分?jǐn)?shù)為

a110?1a210?1a3?0?1??00??????0?10ak?11?1ak000001000a210?1a300?1??0pkqk0????，證明：

000pk?00???0，qk????0??0?10，

?1akak?1165.設(shè)連分?jǐn)?shù)??1,?2,?,?n,??的第k個(gè)漸近分?jǐn)?shù)為

?a1??1?1??a2???0???11??ak????0???11??pk????0???qkpkqk，證明：

pk?1??，k?2。qk?1??66.求連分?jǐn)?shù)?1,2,3,4,5,??的前三個(gè)漸近分?jǐn)?shù)。67.求連分?jǐn)?shù)?2,3,2,3,??的值。

68.解不定方程：7x?9y=4。69.求13的連分?jǐn)?shù)。

70.求2?3的誤差?10?5的有理迫近。71.求sin18?的誤差?10?5的有理迫近。

72.已知圓周率?=?3,7,15,1,292,1,1,1,21,??，求?的誤差?10?6的

有理迫近。73.證明：

1?25連分?jǐn)?shù)展開的第k個(gè)漸近分?jǐn)?shù)為

Fk?1Fk。此處{Fn}是

Fibonacci數(shù)列。

74.將方程3x2?2x?2=0的正根寫成連分?jǐn)?shù)。

?,3??之值。75.求?=?1,2276.設(shè)a是正整數(shù)，求a?1的連分?jǐn)?shù)。

77.設(shè)無理數(shù)d=?a1,a2,?,an,??的第k個(gè)漸近分?jǐn)?shù)為

pkqk，證明：

4

?2,?,an,2a?1?的充要條件是d??a1,apn=a1qn?qn?1，dqn=a1pn?

pn?1。

78.設(shè)無理數(shù)d=?a1,a2,?,an,??的第k個(gè)漸近分?jǐn)?shù)為

pkqk，且正整數(shù)

n使得pn=a1qn?qn?1，dqn=a1pn?pn?1，

79.證明：(ⅰ)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，pn，qn是不定方程x2?dy2=1的解；

(ⅱ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，p2n，q2n是不定方程x2?dy2=1的解。80.將

17105寫成三個(gè)既約分?jǐn)?shù)之和，它們的分母分別是3，5和7。

81.求方程x1?2x2?3x3=41的所有正整數(shù)解。82.求解不定方程組：??x1?2x2?3x3?7?2x1?5x2?20x3?11。

83.甲班有學(xué)生7人，乙班有學(xué)生11人，現(xiàn)有100支鉛筆分給這兩個(gè)班，

要使甲班的學(xué)生分到一致數(shù)量的鉛筆，乙班學(xué)生也分到一致數(shù)量的鉛筆，問應(yīng)怎樣分法？

84.證明：二元一次不定方程ax?by=n，a>0，b>0，(a,b)=1的非負(fù)

整數(shù)解的個(gè)數(shù)為[nab]或[nab]?1。

85.設(shè)a與b是正整數(shù)，(a,b)=1，證明：1,2,?,ab?a?b中恰有

(a?1)(b?1)2個(gè)整數(shù)可以表示成ax?by（x?0，y?0）的形式。

86.設(shè)x，y，z是勾股數(shù)，x是素?cái)?shù)，證明：2z?1，2(x?y?1)都是平方

數(shù)。

87.求整數(shù)x，y，z，x>y>z，使x?y，x?z，y?z都是平方數(shù)。88.解不定方程：x2?3y2=z2，x>0，y>0，z>0，(x,y)=1。89.證明下面的不定方程沒有滿足xyz