2023屆數(shù)學(xué)2.9函數(shù)的應(yīng)用

(時(shí)間：60分鐘)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1.有一批材料可以圍成200m長(zhǎng)的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地(如圖)，且內(nèi)部用此材料隔成三個(gè)面積相等的矩形，則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為()A．1000m2B．2000m2C．2500m2D．3000m2答案C解析設(shè)圍成的場(chǎng)地寬為xm，面積為ym2，則y＝3x(200－4x)×eq\f(1,3)＝－4x2＋200x(0<x<50)．當(dāng)x＝25時(shí)，ymax＝25×100＝2500.∴圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為2500m2.2．(2023·湖北改編)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式：M＝lgA－lgA0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_(kāi)_______級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_______倍．()A．61000B．41000C．610000D．410000答案C解析由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震級(jí)為6級(jí)．設(shè)9級(jí)地震的最大振幅為A1,5級(jí)地震的最大振幅為A2，則lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.∴eq\f(A1,A2)＝104＝10000，∴9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的10000倍．3．某電信公司推出兩種收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出時(shí)間t(分鐘)與打出費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出150分鐘時(shí)，這兩種方式費(fèi)相差()A．10元B．20元C．30元D.eq\f(40,3)元答案A解析設(shè)A種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s＝k2t，當(dāng)t＝100時(shí)，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150時(shí)，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10.4.某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位：10萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(如右圖所示)，則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年時(shí)，其營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大()A．3B．4C．5D．6答案C解析由題圖可得營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y＝－(x－6)2＋11，則營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12，∵x∈N*，∴eq\f(y,x)≤－2eq\r(x·\f(25,x))＋12＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(25,x)，即x＝5時(shí)取“＝”．∴x＝5時(shí)營(yíng)運(yùn)的平均利潤(rùn)最大．二、填空題(每小題5分，共15分)5.如圖，書(shū)的一頁(yè)的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書(shū)面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁(yè)書(shū)的長(zhǎng)、寬應(yīng)分別為_(kāi)___________．答案30cm、20cm解析設(shè)長(zhǎng)為acm，寬為bcm，則ab＝600，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝30，b＝20時(shí)，S最大＝486.6．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.答案9解析設(shè)出租車行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8))由y＝22.6，解得x＝9.7．(2023·紹興模擬)2023年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1.25%，則________年我國(guó)人口將超過(guò)20億．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)答案2037解析由已知條件：14(1＋1.25%)x－2008>20，x－2008>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)＝28.7，則x>2036.7，即x＝2037.三、解答題(共25分)8．(12分)如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？求出這個(gè)最大面積．解設(shè)四邊形EFGH的面積為S，由題意得S△AEH＝S△CFG＝eq\f(1,2)x2，S△BEF＝S△DHG＝eq\f(1,2)(a－x)·(b－x)．由此得S＝ab－2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x))＝－2x2＋(a＋b)x＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8).函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0<x≤b}，因?yàn)閍>b>0，所以0<b<eq\f(a＋b,2).若eq\f(a＋b,4)≤b，即a≤3b，x＝eq\f(a＋b,4)時(shí)面積S取得最大值eq\f(a＋b2,8)；若eq\f(a＋b,4)>b，即a>3b時(shí)，函數(shù)S＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq\f(a＋b2,8)在(0，b]上是增函數(shù)，因此，當(dāng)x＝b時(shí)，面積S取得最大值ab－b2.綜上可知，若a≤3b，當(dāng)x＝eq\f(a＋b,4)時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值eq\f(a＋b2,8)；若a>3b，當(dāng)x＝b時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值ab－b2.9．(13分)某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為t，市場(chǎng)價(jià)格x(單位：千元)與市場(chǎng)供應(yīng)量p(單位：萬(wàn)件)之間近似滿足關(guān)系式：p＝2(1－kt)(k－b)2，其中k，b均為常數(shù)．當(dāng)關(guān)稅稅率t＝75%時(shí)，若市場(chǎng)價(jià)格為5千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量為1萬(wàn)件；若市場(chǎng)價(jià)格為7千元，則市場(chǎng)供應(yīng)量約為2萬(wàn)件．(1)試確定k，b的值；(2)市場(chǎng)需求量q(單位：萬(wàn)件)與市場(chǎng)價(jià)格x近似滿足關(guān)系式：q＝2－x，當(dāng)p＝q時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，當(dāng)市場(chǎng)平衡價(jià)格不超過(guò)4千元時(shí)，試確定關(guān)稅稅率的最大值．解(1)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝21－0.75k5－b2,2＝21－0.75k7－b2))，?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－0.75k5－b2＝0,1－0.75k7－b2＝1)).解得b＝5，k＝1.(2)當(dāng)p＝q時(shí)，2(1－t)(x－5)2＝2－x，∴(1－t)(x－5)2＝－x?t＝1＋eq\f(x,x－52)＝1＋eq\f(1,x＋\f(25,x)－10)而f(x)＝x＋eq\f(25,x)在(0,4]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最小值eq\f(41,4)，故當(dāng)x＝4時(shí)，關(guān)稅稅率的最大值為500%.B組專項(xiàng)能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得最大利潤(rùn)為()A．45.606萬(wàn)元B．45.6萬(wàn)元C．45.56萬(wàn)元D．45.51萬(wàn)元答案B解析依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤(rùn)S＝L1＋L2，則總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(x≥0)．∴當(dāng)x＝10時(shí)，Smax＝45.6(萬(wàn)元)．2．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開(kāi)源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x、y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14答案A解析由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)，得x＝eq\f(5,4)(24－y)，∴S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，∴當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15.3．(2023·江西)如圖，已知正四棱錐S－ABCD所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE＝x(0<x<1)，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)y＝V(x)的圖象大致為()答案A解析“分段”表示函數(shù)y＝V(x)，根據(jù)解析式確定圖象．當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，截面為五邊形，如圖所示．由SC⊥面QEPMN，且?guī)缀误w為正四棱錐，棱長(zhǎng)均為1，可求得正四棱錐的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(2),2)，取MN的中點(diǎn)O，易推出OE∥SA，MP∥SA，NQ∥SA，則SQ＝SP＝AM＝AN＝2x，四邊形OEQN和OEPM為全等的直角梯形，則VS－AMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AM·AN·h＝eq\f(\r(2),3)x2，此時(shí)V(x)＝VS－ABCD－VS－AMN－VS－EQNMP＝eq\f(\r(2),6)－eq\f(\r(2),3)x2－eq\f(1,3)×(2eq\r(2)x－3eq\r(2)x2)x＝eq\r(2)x3－eq\r(2)x2＋eq\f(\r(2),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，非一次函數(shù)形式，排除選項(xiàng)C，D.當(dāng)E為SC中點(diǎn)時(shí)，截面為三角形EDB，且S△EDB＝eq\f(\r(2),4).當(dāng)eq\f(1,2)<x<1時(shí)，eq\f(S截面,\f(\r(2),4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,\f(1,2))))2?S截面＝eq\r(2)(1－x)2.此時(shí)V(x)＝eq\f(\r(2),3)(1－x)3?V′＝－eq\r(2)(1－x)2.當(dāng)x→1時(shí)，V′→0，則說(shuō)明V(x)減小越來(lái)越慢，排除選項(xiàng)B.方法二二、填空題(每小題4分，共12分)4．某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________．答案20解析由題意得，3860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7000，化簡(jiǎn)得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤－3.2(舍去)．∴x≥20，即x的最小值為20.5．某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%.他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的利潤(rùn)，則此商人經(jīng)營(yíng)這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____________．答案y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)解析設(shè)新價(jià)為b，依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡(jiǎn)得b＝eq\f(5,4)a.∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N*)．6．某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對(duì)掛號(hào)處的排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)還未開(kāi)始掛號(hào)時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)；開(kāi)始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號(hào)的速度是每個(gè)窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開(kāi)放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以上信息，若要求8分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則需要同時(shí)開(kāi)放的窗口至少應(yīng)有________個(gè)．答案4解析設(shè)要同時(shí)開(kāi)放x個(gè)窗口才能滿足要求，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(N＋40M＝40K，①,N＋15M＝15K×2，②,N＋8M≤8Kx.③))由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(K＝2.5M，,N＝60M，))代入③，得60M＋8M≤8×2.5Mx，解得x≥3.4.故至少同時(shí)開(kāi)放4個(gè)窗口才能滿足要求．三、解答題(13分)7．(2023·湖北)提高過(guò)江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20