構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式

本文格式為Word版，下載可任意編輯——構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式MATLAB期中作業(yè)構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式一、問題分析：

首先從最簡單的一次lagrange出發(fā)構(gòu)造一個插值函數(shù)L1(x)，過兩個點(diǎn)

(x0,y0)、(x1,y1)做一條直線，用兩點(diǎn)式表示，則有

L1(x)?y0x?x0x?x1?y1x0?x1x1?x0分別記作：

l0(x)?x?x0x?x1,l1(x)?x0?x1x1?x0

則l0(x)是x0的一次插值基函數(shù)，l1(x)是x1的一次插值基函數(shù)。L1(x)是這兩個差值基函數(shù)的線性組合：

L1(x)?y0*l0(x)?y1*l1(x)，

這種形式的插值稱為拉格朗日線性插值。

(x1,y1)、(x2,x2)來構(gòu)造y?f(x)過三個點(diǎn)的插值函同樣地我們可以用三個點(diǎn)(x0,y0)、數(shù)，即二次插值。

x0點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為：l0(x)?(x?x1)(x?x2)

(x0?x1)(x0?x2)

x1點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為：l1(x)?(x?x0)(x?x2)

(x1?x0)(x1?x2)

x2點(diǎn)的二次插值基函數(shù)為：l2(x)?(x?x0)(x?x1)

(x2?x0)(x2?x1)(x1,y1)、(x2,x2)的二次拉格朗日插值有了這3個二次插值基函數(shù)，可得到過(x0,y0)、項(xiàng)式：

L2(x)?y0*l0(x)?y1*l1(x)?y2*l2(x)

有了上面的一次和二次差之多插值多項(xiàng)式L1(x)、L2(x)，我們可以推廣到n次插值多項(xiàng)式。下面構(gòu)造通過n?1各節(jié)點(diǎn)x0?x1??xn的n次插值多項(xiàng)式Ln(x)，是之滿足

Ln(xi)?yi(i?0,1,2?,n)

首先構(gòu)造n?1個插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,?,xn上的n插值基函數(shù)，對任一點(diǎn)xi所對應(yīng)的插值基函數(shù)li(x)，由于在所有xj(j?0,1,?,i?1,i?1,?,n)取零值，因此li(x)有因子

(x?x0)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn)。又因li(x)是一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，所以

只可能相差一個常數(shù)因子，固li(x)可表示成：

li(x)?A(x?x0)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn)

利用li(xi)?1得：

A?1

(xi?x0)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)于是

li(x)?(x?x0)?(x?xi?1)(x?xi?1)?(x?xn)(xi?x0)?(xi?xi?1)(xi?xi?1)?(xi?xn)(i?0,1,2,?,n)

因此滿足Ln(xi)?yi(i?0,1,2?,n)的插值多項(xiàng)式可表示為：

Ln(x)??yjlj(x)

j?0n

從而n次拉格朗日插值多項(xiàng)式為：

Ln(xi)??yjlj(xi)j?0n(i?0,1,2,?,n)

二、lagrange插值多項(xiàng)式在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)：

定義函數(shù)文件lagran：

functiony=lagran(x0,y0,x)%x0,y0是已知的插值點(diǎn)坐標(biāo)%x是待求點(diǎn)組成的數(shù)組

%y是拉格朗日差值多項(xiàng)式在x處的值%L是拉格朗日插值函數(shù)的權(quán)函數(shù)n=length(x0);m=length(x);L=zeros(1,n);y=zeros(1,m);fork=1:ms=0;

fori=1:nL(i)=1;forj=1:nifj~=i

L(i)=L(i)*(x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j));endend

s=s+y0(i)*L(i);endy(k)=s;end

return;

用以下命令文件調(diào)用函數(shù)文件lagran.m：

x1=[1.12.33.95.1];

y1=[3.8874.2764.6515.117];x=[2.1013.5234.2345.226];y=lagran(x1,y1,x)[P,S]=polyfit(x,y,3)plot(x,y,'r*');grid;holdon

plot(x1,y1,'g')

title=('lagran(x,y)');xlabel('x');ylabel('y');

運(yùn)行結(jié)果：

y=

4.22574.55314.75265.1858P=

0.0218-0.19090.77683.2345S=

R:[4x4double]df:0

normr:2.5121e-015

lagr