《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理》lecture6

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理》lecture6Lecture6——方差分析

一、方差分析概述

.方差分析的概念

–在科學(xué)試驗(yàn)中往往要探討不同試驗(yàn)條件或處理方法對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。尋常是比較不同試驗(yàn)條件下樣本均值間的差異。

–方差分析是檢驗(yàn)多組樣本均值間的差異是否具有統(tǒng)計(jì)意義的一種方法。

例如：.研究幾種藥物對(duì)某種疾病的療效；.農(nóng)業(yè)研究土壤、肥料、日照時(shí)間等因素對(duì)某種農(nóng)作物產(chǎn)量的影響；.不同飼料對(duì)牲畜體重增長(zhǎng)的效果等。.方差分析的基本思想

–若被考察的因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有顯著的影響，即所探討的各正態(tài)總體的均值相等，則試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)完全由隨機(jī)誤差引起；

–假使各正態(tài)總體均值不全相等，則說(shuō)明試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)除了隨機(jī)誤差的影響外，還包含被考察因素效應(yīng)的影響。

–為此，需要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，來(lái)描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。將這個(gè)統(tǒng)計(jì)量分解為兩部分：

一部分是純隨機(jī)誤差造成的影響，另一部分是除隨機(jī)誤差的影響外來(lái)自于因素效應(yīng)的影響。然后將這兩部分進(jìn)行比較，假使后者明顯比前者大，就說(shuō)明因素的效應(yīng)是顯著的。.若方差分析只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行，稱(chēng)為單因素方差分析。.假使同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行，稱(chēng)為多因素分析。在多因素方差分析中，雙因素方差分析里最常見(jiàn)的。.方差分析中進(jìn)行檢驗(yàn)假設(shè)的三個(gè)假定：–1、各個(gè)水平的觀測(cè)數(shù)據(jù)必需聽(tīng)從正態(tài)分布：在水平Ａi下的數(shù)據(jù)是來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，i=1,2…,r。

–2、方差一致或者叫方差齊性：r個(gè)正態(tài)總體的方差相等。–3、隨機(jī)性：所有數(shù)據(jù)都相互獨(dú)立。

–在上述三個(gè)假定條件下，判斷不同正態(tài)總體是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的正態(tài)總體的均值是否相等。–假使總體的均值相等，可以期望樣本的均值也會(huì)很接近：.樣本的均值越接近，推斷總體均值相等的證據(jù)也就越充分；.樣本均值越不同，推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分。

.方差分析的假設(shè)檢驗(yàn)–零假設(shè)H0：m組樣本均值都一致，即μ1=μ2==μm；

–若備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，……，m)不全相等。.至少有一個(gè)總體的均值是不同的；.樣本分別來(lái)自均值不同的正態(tài)總體。

.方差分析的目的是要檢驗(yàn)各個(gè)水平的均值μ1，μ2……μm是否相等，實(shí)現(xiàn)這個(gè)目的的手段是通過(guò)方差的比較。

.假使n個(gè)總體的均值相等，然希望n個(gè)樣本的均值比較接近，事實(shí)上，n個(gè)樣本的均值愈接近，就愈有證據(jù)得出結(jié)論：總體均值相等，反之，若n個(gè)樣本均值的差異愈大，就得出結(jié)論，總體均值不相等。.樣本均值變動(dòng)性小→支持H0，樣本均值變動(dòng)性大→支持H1。.方差分析基本原理

–方差分析的關(guān)鍵是對(duì)全部數(shù)據(jù)的變異程度進(jìn)行分解。

–總平均：–試驗(yàn)總差異:.總平方和

–組內(nèi)平均值：.

（sumofsquaresfortotal）

.表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和；.反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異。–認(rèn)為不同處理組的均值間的區(qū)別基本來(lái)源有兩個(gè):

.（1）隨機(jī)誤差，如測(cè)量誤差造成的差異或個(gè)體間的差異，稱(chēng)為組內(nèi)差異，用變量在各組的均值與該組內(nèi)變量值之偏差平方和的總和表示，記作SSe（sumofsquareforerror）。

.反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度.由于隨機(jī)

誤差的作用產(chǎn)生

.（2）試驗(yàn)條件，即不同的處理造成的差異，稱(chēng)為組間差異。用變量在各組的均值與總均值之偏差平方和表示，記作SSA，（sumofsquareforfactorA）

.反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度；

.由于因素A不同水平的不同作用造成的。–三種離差平方和之間關(guān)系：

計(jì)算自由度（degreeoffreedom）–總自由度：dfT＝n－1–組間自由度：dfA＝r－1–組內(nèi)自由度：dfe＝n－r

–三者關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe

–組內(nèi)SSe、組間SSa除以各自的自由度(組內(nèi)n-m，組間m-1，其中n為樣本總數(shù)，m為組數(shù))，得到其均方MSe和MSa。

–一種狀況是處理沒(méi)有作用，即各組樣本均來(lái)自同一總體，MSa/MSe≈1。另一種狀況是處理確實(shí)有作用，那么，MSa>>MSe。–MSa/MSe比值構(gòu)成F分布，用F值與其臨界值比較，推斷各樣本是否來(lái)自一致的總體。

–假使經(jīng)過(guò)計(jì)算結(jié)果組間均方遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于組內(nèi)均方（MSa>>MSe），F(xiàn)>F0.05(dfa,dfe),p0.05不能拒絕零假設(shè)，說(shuō)明樣本來(lái)自一致的正態(tài)總體，處理間無(wú)差異。

二、單因素方差分析

.一、建立假設(shè)–方差分析的第一步是建立假設(shè)。針對(duì)我們關(guān)心的問(wèn)題提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。

–H0：μ1=μ2=……=μm各正態(tài)總體均數(shù)相等；–H1：μ1，μ2，……，μm各正態(tài)總體不全相等。

–注意：拒絕原假設(shè)，只說(shuō)明至少有兩個(gè)總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等。

.二、計(jì)算水平均值

–令表示第j種水平的樣本均值，則：，式中：xij為第j種水平下

的第i個(gè)觀測(cè)值，nj第j種水平的觀測(cè)值個(gè)數(shù)。

–計(jì)算總均值（總均值：是所有觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值的總數(shù)）

（注：各個(gè)樣本容量相等）

.三、計(jì)算離差平方和

–1、總離差平方和SST（SumofSquaresforTotal）

.

–2、誤差項(xiàng)離差平方和（組內(nèi)）SSE（SumofSquaresForError）

–3、水平項(xiàng)離差平方和（組間）SSA或SSb（SumofSquaresforfactorA）

–總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系:即：

SST=SSA+SSE–三個(gè)平方和的作用

.SST反映全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映隨機(jī)誤差的大?。籗SA反映隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小

.假使原假設(shè)成立，則說(shuō)明沒(méi)有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會(huì)太大；假使組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說(shuō)明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差。

.判斷因素的水平是否對(duì)其觀測(cè)值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小

.四、計(jì)算平均平方

–用離差平方和除以自由度即可得到平均平方

–SST、SSA、SSE之間的自由度存在著如下的關(guān)系：n-r=(r-1)+(n-r)

.五、方差分析表

–F分布與拒絕域

.六、統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析

–把F值與Fa值比較：

.若FA＞F0.01(dfA，dfe)，稱(chēng)因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有十分顯著的影響，用“**〞號(hào)表示；

.若F0.05(dfA，dfe)＜FA＜F0.01(dfA，dfe)，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*〞號(hào)表示；.若FA＜F0.05(dfA，dfe)，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。.單因素方差分析應(yīng)用實(shí)例

–為考察溫度對(duì)某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了五種不同的溫度，在同一溫度下各作三次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表。試問(wèn)溫度對(duì)得率有無(wú)明顯影響？

–yielddata.正態(tài)性檢驗(yàn)

–shapiro.test(yield[temperature==\.方差齊性檢驗(yàn)

–bartlett.test(yield~temperature,data=yielddata)

三、雙因素方差分析

.在大量實(shí)際問(wèn)題中，需要考慮影響試驗(yàn)數(shù)據(jù)的因素多于一個(gè)的情形。例如在化學(xué)合成反應(yīng)中，幾種原料的用量、反應(yīng)時(shí)間、溫度的控制等等都可能影響試驗(yàn)結(jié)果，這就構(gòu)成多因素試驗(yàn)問(wèn)題。

.雙因素試驗(yàn)的方差分析

–探討兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱(chēng)為二元方差分析。根據(jù)每種組合水平上的試驗(yàn)次數(shù)，可以將其分為無(wú)重復(fù)試驗(yàn)和重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。.雙因素方差分析的基本假定

–每個(gè)總體都聽(tīng)從正態(tài)分布.對(duì)于因素的每一個(gè)水平，其觀測(cè)值是來(lái)自正態(tài)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

–各個(gè)總體的方差必需一致.對(duì)于各組觀測(cè)數(shù)據(jù)，是從具有一致方差的總體中抽取的–觀測(cè)值是獨(dú)立的。

雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析–數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

–分析步驟–1）提出假設(shè)

.對(duì)行因素提出的假設(shè)為：.H0:u1=u2=…=ui=…=uk(ui為第i個(gè)水平的均值)；.H1:ui(i=1,2,…,k)不全相等

.對(duì)列因素提出的假設(shè)為：.H0:m1=m2=…=mj=…=mr(mj為第j個(gè)水平的均值).H1:mj(j=1,2,…,r)不全相等–2）構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量.總誤差平方和

.因素A引起離差的平方和：

.因素B引起離差的平方和：

.誤差平方和：

.計(jì)算自由度

–SSA的自由度：dfA＝r－1–SSB的自由度：dfB＝s－1–SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）–SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1–dfT＝dfA＋dfB＋dfe.計(jì)算均方

.F檢驗(yàn)

–3）統(tǒng)計(jì)決策.FA聽(tīng)從自由度為（dfA,dfe)的F分布；.對(duì)于給定的顯著性水平a，查F分布表：Fa（dfA,dfe)，F(xiàn)a（dfB,dfe).若FA＞Fa（dfA,dfe)，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；.若FB＞Fa（dfB,dfe)，則因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；–（1）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表

–（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟.①計(jì)算平均值

.總平均：

.任一組合水平（Ai，Bj）上：

.Ai水平日：

.Bj水平日：.②計(jì)算離差平方和–總離差平方和：

–因素A引起離差的平方和：

–因素B引起離差的平方和：

–交互作用A×B引起離差的平方和：

.③計(jì)算自由度

–SSA的自由度：dfA＝r－1–SSB的自由度：dfB＝s－1–SSA×B的自由度：dfA×B＝(r－1)(s－1)–SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)

–SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1–dfT＝dfA＋dfB＋dfA×B＋dfe.④計(jì)算均方

.⑤F檢驗(yàn)

–若FA＞Fa（dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；–若FB＞Fa（dfB,dfe)，則認(rèn)為因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)顯著影響；–若FA×B＞Fa（dfA×B,dfe)，則認(rèn)為交互作用A×B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無(wú)