工程流體力學(xué)答案其次章 2

本文格式為Word版，下載可任意編輯——工程流體力學(xué)答案其次章2［陳書2-8］容器中盛有密度不同的兩種液體，問(wèn)測(cè)壓管A及測(cè)壓管B的液面是否和容器中的液面O-O齊平？為什么？若不齊平，則A、B測(cè)壓管液面哪個(gè)高？

AOOB?1?2

［解］依題意，容器內(nèi)液體靜止。

測(cè)壓管A與上層流體連通，且上層流體和測(cè)壓管A均與大氣連通，故A測(cè)壓管的液面與液面O-O齊平。

測(cè)壓管B與上下層流體連通，其根部的壓強(qiáng)為：

p??1gh1??2gh2?pa

其中h1為上層液體的厚度，h2為液體分界面到B管根部的垂向距離，pa為大氣壓因測(cè)壓管B與大氣連通，其根部的壓強(qiáng)又可表示為：

p??2gh?pa

其中h為B管內(nèi)氣液界面到B管根部的垂向距離所以：?1gh1??2gh2??2gh

h??1h1??2h2?1?h1?h2

?2?2由此可知：若?1??2，B測(cè)壓管的液面低于A測(cè)壓管的液面和O-O面；若?1??2，B測(cè)

壓管的液面高A測(cè)壓管的液面和O-O面；若?1?齊。

又由于密度為?1的液體穩(wěn)定在上層，故?1?

?2，A、B測(cè)壓管的液面和O-O面三者平

?2。

［陳書2-12］容器中有密度為?1和?2的兩種液體，試?yán)L出AB面上的壓強(qiáng)分布圖。

A?1?2B

［解］令上、下層液體的厚度分別為h1和h2，取垂直向下的方向?yàn)閦軸的正方向，并將原點(diǎn)設(shè)在自由表面上，可寫出AB表面上壓強(qiáng)的表達(dá)式：

?pa??1gz0?z?h1p??

??p??gh??gz?hh?z?h?h112112?a整理得：

?pa??1gz0?z?h1p??

???pa??1??2gh1??2gzh1?z?h1?h2P/PaP0??1gAC??2gBCP0??1gACP0ACBh/m

［陳書2-24］直徑D=1.2m，L=2.5的油罐車，內(nèi)裝密度??900kgm的石油，油面高度為h=1m，以a?2ms的加速度水平運(yùn)動(dòng)。試確定油罐車側(cè)蓋A和B上所受到的油液的作用

23力。

［解］取x坐標(biāo)水平向右，y坐標(biāo)垂直紙面向內(nèi)，z坐標(biāo)垂直向上，原點(diǎn)定在油罐的中軸線上。油液受到的體積力為：

fx??afy?0fz??g

由歐拉方程積分可得：p?pC??ax??gz

根據(jù)題意及所選的坐標(biāo)系，當(dāng)x?0,z?h時(shí)，p?pa故：pa?pC??gh

pC?pa??gh

所以：p?pa??g?h?z???ax

因大氣壓的總體作用為零，故上式中可令pa?0于是：p??g?h?z???ax

L,z?02L故該處的壓強(qiáng)：pL??gh??a

2左側(cè)蓋形心的坐標(biāo)：x??D2?12523.7N（取g?9.81ms2）左側(cè)蓋所受油液的作用力：FL?pL?4L,z?02L故該處的壓強(qiáng)：pR??gh??a

2右側(cè)蓋形心的坐標(biāo)：x?D2?7439.1N（取g?9.81ms2）左側(cè)蓋所受油液的作用力：FR?pR?4

［陳書2-26］盛有水的圓筒形容器以角速度?繞垂直軸作等速旋轉(zhuǎn)，設(shè)原靜水深為h，容器半徑為R，試求當(dāng)?超過(guò)多少時(shí)可露出筒底？

解：非慣性坐標(biāo)系中相對(duì)靜止流體滿足歐拉方程：dp???Xdx?Ydy?Zdz?等速旋轉(zhuǎn)時(shí)液體所受的質(zhì)量力為：

X??2rcos?，Y??2rsin?，Z??g

將其代入歐拉方程，積分得：

?1?p????2r2?gz??C

?2?自由表面中心處r=0，p?pa（大氣壓），再令此處的z坐標(biāo)為：zC（令筒底處z=0），代入上式，得：

pa???gzC?C

所以：C?pa??gzC

所以：p????r?gz??pa??gzC

?1?222??等壓面的方程：

p?pa??gzC?1??2r2?gz2對(duì)于自由表面：p?pa，故自由表面的方程為：

??gzC?1??2r2?gz2當(dāng)筒底剛好露出時(shí)，zC?0，所以自由面方程為：

z?122?r2g122?R2g自由面與筒壁相交處的垂向坐標(biāo)：H?旋轉(zhuǎn)后的水體體積：

V??R2H???r2dz??R2h???00HH2gz?2dz??R2122g?2?R?2H2g???2g?2R4?g?122122?24?24?24?R?R??R??R??R2?2g2g2g4g4g

將水視為不可壓縮流體，根據(jù)質(zhì)量守恒，旋轉(zhuǎn)前后的水體體積應(yīng)相等，所以：

V??4g?2R4??R2h

2ghR所以：??

［陳書2-39］在由貯水池引出的直徑D=0.5m的圓管中安裝一蝶閥，h=10m，蝶閥是一個(gè)與管道直徑一致的圓板，它能繞通過(guò)中心的水平軸回轉(zhuǎn)。為不使該閥自行轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)所需施加的力矩應(yīng)為多大？

［解］將閥門的圓心定為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸垂直向上，則壓強(qiáng)分布為：

p??g?h?z?

由于靜水壓導(dǎo)致閥門所受的總力矩為：

M??R2?R23pzdA???2??2R2?R22pzR2?z2dz?2?gR3?24?h?Rsin??sin?cos2?d???2

?2?2?gRh?sin?cos?d??2?gR?2????22sin2?cos2?d?3?23?cos??422???2?gRh??2?gRsin?cos?d???3???2????2??2?gR4????22sin2?cos2?d?????2?ei??e?i?22sin?cos????2?1??cos4??1?8?ei??e?i???2???e2i??e?2i??????4??2?e4i??2?e?4i????16?

2?211?cos4??1?d????gR4??cos4??1?d???28??24所以：?2??11??????gR4???sin4???????gR4?30.08N.m4???2??4?4??M??2?gR4??2

［陳書2-43］圖示一儲(chǔ)水設(shè)備，在C點(diǎn)測(cè)得絕對(duì)壓強(qiáng)為p?29430Pa，h=2m，R=1m。求半球曲面AB所受到液體的作用力。

RABh2水［解］建立如下圖的坐標(biāo)系，其中坐標(biāo)原點(diǎn)取在球心，z軸垂直向上。以C為參考點(diǎn)，容器內(nèi)任意點(diǎn)的壓強(qiáng)可表達(dá)為：

?p?pC??g?z??h??2?作用在曲面AB上任意點(diǎn)處的壓強(qiáng)均與表面垂直，即壓力的作用線通過(guò)球心。簡(jiǎn)單分析可知，曲面上水平方向的液體合壓力為零，液體的曲面的總作用力僅表達(dá)在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用線通過(guò)球心。球面的外法線方向：

????n?cos?cos?i,cos?sin?j,sin?k

??其中?為緯度角，?為經(jīng)度角。曲面AB上的垂向總液體壓力：

Fz???20pnz2?rRd?

其中：nz?sin?，r?Rcos?所以：Fz?2?R2??20psin?cos?d?

Fz?2?R2??20?h???p??gz????sin?cos?d??C2?????2?2???h??2?R2?pC?sin?cos?d???g??z??sin?cos?d??002?????2?2h?2???2?R2?pC?sin?cos?d???g?zsin?cos?d???g?sin?cos?d??0020???21將z?Rsin?和?sin?cos?d??代入上式，得：

02?21?1?Fz?2?R2?pC??gR?sin2?cos?d???gh?04?2??21?1??2?R2?pC??gR?sin2?cos?d???gh?

04?2?1121?1????2?R2?pC??gR??gh???R2?pC??gR??gh?3432?2???將pC?29430Pa，h=2m，R=1m，??1000kgm和g?9.81ms代入，得：

32Fz?41102.6N

作用在曲面AB上任意點(diǎn)處的壓強(qiáng)均與表面垂直，即壓力的作用線通過(guò)球心。簡(jiǎn)單分析可知，曲面上水平方向的液體合壓力為零，液體的曲面的總作用力僅表達(dá)在垂直方向，且合力方向向上，且合力作用線通過(guò)球心。球面的外法線方向：

????n?cos?cos?i,cos?sin?j,sin?k

??其中?為緯度角，?為經(jīng)度角。曲面AB上的垂向總液體壓力：

Fz???20pnz2?rRd?

其中：nz?sin?，r?Rcos?所以：Fz?2?R2??20psin?cos?d?

Fz?2?R2??20?h???p??gz????sin?cos?d??C2?????2?2???h??2?R2?pC?sin?cos?d???g??z??sin?cos?d??002?????2?2h?2???2?R2?pC?sin?cos?d???g?zsin?cos?d???g?sin?cos?d??0020???21將z?Rsin?和?sin?cos?d??代入上式，得：

02?21?1?Fz?2?R2?pC??