高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽常用定理

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常用定理1、費(fèi)馬點(diǎn)（I）基本概念

定義：在一個(gè)三角形中，到3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。

(1)若三角形ABC的3個(gè)內(nèi)角均小于120°，那么3條距離連線正好平分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角。所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也稱(chēng)為三角形的等角中心。

(2)若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點(diǎn)就是距離和最小的點(diǎn)。（II）證明

我們要如何證明費(fèi)馬點(diǎn)呢：

費(fèi)馬點(diǎn)證明圖形

(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度同理,∠APB=120度，∠APC=120度(2)PA+PB+PC=AA1

將△BPC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△BDA1重合，連結(jié)PD，則△PDB為等邊三角形，所以∠BPD=60度又∠BPA=120度，因此A、P、D三點(diǎn)在同一直線上，

又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四點(diǎn)在同一直線上，故PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC最短

在△ABC內(nèi)任意取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連結(jié)AM、BM、CM，將△BMC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60度與△BGA1重合，連結(jié)AM、GM、A1G(同上)，則AA1平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角型中較為簡(jiǎn)易，也較簡(jiǎn)單研究。（1）在凸四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P。

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費(fèi)馬點(diǎn)

（2）在凹四邊形ABCD中，費(fèi)馬點(diǎn)為凹頂點(diǎn)D（P）。經(jīng)過(guò)上述的推導(dǎo)，我們即得出了三角形中費(fèi)馬點(diǎn)的找法：

當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于一百二十度的時(shí)候，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)；假使三個(gè)內(nèi)角都在120度以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120度的點(diǎn)。（III）費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)：

費(fèi)馬點(diǎn)

（1）平面內(nèi)一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)，距離之和最小。特別三角形中：

(2).三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).

(3).若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求.(4)當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合

二、梅涅勞斯定理和塞瓦定理1、梅涅勞斯定理

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梅涅勞斯定理證明

梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：假使一條直線與△ABC的三邊

AFBCDO???1CDOAAB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么FB

證明：做平行線即可，過(guò)程略2、角元形式：

（1）第一角元形式的梅涅勞斯定理

如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，則

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用（2）其次角元形式的梅涅勞斯定理

在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點(diǎn)A、B、C重合)三、塞瓦定理塞瓦定理

在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，

直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1證法簡(jiǎn)介（Ⅰ）此題可利用梅涅勞斯定理證明：∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC③

同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1塞瓦定理推論

1.設(shè)E是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

由于(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：

3

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面積公式易證

3.如圖，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點(diǎn)

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定理，由于(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。

四、西姆松定理

西姆松定理圖示

西姆松定理是一個(gè)幾何定理。表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱(chēng)為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。西姆松定理說(shuō)明相關(guān)的結(jié)果有：

（1）稱(chēng)三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點(diǎn)為線段PH的中點(diǎn)，且這點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。（2）兩點(diǎn)的西姆松線的交角等于該兩點(diǎn)的圓周角。

（3）若兩個(gè)三角形的外接圓一致，這外接圓上的一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無(wú)關(guān)。（4）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。證明

證明一：△ABC外接圓上有點(diǎn)P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.

易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的補(bǔ)角）且∠PDE=∠PCE

②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠FDP+∠PDE=180°

④即F、D、E共線.反之，當(dāng)F、D、E共線時(shí)，由④→②→③→①可見(jiàn)A、B、P、C共圓.

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證明二：如圖，若L、M、N三點(diǎn)共線，連結(jié)BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

M、P、L、C分別四點(diǎn)共圓，有

∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM.故A、B、P、C四點(diǎn)共圓。

若A、B、P、C四點(diǎn)共圓，則∠PBN=∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點(diǎn)共圓，有

∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM.故L、M、N三點(diǎn)共線。相關(guān)性質(zhì)的證明

連AH延長(zhǎng)線交圓于G,連PG交西姆松線與R,BC于Q如圖連其他相關(guān)線段

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圓=