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本文格式為Word版，下載可任意編輯——高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽平面幾何

平面幾何精選?08.1.280?

01?原創(chuàng)?AM=MB，l1∩l3=E,l1∩l4=F,l2∩l3=G,l2∩l4=H，EH∩AB=C，F(xiàn)G∩AB=D．求證CM=MD．

證：

l2

l3l4●H若把l1·l2=0看作一二次曲線．則AB為其一弦，M為此弦的中點(diǎn)．l3、l4為過此中點(diǎn)的兩弦．

AG

l1E●●FCMDB由蝴蝶定理知EH、FG與AB的交點(diǎn)滿足CM=MD．

評(píng)注：此題巧妙地將問題轉(zhuǎn)化成為曲線系，并與蝴蝶定理相結(jié)合，很值得學(xué)習(xí)．

1

02雙心四邊形，外心為O，外接圓半徑為R，內(nèi)心為P，內(nèi)切圓半徑為r，OI=h．證明

證：如圖，分別過K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂線交于A、B、C、D．1

∵∠LCM=180?－∠LPM=∠PLM+∠PML=?∠MLK+∠LMN?,

21

∠KAN=?∠LKN+∠KNM?．

2∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

我們?cè)O(shè)其半徑為?，易證B、P、D；A、P、C分別三點(diǎn)共線．PCAP

∴r=PLsin?=PBsin?sin?=PB·,

BCAB

PC·AP=?－d?d為ABCD的外心記為?與P的距離?．?2－d2PB1

又易證AC⊥BD，∴=?r=…①

BC·AB2?2?延長(zhǎng)NP交BC于T，易證T為BC中點(diǎn)?卜拉美古塔定理?．∴?T∥PS,?S∥PT．

2

2

CLβ●O'111

2+2=2．r?R+h??R－h(huán)?

BαTα●ΩKPMNDSαA□?TPS中，4O?T2=PS2+OS2－d2=2?2－d2．

1

又O?N=21R=2

2?2－d2?O?為KLMN的外心?即為O?且

1

2?2－d2…②，h=d…③

2

14?22?R2+h2?11

由①②③得2=2．22=222=2+r??－d??R－h(huán)??R+h??R－h(huán)?2評(píng)注：

1?若要證的結(jié)論是一些半徑與邊長(zhǎng)的繁雜關(guān)系時(shí)，應(yīng)及時(shí)引入三角函數(shù)及一些特別的線段比例．2?雙心四邊形性質(zhì)繁多

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