必修4第二章《平面向量的應(yīng)用舉例》

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號_學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：何群課題平面向量的應(yīng)用舉例授課日期及時段教學(xué)目的1．知識與技能：運(yùn)用向量的有關(guān)知識（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問題2．過程與方法：通過應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐標(biāo)法3．情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗向量在解決幾何問題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。教學(xué)內(nèi)容一、課前檢測1．，則與的夾角是（B）A.B.C.D.2．設(shè)是任意的非零向量，且相互不共線，則（1）=0；（2）不與垂直；（3）；（4）中，是真命題的有（C）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（2）（4）3．已知與的夾角是，則等于(C)A.B.C.D.4．已知向量≠，||＝1，對任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則（C）A⊥B⊥(－)C⊥(－)D(＋)⊥(－)5.已知、均為單位向量，它們的夾角為60°，那么=（C）.A．B． C．D．46.已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足則的值等于-25.7．設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，，則是的___垂____心。8．已知如果與的夾角是鈍角，則的取值范圍是_或且___。二、知識梳理（一）、平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例1．已知，其中。（1）求證：與互相垂直；（2）若與（）的長度相等，求。解析：（1）因為所以與互相垂直。（2），，所以，，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以。點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。（二）、力的合成問題例2、兩個大小相等的共點(diǎn)力，當(dāng)它們間夾角為時，合力的大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為時，合力的大小為（）A、40NB、C、D、分析：力的合成關(guān)鍵是依平行四邊形法則，求出力的大小，然后再結(jié)合平行四邊形法則求出新的合力.解析：對于兩個大小相等的共點(diǎn)力，當(dāng)它們間夾角為時，合力的大小為20N時，這二個力的大小都是N，對于它們的夾角為時，由三角形法則，可知力的合成構(gòu)成一個等邊三角形，因此合力的大小為N.正確答案為B.點(diǎn)評：力的合成可用平行四邊形法則，也可用三角形法則，各有優(yōu)點(diǎn)，但實(shí)質(zhì)是相通的，關(guān)鍵是要靈活掌握；對于第一個平行四邊形法則的應(yīng)用易造成的錯解是，這樣就會錯選答案D.類題練習(xí)1：已知作用在點(diǎn)的三個力則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是（）A、B、C、D、解析：對于力的合成問題用坐標(biāo)法，實(shí)際是相量的加法問題，因此的終點(diǎn)坐標(biāo)是,因此選A.（三）、功的求解問題例3、一個物體受到同一平面內(nèi)的三個力的作用，沿北偏東的方向移動，其中，，方向為北偏東，，方向為東偏北，，方向為西偏北，則合力所作的功是分析：這是一個物理中的功的求解問題，對于功的求解一般是用向量的點(diǎn)積，但點(diǎn)積的運(yùn)算有向量法和坐標(biāo)法兩種，對于易建立坐標(biāo)系的情況還是用坐標(biāo)法求解為好.解析：對于題意建立平面直角坐標(biāo)如圖所示，根據(jù)圖示求出各處力的向量坐標(biāo)可得：因此合力，而，這樣其所做的功為，即合力所做的功為.點(diǎn)評：對于功的求解要注意力用坐標(biāo)，位移也可用坐標(biāo)表示，然后用坐標(biāo)法求向量的點(diǎn)積，然后求出合力所做的功.類題練2：已知一物體在共點(diǎn)力的作用下產(chǎn)生位移，則共點(diǎn)力對物體所做的功為（）A、4B、3C、7D、2解析：對于合力，其所做的功為.因此選C.（四）、速度合成問題例4、人騎自行車的速度為，風(fēng)速為，則逆風(fēng)行駛的速度大小為（）A、B、C、D、分析：對于速度的合成問題，關(guān)鍵是運(yùn)用向量的合成進(jìn)行處理，本題的方向相反，大小就相減.解析：對于逆風(fēng)行駛其速度大小為，因此宜選C.點(diǎn)評：速度的合成主要是要根據(jù)向量的三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行求解，因此對于逆風(fēng)或順風(fēng)問題速度的大小可通過相減或相加可得.類題練3、某人以時速為向東行走，此時正刮著時速為的南風(fēng)，則此人感到的風(fēng)向及風(fēng)速為（）A、東北，B、東南，C、西南，D、東南，解析：如圖所示，對于速度的合成由三角形法則可得其西面風(fēng)的大小為,因此可選C.（五）、船的航行問題例5、一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水流速為，求船實(shí)際航行的速度的大小與方向.分析：這是一個船行問題，處理的方法和原則是三角形法則或平行四邊形法則，當(dāng)然要注意船的實(shí)際航速和航向，船在靜水中的航速和航向.解析：如圖所示，由向量的三角形法則知，對于2，，得，方向為逆水流與水流成夾角.點(diǎn)評：對于船的航行問題關(guān)鍵是要注意運(yùn)用向量的合成法則進(jìn)行，當(dāng)然要特別注意“船的實(shí)際航速和航向”和“船在靜水中的航速和航向.三、重難點(diǎn)突破題型1：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例1．已知。分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。證明：設(shè)則。點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。例2、已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.向量m＝(a,4cosB)，n＝(cosA，b)滿足m∥n.(1)求sinA＋sinB的取值范圍；(2)若實(shí)數(shù)x滿足abx＝a＋b，試確定x的取值范圍．解：(1)因為m∥n，所以eq\f(a,cosA)＝eq\f(4cosB,b)，即ab＝4cosAcosB.因為△ABC的外接圓半徑為1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.因為0＜A＋B＜π.所以A＋B＝eq\f(π,2).故△ABC為直角三角形．sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sin(A＋eq\f(π,4))，因為eq\f(π,4)＜A＋eq\f(π,4)＜eq\f(3π,4)，所以eq\f(\r(2),2)＜sin(A＋eq\f(π,4))≤1，故1＜sinA＋sinB≤eq\r(2).(2)x＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(2(sinA＋sinB),4sinAsinB)＝eq\f(sinA＋cosA,2sinAcosA).設(shè)t＝sinA＋cosA(1＜t≤eq\r(2))，則2sinAcosA＝t2－1，x＝eq\f(t,t2－1)，因為x′＝eq\f(－(1＋t2),(t2－1)2)＜0，故x＝eq\f(t,t2－1)在(1，eq\r(2)]上是單調(diào)遞減函數(shù)．所以eq\f(t,t2－1)≥eq\r(2).所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是[eq\r(2)，＋∞)．例3．已知向量m＝(coseq\f(x,2)，coseq\f(x,2))，n＝(coseq\f(x,2)，sineq\f(x,2))，且x∈[0，π]，令函數(shù)f(x)＝2am·n＋b.(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的遞增區(qū)間；(2)當(dāng)a<0時，f(x)的值域是[3,4]，求a、b.解：f(x)＝2am·n＋＝2a(cos2eq\f(x,2)＋eq\f(1,2)sinx)＋b＝2a(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2))＋b＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝eq\r(2)asin(x＋eq\f(π,4))＋a＋b.(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))＋1＋b.令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(3,4)π＋2kπ≤x≤eq\f(π,4)＋2kπ(k∈Z)，又x∈[0，π]，∴f(x)的遞增區(qū)間為[0，eq\f(π,4)]．(2)當(dāng)a<0時，∵x∈[0，π]，∴x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]，∴sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\f(\r(2),2)，1]．當(dāng)sin(x＋eq\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)時，f(x)＝－a＋a＋b＝b，∴f(x)的最大值為b.當(dāng)sin(x＋eq\f(π,4))＝1時，f(x)＝eq\r(2)a＋a＋b＝(1＋eq\r(2))a＋b.∴f(x)的最小值為(1＋eq\r(2))a＋b.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1＋\r(2))a＋b＝3，,b＝4，))解得a＝1－eq\r(2)，b＝4.題型2：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例4．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，，即∠APB＝90°。點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。例2．設(shè)向量a，b滿足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個數(shù)最多為()A．3B．4C．5D解析：當(dāng)圓與三角形兩邊都相交時，有4個交點(diǎn)，本題新構(gòu)造的三角形是直角三角形，其內(nèi)切圓半徑恰好為1.故它與半徑為1的圓最多有4個交點(diǎn)．答案：B例5、已知||＝1，||＝eq\r(3)，·＝0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°，設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，則eq\f(m,n)等于()A.eq\f(1,3)B．3C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)解析：||＝1，||＝eq\r(3)，·＝0，∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，又∵∠AOC＝30°，∴⊥.∴(m＋n)·(－)＝0，∴－m2＋n2＝0，∴3n－m＝0，即m＝3n，∴eq\f(m,n)＝3.答案：B題型3：平面向量在物理中的應(yīng)用例6．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點(diǎn)在PC的延長線上。由正六邊形的性質(zhì)還可求得故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。四、課堂作業(yè)1、已知向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么()A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向答案D解析本題主要考查向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算的考查.取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B.若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，故選D.2、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),集合,且463、設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.答案B解析:因為，所以點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B?！久}立意】:本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答.4、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 ()A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心答案C（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）解析5.若向量a=，b=，且a，b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是.6.已知向量，．若向量滿足，，則 （） A．B．C．D． 答案D 解析不妨設(shè)，則，對于，則有；又，則有，則有【命題意圖】此題主要考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過平面向量的平行和垂直關(guān)系的考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問題中的應(yīng)用．7.對于個向量，若存在個不全為零的實(shí)數(shù)使得成立，則稱向量是線性相關(guān)的.按此規(guī)定，能使向量是線性相關(guān)的實(shí)數(shù)的值依次為.（只需寫出一組值即可）根據(jù)線性相關(guān)的定義得，令則，，∴的一組值為－4，2，18.設(shè)向量與的夾角為，，，則．.解：設(shè)向量與的夾角為且∴，則=.9.設(shè)定義域為[x1，x2]的函數(shù)y＝f（x）的圖象為C，圖象的兩個端點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，向量EQ\o(OA,\s\up5(→))＝（x1，y1），EQ\o(OB,\s\up5(→))＝（x2，y2），EQ\o(OM,\s\up5(→))＝（x，y），滿足x＝λx1＋（1－λ）x2（0＜λ＜1），又有向量EQ\o(ON,\s\up5(→))＝λEQ\o(OA,\s\up5(→))＋（1－λ）EQ\o(OB,\s\up5(→))，現(xiàn)定義“函數(shù)y＝f（x）在[x1，x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)k下線性近似”是指|EQ\o(MN,\s\up5(→))|≤k恒成立，其中k＞0，k為常數(shù)。根據(jù)上面的表述，給出下列結(jié)論：①A、B、N三點(diǎn)共線；②直線MN的方向向量可以為EQ\o(a,\s\up5(→))＝（0，1）；③“函數(shù)y＝5x2在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)EQ\f(5,4)下線性近似”．④“函數(shù)y＝5x2在[0，1]上可在標(biāo)準(zhǔn)1下線性近似”；其中所有正確結(jié)論的序號為_______________．eq\o\ac(○,1)、eq\o\ac(○,2)、eq\o\ac(○,3)10.P為ΔABC所在平面上的點(diǎn)，且滿足=+，則ΔABP與ΔABC的面積之比是_______．1∶2五、課堂小結(jié)本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何問題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決平面幾何問題的步驟六、課后作業(yè)1.已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π).若|a·b|＝|a|·|b|，則tanx的值等于()A.1B.－1C.eq\r(3)D.eq\f(\r(2),2)解析：由|a·b|＝|a|·|b|知，a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝eq\f(π,4)，故tanx＝1.答案：A2.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足＝2，則·(＋)等于()A.－eq\f(4,9)B.－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,9)解析：·(＋)＝2＝eq\f(2,3)×2×eq\f(1,3)cosπ＝－eq\f(4,9).答案：A3.設(shè)a、b、c是單位向量，且a·b＝0，則(a－c)·(b－c)的最小值為()A.－2B.eq\r(2)－2C.－1D.1－eq\r(2)解析：(a－c)·(b－c)＝a·b－c·(a＋b)＋c2＝0－|c|·|a＋b|·cos〈c，(a＋b)〉＋1≥0－|c||a＋b|＋1＝－eq\r((a＋b)2)＋1＝－eq\r(a2＋b2＋2a·b)＋1＝－eq\r(a2＋b2)＋1＝－eq\r(2)＋1.答案：D4.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A.6B.2C.2eq\r(5)D.2eq\r(7)解析：因為力F是一個向量，由向量加法的平行四邊形法則知F3的大小等于以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos60°＝4＋16＋8＝28，∴|F3|＝2eq\r(7).答案：D5.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，－1)，則|2a－b|的最大、小值分別是()A.4eq\r(2)，0B.4,2eq\r(2)C.16,0D.4,0解析：由于|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝8－4(eq\r(3)cosθ－sinθ)＝8－8cos(θ＋eq\f(π,6))，易知0≤8－8cos(θ＋eq\f(π,6))≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分別為4和0.答案：D6.在△ABC中，(＋)·＝||2，則三角形ABC的形狀一定是() A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析：由∴∴，∴∠A=90°.答案：C7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為.解析：∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y).∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，故向量＝(－8,8)，||＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)8.若平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||＝3，||＝4，||＝5，則·＋·＋·的值等于.解析：由++ =0可得=0，∴9+16+25+2答案：－259.關(guān)于平面向量a，b，c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c.②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3.③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為(寫出所有真命題的序號).解析：命題①明顯錯誤.由兩向量平行的充要條件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命題②正確.由|a|＝|b|＝|a－b|，再結(jié)合平行四邊形法則可得a與a＋b的夾角為30°，命題③錯誤.答案：②10.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2).(1)設(shè)c＝4a＋b，求(b·c)a(2)若a＋λb與a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影.解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb與a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(5,2).(3)設(shè)向量a與b的夾角為θ，向量a在b方向上的投影為|a|cosθ.∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1×2＋2×(－2),\r(22＋(－2)2))＝－eq\f(2,2\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).11.在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cosA，sinA)，向量n＝(eq\r(2)－sinA，cosA)，若|m＋n|＝2.(1)求角A的大??；(2)若b＝4eq\r(2)，且c＝eq\r(2)a，求△ABC的面積.解：∵(1)|m＋n|2＝(cosA＋eq\r(2)－sinA)2＋(sinA＋cosA)2＝4＋2eq\r(2)(cosA－sinA)＝4＋4cos(eq\f(π,4)＋A)，∴4＋4cos(eq\f(π,4)＋A)＝4，∴cos(eq\f(π,4)＋A)＝0，∵A∈(0，π)，∴eq\f(π,4)＋A＝eq\f(π,2)，∴A＝eq\