高中數(shù)學(xué)必修3概率統(tǒng)計常考題型用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征【知識梳理】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．2．標(biāo)準(zhǔn)差、方差的概念與計算公式(1)標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(2)方差：標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中，xn是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數(shù)．【常考題型】題型一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計算【例1】(1)已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1,0,4，x,6,15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．[解析]∵中位數(shù)為5，∴eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6∴該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，平均數(shù)為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.[答案]65(2)下面是某快餐店所有工作人員一周的收入表：老板大廚二廚采購員雜工服務(wù)生會計3000元450元350元400元320元320元410元①計算所有人員的周平均收入；②這個平均收入能反映打工人員的周收入的一般水平嗎？為什么？③去掉老板的收入后，再計算平均收入，這能代表打工人員的周收入的水平嗎？[解]①周平均收入eq\x\to(x)1＝eq\f(1,7)(3000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．②這個平均收入不能反映打工人員的周收入水平，可以看出打工人員的收入都低于平均收入，因為老板收入特別高，這是一個異常值，對平均收入產(chǎn)生了較大的影響，并且他不是打工人員．③去掉老板的收入后的周平均收入eq\x\to(x)2＝eq\f(1,6)(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)．這能代表打工人員的周收入水平．【類題通法】利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．【對點訓(xùn)練】從甲乙兩個城市分別隨機(jī)抽取16臺自動售貨機(jī)，對其銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，統(tǒng)計數(shù)據(jù)用莖葉圖表示(如圖所示)，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，中位數(shù)分別為m甲，m乙，則()A.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，m甲＞m乙 B.eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙，m甲＜m乙C.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，m甲＞m乙 D.eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，m甲＜m乙解析：選B由莖葉圖知，甲的平均數(shù)為(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.5625，乙的平均數(shù)為(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.5625，所以eq\x\to(x)甲＜eq\x\to(x)乙．甲的中位數(shù)為(18＋22)÷2＝20，乙的中位數(shù)為(27＋31)÷2＝29，所以m甲＜m乙.題型二、標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的計算及應(yīng)用【例2】甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各打靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)分別求出兩組數(shù)據(jù)的方差；(3)根據(jù)計算結(jié)果，估計兩名戰(zhàn)士的射擊情況．若要從這兩人中選一人參加射擊比賽，選誰去合適？[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(環(huán))，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(環(huán))．(2)法一：由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，得seq\o\al(2,甲)＝3，seq\o\al(2,乙)＝1.2.法二：由方差公式s2＝eq\f(1,n)[(x′eq\o\al(2,1)＋x′eq\o\al(2,2)＋…＋x′eq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)′2]計算seq\o\al(2,甲)，seq\o\al(2,乙)，其中x′i＝xi－a，eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)′i.由于兩組原始數(shù)據(jù)都在數(shù)字7附近且平均數(shù)都是7，所以選取a＝7.x′i甲＝xi甲－71－101－1－223－30x′eq\o\al(2,i甲)＝(xi甲－7)21101144990x′i乙＝xi乙－7－1001－10102－2x′eq\o\al(2,i乙)＝(xi乙－7)21001101044所以，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(x′eq\o\al(2,1甲)＋x′eq\o\al(2,2甲)＋…＋x′eq\o\al(2,10甲))－10eq\x\to(x′)eq\o\al(2,)甲]＝eq\f(1,10)×(1＋1＋0＋1＋1＋4＋4＋9＋9＋0－10×0)＝eq\f(1,10)×30＝3.同理，seq\o\al(2,乙)＝1.2.(3)eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當(dāng)．又seq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大．因此，乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定．從成績的穩(wěn)定性考試，應(yīng)選擇乙參加比賽．【類題通法】1．計算標(biāo)準(zhǔn)差的算法2．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)的兩個作用(1)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度較?。?2)在實際應(yīng)用中，常常把平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)合起來進(jìn)行決策．在平均值相等的情況下，比較方差或標(biāo)準(zhǔn)差以確定穩(wěn)定性．【對點訓(xùn)練】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．(1)計算甲班的樣本方差；(2)計算乙班的樣本方差，并判斷哪個班的身高數(shù)據(jù)波動較?。猓?1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170.甲班的樣本方差為seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)同(1)中的算法，求得eq\x\to(x)乙＝171，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×(122＋92＋62＋32＋12＋22＋52＋72＋72＋102)＝49.8.seq\o\al(2,乙)＜seq\o\al(2,甲)，因此乙班的身高數(shù)據(jù)波動較小.題型三、數(shù)字特征的綜合應(yīng)用【例3】從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失，試?yán)妙l率分布直方圖求：(1)這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)．(2)這50名學(xué)生的平均成績．[解](1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標(biāo)即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標(biāo)所對應(yīng)的成績即為所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)約位于第四個小矩形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，高為0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，故中位數(shù)應(yīng)約為70＋6.7＝76.7.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點的橫坐標(biāo)乘以每個小矩形的面積求和即可．∴平均成績?yōu)?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.【類題通法】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長方形底邊的中點所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)①在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，但是有偏差；②表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)①平均數(shù)等于每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和；②平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點【對點訓(xùn)練】為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________．(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為________．(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為________．解析：(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設(shè)中位數(shù)為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.答案：(1)13(2)62.5(3)64【練習(xí)反饋】1．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a解析：選D將數(shù)據(jù)從小到大排列為10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，則平均數(shù)a＝eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位數(shù)b＝15，眾數(shù)c＝17，顯然a＜b＜c，選D.2．奧運會體操比賽的計分規(guī)則為：當(dāng)評委亮分后，其成績先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分?jǐn)?shù)的平均值，這是因為()A．減少計算量 B．避免故障C．剔除異常值 D．活躍賽場氣氛解析：選C因為在體操比賽的評分中使用的是平均分，記分過程中采用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公平．3．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是________.解析：數(shù)據(jù)從小到大排列后可得其中位數(shù)為eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均數(shù)為eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.答案：91.5,91.54．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3，若該樣本的平均值為1，則樣本方差為________解析：由題意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以樣本方差為s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：25．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成績情況如圖所示：(1)請?zhí)顚懴卤恚浩骄鶖?shù)中位數(shù)命中9環(huán)以上的次數(shù)(含9環(huán))甲7乙(2)從下列三個不同角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，誰的成績好些？②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，誰的成績好些？③從