7.22初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)專題

./旋轉(zhuǎn)證明利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線ABADBACBAEBAFBA例1ABADBACBAEBAFBA〔3若△EFC周長為,求正方形的面積.變式1：如圖,點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上,已知AB=a,△MCN的周長為2a,ADMBCADMBCNABCED1.如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,ABABCEDABACDEABACDEF探究：BF、DE與AE的關(guān)系.5.如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF=45°,則有結(jié)論EF=BE+FD成立?！?如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、CD上的點(diǎn),且∠EAF是∠BAD的一半,那么結(jié)論EF=BE+FD是否仍然成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)說明理由?！?若將〔1中的條件改為：在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延長BC到點(diǎn)E,延長CD到點(diǎn)F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,則結(jié)論EF=BE+FD是否仍然成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立。請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并證明。例2.在等邊△ABC中,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AO、BO、CO且AO=2,BO=1,CO=,求∠AOB,∠BOC的度數(shù)分別是多少？ABACADA2.如圖,點(diǎn)D為等邊△ABCABACADA3.在等邊△ABC中,O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接AO、BO、CO,有∠AOB＝,∠BOC=.問：AO、BO、CO三條線條能否構(gòu)成一個(gè)三角形若能,求出這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是多少度？若不能,請(qǐng)說明理由。25〔09XX一模.〔本小題8分圖①圖②〔1已知：如圖①,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D、E在斜邊AB上,且∠DCE=45°.求證：線段DE、AD、EB總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；〔2已知：如圖②,等邊三角形ABC中,點(diǎn)D、E在邊AB上,且∠DCE=30°,請(qǐng)你找出一個(gè)條件,使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形,并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)；〔3在〔1的條件下,如果AB=10,求BD·AE的值．25〔09西城一模．已知：,,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).〔1如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長；〔2當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.旋轉(zhuǎn)型相似例1.圖1是邊長分別為a和b〔a＞b的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和C′DE疊放在一起〔C與C′重合的圖形．〔1操作：固定△ABC,將△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,連結(jié)AD,BE,如圖2；在圖2中,線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論．〔2操作：若將圖1中的△C′DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連結(jié)AD,BE,如圖3；在圖3中,線段BE與AD之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論．〔3根據(jù)上面的操作過程,請(qǐng)你猜想當(dāng)為多少度時(shí),線段AD的長度最大？是多少？當(dāng)為多少度時(shí),線段AD的長度最??？是多少？〔不要求證明圖1圖2圖3例2.如圖為等邊△ABC和菱形BDEF,∠DBF=60°〔1觀察圖形eq\o\ac<○,1>,猜想AF與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論,不必證明.〔2將菱形BDEF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使菱形BDEF的一邊落在等邊△ABC內(nèi)部,在圖eq\o\ac<○,2>中畫出一個(gè)變換后的圖形,并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母,請(qǐng)問:<1>中的結(jié)論是否依然成立?若成立請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;〔3在上述旋轉(zhuǎn)過程中,AF與CD之間所夾的銳角度數(shù)是否發(fā)生變化?若不變,請(qǐng)你求出它的度數(shù),并說明理由;若改變,請(qǐng)說明它的度數(shù)是如何變化的.ACACBeq\o\ac<○,2>ACBDFEeq\o\ac<○,1>練習(xí)1．點(diǎn)A、B、C在同一直線上,在直線AC的同側(cè)作和,連接AF,CE．取AF、CE的中點(diǎn)M、N,連接BM,BN,MN．〔1若和是等腰直角三角形,且<如圖1>,則是三角形．〔2在和中,若BA=BE,BC=BF,且,〔如圖2,則是三角形,且.〔3若將〔2中的繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度,<如同3>,其他條件不變,那么〔2中的結(jié)論是否成立？若成立,給出你的證明；若不成立,寫出正確的結(jié)論并給出證明.3.填空或解答：點(diǎn)B、C、E在同一直線上,點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè),AB＝AC,EC＝ED,∠BAC＝∠CED,直線AE、BD交于點(diǎn)F。<1>如圖①,若∠BAC＝60°,則∠AFB＝_________；如圖②,若∠BAC＝90°,則∠AFB＝_________；<2>如圖③,若∠BAC＝α,則∠AFB＝_________<用含α的式子表示>；<3>將圖③中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)<點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合>,得圖④或圖⑤。在圖④中,∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________；在圖⑤中,∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________。請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。4、我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在一組對(duì)邊的平方和等于另外一組對(duì)邊的平方和,則稱這個(gè)四邊形為等平方和四邊形?！?寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等平方和四邊形的圖形的名稱：〔2如圖①,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足為O。求證：AD2+BC2=AB2+DC2。即四邊形ABCD是等平方和四邊形?！?如果將圖①中的△AOD繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度〔0<a<90°后得到圖,那么四邊形ABCD能否成為等平方和四邊形？若能,請(qǐng)證明；若不能,請(qǐng)說明理由。三．正方形中的旋轉(zhuǎn)例1.如圖1已知△ABC中,AB＝BC＝1,∠ABC＝90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上<直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為DF>,將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。<1>在圖1中,DE交AB于M,DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化,請(qǐng)說明是如何變化的？若不發(fā)生變化,求出其面積；<2>繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長AB交DE于M,延長BC交DF于N,DM＝DN是否仍然成立？若成立,請(qǐng)給出證明；若不成立,請(qǐng)說明理由；<3>繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置,延長FD交BC于N,延長ED交AB于M,DM＝DN是否仍然成立？請(qǐng)寫出結(jié)論,不用證明。練習(xí)：1.已知∠AOB=900,在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合,它的兩條直角邊分別與OA、OB<或它們的反向延長線>相交于點(diǎn)D、E．當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)<如圖1>,易證：OD+OE=eq\r<,2>OC．當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí),在圖2、圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)給予證明；若不成立,線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明．2.〔08平谷一模25．在圖中,把一副直角三角板ABC和EFG〔其短直角邊長均為4疊放在一起〔如圖①,且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〔旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分〔如圖②．〔1在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；〔2聯(lián)結(jié)HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)BH=x,△GKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍；圖①圖②〔3在〔2的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面積恰好等于△ABC圖①圖②3.〔08延慶一模23．〔1已知：有兩塊完全相同的含45°角的三角板,如圖10－1,將Rt△DEF的直角的=頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊AB的中點(diǎn)處,這時(shí)兩塊三角板重疊部分△DBC的面積是△ABC的面積的；〔2如圖10－2,點(diǎn)D不動(dòng),將Rt△DEF繞著頂點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)〔0°＜∠＜90°,這時(shí)兩塊三角板重疊部分為任意四邊形DNCM,這時(shí)四邊形DNCM的面積是△ABC的面積的；〔3若Rt△DEF的頂點(diǎn)D在AB上移動(dòng)〔不與點(diǎn)A、B重合,且兩條直角邊與Rt△ABC的兩條直角邊相交,是否存在一點(diǎn),使得兩塊三角板重疊部分的面積是Rt△ABC的面積的EQ\F<4,9>,如果存在,請(qǐng)?jiān)趫D10－3中畫出此時(shí)的圖形,并說明點(diǎn)D在AB上的位置。如果不存在,說明理由。圖10－圖10－3圖10－2圖10－14.〔08東城一模25．已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=900,點(diǎn)D為BC上一點(diǎn),把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D處.〔1如圖1,若BD=CD,將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),兩條直角邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)F,求出重疊部分AEDF的面積〔直接寫出結(jié)果；〔2如圖2,若BD=CD,將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使一條直角邊交AB于點(diǎn)E、另一條直角邊交AB的延長線于點(diǎn)F,設(shè)AE＝,兩塊三角板重疊部分的面積為,求出的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍；〔3若,將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使一條直角邊交AC于點(diǎn)F、另一條直角邊交射線AB于點(diǎn)E,設(shè)CF=,兩塊三角板重疊部分的面積為,求出的函數(shù)關(guān)系,并寫出自變量的取值范圍．24〔09延慶一模.如圖24－1,正方形ABCD和正方形QMNP,M是正方形ABCD的對(duì)稱中心,MN交AB于F,QM交AD于E．〔1猜想：ME與MF的數(shù)量關(guān)系〔2如圖24－2,若將原題中的"正方形"改為"菱形",且∠M=∠B,其它條件不變,探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并加以證明．〔3如圖24－3,若將原題中的"正方形"改為"矩形",且AB:BC=1:2,其它條件不變,探索線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．〔4如圖24－4,若將原題中的"正方形"改為平行四邊形,且∠M=∠B,AB:BC=m,其它條件不變,求出ME：MF的值。〔直接寫出答案四.倍長中線解決四邊形旋轉(zhuǎn)例1.〔08北京請(qǐng)閱讀下列材料：問題：如圖1,在菱形和菱形中,點(diǎn)在同一條直線上,是線段的中點(diǎn),連結(jié)．若,探究與的位置關(guān)系及的值．DABEFCPG圖DABEFCPG圖1DCGPABEF圖2請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題：〔1寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值；〔2將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形的對(duì)角線恰好與菱形的邊在同一條直線上,原問題中的其他條件不變〔如圖2．你在〔1中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．〔3若圖1中,將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度,原問題中的其他條件不變,請(qǐng)你直接寫出的值〔用含的式子表示．解：〔1線段與的位置關(guān)系是；．練習(xí)1.如圖1,操作：把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長線上〔CG＞BC,取線段AE的中點(diǎn)M。探究：線段MD、MF的關(guān)系,并加以證明。說明：〔1如果你經(jīng)歷反復(fù)探索,沒有找到解決問題的方法,請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來〔要求至少寫3步；〔2在你經(jīng)歷說明〔1的過程之后,可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件,完成你的證明。DM的延長線交CE于點(diǎn)N,且AD＝NE；將正方形CGEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°〔如圖2,其他條件不