題組24-點(diǎn)線面的位置關(guān)系與空間角

題組24點(diǎn)線面的位置關(guān)系與空間角空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系是立體幾何的核心，其中四個公理及其推論是立體幾何理論體系的基礎(chǔ)，是空間中確定平面的依據(jù)，是空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的依據(jù)，是作圖的依據(jù)，線面的平行和垂直關(guān)系是立體幾何的主體內(nèi)容，高考對這部分內(nèi)容的考查一是以客觀題的形式考查對線線、線面、面面位置關(guān)系的理解與掌握，難度不大.二是結(jié)合幾何體的三視圖、直觀圖考查幾何體的表面積、體積的計(jì)算，三是判斷位置關(guān)系和計(jì)算角度.空間向量一般較少單獨(dú)命題，主要是應(yīng)用在用向量討論立體幾何問題——求角、求距離、證明垂直與平行等.問題：(1)三視圖及相關(guān)的體積、表面積的簡單計(jì)算．(2)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．(3)距離、角度的向量計(jì)算.(4)存在型、探究型問題．三視圖是考查重點(diǎn)，幾乎年年都考，以選擇，填空題為主，當(dāng)然也可能在大題中由三視圖還原為直觀圖后考查定性及定量問題；對平行、垂直關(guān)系的證明依然是考查重點(diǎn)；符號語言、圖形語言、文字語言的相互轉(zhuǎn)化要引起足夠的重視(尤其在擇填空題)；引入了空間向量后，空間角的求解思維難度減小，計(jì)算要求提高了；有關(guān)球的考查降低了要求，不再考球面距離但球的表面積、體積要熟練掌握.AE?CF3AE?CF3 (Ⅰ)證明：平面AEC」平面AFC； (Ⅱ)求直線AE與直線CF所成角的余弦值.22.BDFEBDBEDF，可得EF=3222. 直角坐標(biāo)系G-xyz，由(Ⅰ)可得A(0,一3,0),E(1,0,2),F(一1,0,),C(0,3,0)，所以22.33(3(3)(33)點(diǎn)評：本題考查了面面垂直的判定方法、異面直線所成角的求法等知識.解第一問的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定方法：(1)其中一個平面經(jīng)過了另一個平面的垂線；(2)兩個平面的法向量互相垂直.第二問先建空間直角坐標(biāo)系，再找出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，即可求出角度.IABC-ABC中，側(cè)面BBCC為菱形，AB」BC.1 (II)若AC」AB三CBB=60oAB=BC11求二面角A-AB-C的余弦值.11C111111111111 11所以所以ACBB為等邊三角形．又AB=BC，1(3)(3)3(|n.AB=0|3y-3z=0word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載)3,3一3word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載)3,3一3n.m71117.點(diǎn)評：本題考查了線線的位置關(guān)系，幾何圖形的性質(zhì)、二面角知識的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握用向量的方法求二面角大小的步驟，屬于中檔題.第一小問利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)來證明，第二小問先建111111171111弦值為7. (I)證明AB⊥A1C; (II)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.解析：(I)取AB中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB111111∴ (II)由(I)知EC⊥AB，EA⊥AB，1111111),有題設(shè)知A(1,0,0),A(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),則BC=(1,0，),1BBAA－1,0,3),AC=(0,－3,3),111設(shè)n=(x,y,z)是平面CBBC的法向量，1..xx1∴cosn,AC=n.A1∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為5.點(diǎn)評：本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，屬于中檔題.1IABCABCACBCAA，2111 1 1111111 11111111111111OH」BD亭CH」BD得：點(diǎn)H與點(diǎn)D重合111111111點(diǎn)評：本題主要考查線線垂直關(guān)系和二面角的求法，除了解析中是方法外，也可以利用空間向量求解垂直關(guān)系二面角的大小.word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.圈題理由：證明線面平行和線面垂直問題是高考?？碱}型，除了解析中提供的方法外，本題還可以直接利用幾何推理證明.軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系9(9)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組|lx－y<8經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以，在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.點(diǎn)O、E分別是棱AC和BB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱BC上的動點(diǎn)．111word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載(2)求點(diǎn)E到面AB1C的距離；(3)求二面角B1—A1C—C1的大小．圈題理由：本題綜合考查了空間垂直關(guān)系的證明、空間角和點(diǎn)到平面距離的求法.解析：(1)設(shè)棱柱的高為h，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA、BC、BB所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角122×4＋h22∵F是B1C1上的動點(diǎn)，設(shè)平面A1B1C的一個法向量是1①②①②11word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載→11sn11(1)求二面角A—PD—B的余弦值；(1)求二面角A—PD—B的余弦值；成角的正弦值為，若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由．圈題理由：從新課標(biāo)I卷近4年對立體幾何的考查方式來看，解答題中一般會有兩問，第一問證明線面關(guān)系，第二問求線面角.本題是求線面角的問題，第二問關(guān)于存在性問題的處理可先假設(shè)存在，再證明.又AC∩CB＝C，66面角A—PD—B的平面角為θ，且θ為鈍角，(2)(方法一)存在，M是AB的中點(diǎn)或A是MB的中點(diǎn)．word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載x1x2＋2－x2＋4·66，M∴在直線AB上存在點(diǎn)M，且M是AB的中點(diǎn)或A是MB的中點(diǎn)，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為16. (方法二)存在，M是AB的中點(diǎn)或A是MB的中點(diǎn)．解得λ＝1或λ＝－1.2∴M是AB的中點(diǎn)或A是MB的中點(diǎn)．∴在直線AB上存在點(diǎn)M，且M是AB的中點(diǎn)或A是MB的中點(diǎn)，使得PM與平面PAD所成角的正弦值為16.1、設(shè)有直線m、n和平面a、.下列命題不正確的是(填序號).ma,na,m∥,n∥,a與也可以相交，所以②不對；C||||25·102.23、如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝3a，則則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()建建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯AMDBPC平面PMD⊥平面PBD.MABPC同理DA//平面BPC.∵ABCD為正方形，1∴E為BD中點(diǎn)．又F為PD中點(diǎn)，∴EF//2PB.又AM//2PB，∴AM//EF.5、如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、D (2)連結(jié)BD.DM是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足______________時，平面MBD⊥平面PCD.word專業(yè)資料-可復(fù)制編輯-歡迎下載DMBDPCD (Ⅱ)求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值； (Ⅲ)在棱DC上是否存在一點(diǎn)N,使得直線MN與平面EMC所成的角為60。．若存在，指出點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．解析：(I)證明：AC=BC,M是AB的中點(diǎn)：CM」AB．DECACMB (Ⅱ)以M為原點(diǎn)，分別以MB,MC為x，y軸，如圖建立坐標(biāo)系Mxyz，則M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(2,0,1)BC1111y222|l2y=021== 所以平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值6. FEMCBDAwordFEMCBDA2形.將正方形ABEF沿AB折起到四邊形ABEF的位置，使平面ABEF」平面ABCD，M為AF的11111 1 (Ⅱ)求BM與平面CEM所成角的正弦值；1 (Ⅲ)判斷直線DM與CE的位置關(guān)系，并說明理由．1CCDFAB解析：(Ⅰ)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BE1F1為正方形，所以BE1」AB.因?yàn)槠矫鍭BCD」平面ABEF，平面ABCDn平面ABEF=AB,BE仁平面ABEF，1111