線段的垂直平分線（第1課時(shí)） 教學(xué)設(shè)計(jì)

15.2線段的垂直平分線第1課時(shí)宣城市績(jī)溪縣適之中學(xué)錢潔玉一、教學(xué)目標(biāo)1、能夠利用尺規(guī)法作一條已知線段的垂直平分線，并能證明它的正確性。2、經(jīng)歷探索、證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理的過(guò)程，初步掌握幾何證明方法，提升幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養(yǎng)。3、能夠利用線段垂直平分線的性質(zhì)解決具體情境中的現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題，體驗(yàn)解決問(wèn)題的策略，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和模型觀念，在問(wèn)題解決的過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用尺規(guī)法作線段的垂直平分線，探索線段垂直平分線性質(zhì)定理難點(diǎn)：線段的垂直平分線尺規(guī)作法的正確性和垂直平分線性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用三、教學(xué)用具多媒體課件、圓規(guī)、三角板、學(xué)案四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境問(wèn)題：為了便于廣大市民完成核酸采樣，政府計(jì)劃在A、B兩個(gè)小區(qū)之間設(shè)立核酸檢測(cè)采樣點(diǎn)，使它到兩個(gè)小區(qū)的距離相等，應(yīng)建立在什么位置？預(yù)設(shè)：連接線段AB，建立在線段AB的中點(diǎn)位置。追問(wèn)：還有其他情況嗎？【復(fù)習(xí)回顧】垂直平分線的定義:經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫做線段的中垂線。符號(hào)語(yǔ)言：∵CD⊥AB垂足為O，且AO=BO∴直線CD是線段AB的垂直平分線問(wèn)題：如何作出一條線段的垂直平分線呢？積極思考在教師的引導(dǎo)下回顧垂直平分線的定義及其符號(hào)語(yǔ)言通過(guò)熟悉的生活情境引入，提高學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，同時(shí)滲透愛(ài)國(guó)主義教育。并通過(guò)追問(wèn)引出本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。通過(guò)回顧垂直平分線的定義，滲透三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為性質(zhì)定理的三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言做鋪墊。環(huán)節(jié)二合作探究【合作交流】問(wèn)題1：已知線段AB，你能用已學(xué)的知識(shí)作出它的垂直平分線嗎？你有幾種方法？這樣作的依據(jù)是什么？預(yù)設(shè)：方法一：折疊法：依據(jù)是軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線。方法二：度量法：依據(jù)是垂直平分線的定義。方法三：尺規(guī)法。教師活動(dòng)：播放視頻，介紹利用尺規(guī)作圖的方法作線段AB的垂直平分線已知：線段AB求作：直線CD，使得CD垂直平分線段AB。作法：(1)分別以A、B為圓心，大于12AB長(zhǎng)為半徑畫弧(為什么？)交于點(diǎn)C、D(2)過(guò)點(diǎn)C、D作直線。則直線CD就是線段AB的垂直平分線。追問(wèn)：作出線段AB的垂直平分線經(jīng)歷了幾個(gè)步驟？你有什么疑問(wèn)？預(yù)設(shè)：1.為什么半徑大于122.直線CD為什么是線段AB的垂直平分線？教師活動(dòng)：幾何畫板演示半徑對(duì)兩弧交點(diǎn)的影響，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作圖過(guò)程中產(chǎn)生的相等線段。已知：AC=BC=AD=BD求證：CD⊥AB,AO=BO追問(wèn)1：證明線段相等可以用什么方式？追問(wèn)2：哪兩個(gè)三角形的全等可以證明AO=BO，CD⊥AB？已有哪些條件？還缺少什么條件？追問(wèn)3：由已知可以得到哪些三角形全等？它們的全等可以得到我們?nèi)鄙俚臈l件嗎？小組討論后證明：生敘述問(wèn)題2：聰明的小華同學(xué)說(shuō)，他在用尺規(guī)法作線段AB的垂直平分線時(shí)，上下弧的半徑不等但都大于12AB，他說(shuō)這樣作出的直線也是線段AB的垂直平分線。你們認(rèn)為他說(shuō)的對(duì)嗎？為什么？追問(wèn)：此時(shí)已知條件發(fā)生了什么變化？已知：AC=BC，AD=BD求證：CD⊥AB，AO=BO證明：生敘述溫馨提示：既然直線CD是線段AB的垂直平分線，那么點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，所以求作線段的中點(diǎn)也可以運(yùn)用這種方法！小組討論與全班同學(xué)分享作出線段AB的垂直平分線的方法認(rèn)真觀看視頻，熟悉如何作出線段AB的垂直平分線并積極思考視頻中提出的問(wèn)題學(xué)習(xí)作法后學(xué)生自主作出線段AB的垂直平分線積極思考，大膽質(zhì)疑通過(guò)幾何畫板的演示找到已知條件積極思考小組討論證明方法自主思考證明方法通過(guò)引導(dǎo)的方式引發(fā)學(xué)生思考用已學(xué)的知識(shí)如何作出線段AB的垂直平分線，學(xué)生通過(guò)小組討論的方式學(xué)會(huì)獨(dú)立思考與合作探究。通過(guò)播放視頻的方式突出本節(jié)課的重點(diǎn)，利用多媒體增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在播放視頻前提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注作出線段AB的垂直平分線經(jīng)歷了幾個(gè)步驟。通過(guò)動(dòng)手操作進(jìn)一步發(fā)展操作實(shí)踐能力，并讓學(xué)生在操作時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，再通過(guò)交流分析和解決問(wèn)題。讓學(xué)生掌握解決問(wèn)題的策略。引導(dǎo)學(xué)生分析尺規(guī)法作圖過(guò)程中形成的已知條件，提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)引導(dǎo)的方式激發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考與小組討論相結(jié)合的方式證明直線CD為什么是線段AB的垂直平分線，將本節(jié)課的難點(diǎn)分解成問(wèn)題串，循序漸進(jìn)地進(jìn)行突破，同時(shí)也將課堂的主體交還給了學(xué)生。從而獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并在合作探究中形成批判質(zhì)疑、克服困難的科學(xué)精神。進(jìn)一步分析尺規(guī)作圖的方法，提升創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)生在證明過(guò)程中初步掌握幾何證明方法，進(jìn)一步增強(qiáng)幾何直觀、空間觀念和推理能力。環(huán)節(jié)三探究性質(zhì)【自主探究】問(wèn)題：如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，CA與CB有什么數(shù)量關(guān)系呢？DA與DB呢？OA與OB呢？C、O、D都在哪兒？教師活動(dòng)：幾何畫板演示在直線CD上取一點(diǎn)P，點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等。追問(wèn)1：你有什么猜想？猜想：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。追問(wèn)2：如何驗(yàn)證？驗(yàn)證以文字形式敘述的命題需要經(jīng)歷哪些完整的步驟？教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧證明文字?jǐn)⑹龅臄?shù)學(xué)命題證明過(guò)程：1.根據(jù)命題內(nèi)容畫出圖形并標(biāo)上字母；2.根據(jù)題設(shè)寫出已知，根據(jù)結(jié)論寫出求證；3.寫出證明過(guò)程。已知：如圖，直線l⊥AB，垂足是O，AO=BO,P是l上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB。求證：PA=PB證明：生敘述預(yù)設(shè)：∵l⊥AB（已知）∴∠POA=∠POB=90°（垂直的定義）在?POA和?POB中OA=OB（已知）∠POA=∠POB（已證）OP=OP（公共邊）∴?POA≌?POB（SAS）∴PA=PB定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。符號(hào)語(yǔ)言：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線l上∴PA=PB教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)性質(zhì)來(lái)解決線段相等的問(wèn)題，分析垂直平分線問(wèn)題中輔助線的常用作法。在教師的引導(dǎo)下積極思考通過(guò)觀察幾何畫板中點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離提出猜想認(rèn)真思考證明命題所經(jīng)歷的幾個(gè)步驟先自主探究，再向全班展示證明過(guò)程通過(guò)幾何畫板的演示直觀感受線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，通過(guò)觀察分析提出猜想，并體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)證明命題的過(guò)程感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生通過(guò)推理證明過(guò)程初步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流，進(jìn)一步提升推理能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神。環(huán)節(jié)四鞏固新知【隨堂練習(xí)】1.已知△ABC，直線DE垂直平分AB，交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)D，連接BD。（1）若AD=10,求線段BD的長(zhǎng)。（2）若△BCD周長(zhǎng)等于24，BC=10，求AC的長(zhǎng)。問(wèn)題1：直線DE垂直平分AB可以得到哪些相等的線段？問(wèn)題2：當(dāng)它們相等時(shí)△BCD的周長(zhǎng)發(fā)生了什么變化？可以轉(zhuǎn)化為哪些線段的和？2.已知△ABC，直線DE垂直平分AB，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、D。求證：AC＞BC。（拓展題）3.如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線l1交BC于D，AC的中垂線l2交BC于E，l1與l2相交于點(diǎn)O。（1）求△ADE的周長(zhǎng)；（2）若∠BAC=150°，則∠DAE=°（3）若∠BAC=α，則∠DAE=（4）分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長(zhǎng)為18cm，求OA的長(zhǎng)。自主完成（1），在教師引導(dǎo)時(shí)積極思考，小組討論完成（2），然后集體交流評(píng)價(jià)性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用作為本節(jié)課的第二個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)生解決問(wèn)題的同時(shí)加以引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考與小組討論的主動(dòng)性，從學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)中突破難點(diǎn)。練習(xí)2的設(shè)計(jì)增強(qiáng)了學(xué)生做輔助線的意識(shí)。通過(guò)課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并考查學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，在練習(xí)過(guò)程中進(jìn)一步增強(qiáng)推理能力，形成模型觀念。環(huán)節(jié)五課堂小結(jié)回顧本節(jié)課所講的內(nèi)容通過(guò)導(dǎo)圖回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)本節(jié)課知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化和條理化的鞏固。環(huán)節(jié)六問(wèn)題解決為了便于廣大市民就近快速完成核酸采樣，政府計(jì)劃在兩個(gè)小區(qū)之間增設(shè)核酸檢測(cè)采樣點(diǎn)，使它到兩個(gè)小區(qū)的距離相等，應(yīng)建立在什么位置？利用本節(jié)課所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步解決課堂開(kāi)始時(shí)的情境問(wèn)題學(xué)生在解決問(wèn)題中進(jìn)一步加深對(duì)性質(zhì)理解，提升應(yīng)用意識(shí)。通過(guò)解決具體情境中的數(shù)學(xué)問(wèn)題感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值。環(huán)節(jié)七板書設(shè)計(jì)15.2.1線段的垂直平分線一、線段垂直平分線的作法①折疊法②度量法③尺規(guī)法二、垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。符號(hào)語(yǔ)言：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線l上∴PA=PB板書分為兩個(gè)部分，分別突出了本節(jié)課的兩個(gè)重點(diǎn)，并體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三種形式，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的印象。環(huán)節(jié)八作業(yè)布置【A組】1.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是()A．AB＝ADB．CA平分∠BCDC．AB＝BDD．△BEC≌△DEC2.如圖，DE是△ABC的邊BC的垂直平分線，分別交邊AB，BC于點(diǎn)D，E，且AB＝9，AC＝6，則△ACD的周長(zhǎng)是。3.如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B在直線l異側(cè)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧交直線l于C、D兩點(diǎn)．分別以C、D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE.(1)根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；(2)求證：l垂直平分AE.【B組】1.如圖，在△ABC中，BC邊上兩點(diǎn)D、E分別在AB、AC的垂直平分線上，若BC＝24，則△ADE的周長(zhǎng)為()A．22B．23C．24D．252.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.(1)若∠A＝40°，求∠M的度數(shù)．(2)如果將(1)中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，求∠M的度數(shù)．(3)由(1)(2)你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并說(shuō)明理由．3.如圖(1)，在AB上找一點(diǎn)M，使得MC+MD最短。在AB上找一點(diǎn)N，使得NC=ND。(不寫作法和證明，只保留作圖痕跡)圖（1）如圖(2)，在AB上找一點(diǎn)M，使得MC+MD最短。在AB上找一點(diǎn)N，使得NC=ND。(不寫作法和證明，只保留作圖痕跡)圖（2）【C組】1.如圖，在△ABC中，AB=6,BC=7,AC=4，直線m是△ABC中BC的垂直平分線，點(diǎn)P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，則△APC周長(zhǎng)的最小值為。2.如圖，CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A，E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，∠CAB=∠BCA，CE⊥BD。(1)直線AC是線段DE的垂直平分線嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由；(2)線段CD與BD相等嗎?試說(shuō)明理由。3.已知：如圖，AB=CD，線段AC