高考復(fù)習(xí)數(shù)列解答題大題訓(xùn)練測試題(含答案)

高考復(fù)習(xí)數(shù)列大題訓(xùn)練題一、解答題（共19題；共190分）1.（2018高三上·濟南月考）已知等差數(shù)列中，，且前10項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．2.（2020·肥城模擬）記為公差不為零的等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求的最大值及對應(yīng)的大小.3.（2018·綿陽模擬）已知正項數(shù)列的前項和滿足：．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.4.已知數(shù)列的前項和滿足，且是的等差中項，是等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2），求數(shù)列的前項和.

5.（2020·新課標(biāo)Ⅲ·理）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．6.（2020·新課標(biāo)Ⅰ·理）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前n項和．7.（2020·新高考Ⅱ）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.8.（2020高二下·麗水期末）已知數(shù)列的前n項和，正項等比數(shù)列滿足，且是與的等差中項．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．9.（2020高一下·大慶期末）在等差數(shù)列中，為其前n項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項和10.（2020高一下·六安期末）記為等差數(shù)列的前n項和，已知．（1）若，求的通項公式；（2）若，求使得的n的取值范圍．11.（2020高一下·太和期末）已知數(shù)列的前n項和為，且.（1）求出數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.12.（2020高一下·湖州期末）設(shè)為數(shù)列的前n項和，滿足，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前n項和為，求使得成立的n的最小值．13.（2020高一下·溫州期末）已知數(shù)列滿足：且，（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記數(shù)列的前n項和，證明：14.（2020高一下·徐匯期末）已知數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列中的最小項.15.（2020高一下·上海期末）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.16.（2020高一下·上海期末）設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項和.17.（2020高一下·上海期末）已知為的前n項和，是等比數(shù)列且各項均為正數(shù)，且，，.（1）求和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和.18.（2020高一下·上海期末）在數(shù)列中，，，且；（1）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求q的值，并證明：對任意的，是與的等差中項；19.（2020高一下·開魯期末）設(shè)數(shù)列的前n項和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和.

答案解析部分一、解答題1.【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d．由已知得解得所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1

（2）解：bn＝，所以【解析】【分析】(1)本題主要考查數(shù)列的通項公式，先設(shè)首項和公差，由題意可得，從而可得首項和公差，進而可得通項公式;(2)本題主要考查裂項相消的方法來求數(shù)列的和，由題意bn=，從而可得其前n項和.2.【答案】（1）解：設(shè)的公差為，且．由，得，由，得，于是,．所以的通項公式為．

（2）解：由（1）得因為，所以當(dāng)或時,有最大值為20．【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程，由此解得，進而求得的通項公式.（2）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式求得，利用配方法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值及對應(yīng)的大小.3.【答案】（1）解：由已知，可得當(dāng)時，，可解得，或，由是正項數(shù)列，故.當(dāng)時，由已知可得，，兩式相減得，.化簡得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.∴數(shù)列的通項公式為.

（2）解：∵，代入化簡得，顯然是等差數(shù)列，∴其前項和.【解析】【分析】（1）先求a1,再消去sn得到an之間的遞推。(2)化簡可得bn是等差數(shù)列。4.【答案】（1）解：由題意知，當(dāng)時，，又因為，且，則，所以，又成等差數(shù)列，則，所以，解得，所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故.設(shè)的公差為，則，解得，所以.

（2）解：由（1）得，所以，，兩式相減得，整理得.【解析】【分析】(1)首先根據(jù)數(shù)列前n項和求得數(shù)列an，再依據(jù)等差數(shù)列定義求得bn.

(2)首先求得數(shù)列cn.再根據(jù)錯位相減求得數(shù)列前n項和。5.【答案】（1）解：由題意可得，，由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立

（2）解：由（1）可知，，①，②由①②得：，即.【解析】【分析】（1）利用遞推公式得出，猜想得出的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）由錯位相減法求解即可.6.【答案】（1）解：設(shè)的公比為q，為的等差中項，，；

（2）解：設(shè)的前項和為，，，①，②①②得，，.【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比q的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.7.【答案】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>1)，則，整理可得：，，數(shù)列的通項公式為：.

（2）解：由于：，故：.【解析】【分析】(1)由題意得到關(guān)于首項、公比的方程組，求解方程組得到首項、公比的值即可確定數(shù)列的通項公式；(2)首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式求解其前n項和即可.8.【答案】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意可得：，解得，或（舍去），，∴，；

（2）解：由（1）有，∴，，，兩式相減有：，∴．【解析】【分析】（1）由可求出，設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和等差中項的定義列出方程，由此可求出答案；（2）由（1）有，然后根據(jù)錯位相減法求和即可．9.【答案】（1）解：由已知條件得解得所以通項公式為：

（2）解：由（1）知，，∴數(shù)列的前項和

（3）解：由①②①-②得，【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，求出首項和公差即可得到答案；（2）由的通項公式得到的通項公式，然后根據(jù)裂項相消法求前n項和；（3）由的通項公式得到的通項公式，然后根據(jù)錯位相減法求前n項和；10.【答案】（1）解：設(shè)的公差為d．由得．由得．于是．因此的通項公式為

（2）解：由得，故.由知，故等價于，解得．所以的取值范圍是【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為d．由，，利用“”求解．（2）由（1）得，故，然后解不等式即可.11.【答案】（1）解：（n∈N*），可得n＝1時，S1+1＝2a1，即a1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1，Sn+n＝2an，Sn﹣1+n﹣1＝2an﹣1，相減可得an+1＝2an﹣2an﹣1，可得an＝2an﹣1+1，即an+1＝2（an﹣1+1），則數(shù)列{an+1}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，可得an+1＝2n，即an＝2n﹣1

（2）解：前n項和為Tn＝①2Tn＝②兩式相減可得﹣Tn＝2+2(22+…+2n)﹣=化簡可得【解析】【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式：時，，當(dāng)時，，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可得所求；（2）求得，運用數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．12.【答案】（1）解：由已知得時，，所以，，，故依題得，所以是以1位首項，3為公比的等比數(shù)列，所以

（2）解：由（1）知，，所以，所以由，即n的最小值為8【解析】【分析】（1）由和，可得，所以為等比數(shù)列，再由，，成等差數(shù)列，通過遞推分別用表示，列方程可得首項為，進而寫出通項公式.（2）寫出，利用等比數(shù)列的前n項和公式求，對不等式進行化簡可得，，即可求出n的最小值.13.【答案】（1）解：由，得，可知為等比數(shù)列，且首項為，公比為2

（2）解：由（1）得到，所以...即證明.因為.所以前1項單獨驗證，即當(dāng)n=1時，有.綜上所述，【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.（2）由（1）求得的表達式，進而求得的表達式，利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式，證得不等式成立.14.【答案】（1）證明：，又，∴是首項為1，公比為的等比數(shù)列

（2）解：，則，①時，，則，②時，，則，∴，即【解析】【分析】（1）由得，進而可得，即可得出結(jié)果；（2）先寫出的通項公式，，討論n的情況，比較的大小即可得出結(jié)論.15.【答案】（1）證明：，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列

（2）解：由于，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，因此，【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）確定等比數(shù)列的首項和公比，求出數(shù)列的通項公式，即可求出.16.【答案】解：（Ⅰ）因為，所以，，故當(dāng)時，此時，即所以，（Ⅱ）因為，所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，所以，兩式相減，得所以，經(jīng)檢驗，時也適合，綜上可得：【解析】【分析】（Ⅰ）利用數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系求解；（Ⅱ）結(jié)合第（Ⅰ）問的結(jié)果，利用關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，并結(jié)合其通項的結(jié)構(gòu)特征，采用錯位相減法求其前n項和.17.【答案】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，也適合上式，故；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可知：，因為，所以由或，因為，所以，因此，所以，

（2）解：由（1）可知：，，所以，因此，，得，，所以【解析】【分析】（1）利用公式，求出數(shù)列的通項公式；設(shè)出等比數(shù)列的公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合已知求出公比，進而求出數(shù)列的通項公式；（2）結(jié)合（1）求出數(shù)列的通項公式，最后利用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式進行求解即可.18.【答案】（1）證明：由題設(shè)（），得，即，．又，，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

（2）解：由（1），，……，（）．將以上各式相加，得（）．所以當(dāng)時，上式對顯然成立

（3）解：由（2），當(dāng)時，顯然不是與的等差中項，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以對任意的，是與的等差中項【解析】【分析】（1）利用已知條件（），設(shè)，變形得出，，再利用，，結(jié)合等比數(shù)列的定義，從而證明出數(shù)列是等比數(shù)列。

（2）利用等比數(shù)列通項公式求出等比數(shù)列的通項公式，再利用累加法，進而求出數(shù)列的通項公式。