2023年其次十六屆希望杯初二第1試（含參考答案）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年其次十六屆希望杯初二第1試（含參考答案）其次十六屆“希望杯〞全國數(shù)學邀請賽

初二第1試試題

2023年3月15日上午8:30至10：00一、選擇題（每題4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,則a2+b2的值是（）

(A)48(B)76(C)58(D)52

2.若一次函數(shù)y=x+5的圖像經過點P(a，b)和Q(c,d),則ad+bc-ac-bd的值是（）(A)9(B)16(C)25(D)-253.已知

為

的平方根，則滿足此關系的x的值得個數(shù)是（）

(A)4(B)3(C)2(D)1

4.Supposeaisaninteger,solutionstotheequationax+5=4x+1arepositiveintegers.Thenthenumberofais()

(A)2(B)3(C)4(D)5

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，則菱形對角線交點到各邊的距離之和是（）(A)3(B)4(C)

(D)12

6.如圖1所示，點M,N,P,Q分別是邊長為1的正方形ABCD各邊的中點，則陰影部分的面積是（）(A)(B)(C)(D)

7.如圖2所示，字母A到G分別代表1到7中的一個自然數(shù)，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分別被3除，都余1，則G是（）(A)1或4(B)1或7(C)4或7(D)1或4或78.以下說法：

①平行四邊形包含矩形、菱形和正方形②平行四邊形是中心對稱圖形

③平行四邊形的任一條角平分線可把平行四邊形分成兩個全等的三角形④平行四邊形兩條對角線把平行四邊形分成四個面積相等的三角形其中正確說法的序號是()

(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④9.有一列數(shù)：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整數(shù)），若將這列數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)依照大小次序排列，恰好中間的數(shù)是左、右兩個數(shù)的平均數(shù)，則x可能取得值得和是（）(A)3(B)9(C)17(D)20

10.對于自然數(shù)m，假使m能夠整除13232223（m-1），那么稱m為“公除數(shù)〞，則4到20（包括4和20）的自然數(shù)中，“公除數(shù)〞的個數(shù)是（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

二、A組填空題（每題4分，共40分）11.若

,

,則

,則a+b=_____________

1

12.已知a，b都是有理數(shù)，且

13.已知a+b+c=1.

14.已知m，n是實數(shù)，且當x>2023時，

15.設a,b,c都是正整數(shù)，且116.若關于x,y的方程組與方程組的解一致，則a+b=___________

17.AsshownintheFig.3,BandCarepointsonADin△AED.AB=CD,EB=EC=10,BC=12.Theperimeterof△AEDistwicetheperimeterof△EBC.Then

.

(S△AEDrepresentstheareaof△AED,S△EBCrepresentstheareaof△EBC).(英漢小詞典；perimeter周長，area面積)18.若

19.如圖4所示，四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD,且AB=21，AD=9，BC=DC=10，則AC=_______20.已知

三、B組填空題（每題8分，共40分）

21.若xy>0,則點(x,y)在直角坐標系中位于第_____象限或第_____象限22.已知

,則x+y的值等于______或_________

23.如圖5所示，C在線段AB上，在AB的同側作等邊△ACM和△BCN,連接AN,BM.若∠MBN=38°，則∠AMB=_____度，∠ANC=_______度24.下面是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：

根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第5行從左向右第5個數(shù)位________，第n（n≥3,且n是整數(shù)）行從左向右第5個數(shù)是_____(用含n的代數(shù)式表示)

2

25.長為

的三條線段可以構成三角形，則自然數(shù)n=_____或________.

答案詳細解析

2023年3月15日上午8:30至10：00三、選擇題（每題4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,則a2+b2的值是（）

(A)48(B)76(C)58(D)52

3

解析：由于（a+b）2=a2+b2+2ab，代入得102=a2+b2+48，a2+b2=100-48=52

這是完全平方公式（a+b）2=a2+b2+2ab公式得變式應用，把a+b,a2+b2,ab看做一個整體，知道其中2個求第三個式子都可以，只要把其中2個值代入即可求得，這是數(shù)學的整體思想。

a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab這一個過程將a2+b2不上一個中間項配湊成一個完全平方公式，這個過程叫做配方，配方在以后的求二次方程，二次函數(shù)的應用比較多。

還有一種方法：韋達定理a+b=10,ab=24，以a，b為解的方程是x2-（a+b）x+ab=0即x2-10x+24=0的解。解得a=4，b=6或者a=6，b=4

純粹用方程的方法也可以，以a，b為未知數(shù)解這個方程組，求a，b。

最簡單的方法是第一種整體思想，這個可以推廣到另一個（a-b）2=a2+b2-2ab也同樣可以。例如已知a2+b2=10，a-b=-4,求ab

2.若一次函數(shù)y=x+5的圖像經過點P(a，b)和Q(c,d),則ad+bc-ac-bd的值是（）(A)9(B)16(C)25(D)-25

解析:通法:把P,Q坐標代入函數(shù)表達式可得a+5=b,c+5=d,則ad+bc-ac-bd

=a(c+5)+(a+5)c-ac-(a+5)(c+5)=ac+5a+ac+5c-ac-ac-5(a+c)-25=-25

特別值法：由于a，b，c，d的值是不確定的，但只要滿足表達式有y=x+5就可以，所以取2組特別值。例

取a=0,b=5，取c=1，d=6代入。由于這是選擇題，無論a，b，c，d的值是多少，最終結果是一個定值，只要取值滿足y=x+5就可以了。3.已知

為

的平方根，則滿足此關系的x的值得個數(shù)是（）

(A)4(B)3(C)2(D)1解析:所以

-本身就是一個完全平方式子，可化簡得平方根為±

，對于方程

，所以

±

,注意一個正數(shù)的平方根有2個，

，展開得2個方程

或

5x2-4x=0，得x=0或4/5

對于方程-，3x2-4x+2=0用求根公式應有2個解=為什么答案是2個，求解答？？我

個人認為有四個值。

4.Supposeaisaninteger,solutionstotheequationax+5=4x+1arepositiveintegers.Thenthenumberofais()

(A)2(B)3(C)4(D)5

解析：翻譯結果為“若a是整數(shù)，方程ax+5=4x+1的解是正整數(shù)，則a的值有幾個______(integer整數(shù)，positiveintegers正整數(shù))

4

這個方程化簡為(a-4)x=-4,

,若，則a-4=-1或-2或-4，所以有3個。

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，則菱形對角線交點到各邊的距離之和是（）

D(A)3(B)4(C)(D)12

O6AC解析:如右圖，所求為OP的4倍，在Rt△OPC中，∠OCP=30°，所以由30°所對的直角邊等于斜邊的一半。

PB直角邊OP是斜邊OC的一半，OP=3,所求12.

6.如圖1所示，點M,N,P,Q分別是邊長為1的正方形ABCD各邊的中點，則陰影部分的面積是（）

(A)(B)(C)(D)

解析：圖中所有的直角三角形為相像三角形?？勺C中間陰影部分圖形為一個正方形。（證明略）只要求出其邊長即可

DPC525:1=1:CO,CO=25OR是ΔOBC的中位線5OR是CO的一半，為551面積為（）2=55

Q52ORN1A1

MB7.如圖2所示，字母A到G分別代表1到7中的一個自然數(shù)，若A+G+D,B+G+E,C+G+F分別被3除，都余1，則G是（）(A)1或4(B)1或7(C)4或7(D)1或4或7

解析:1~7被3除結果又3類，分為3組，1,4,7被3除余12,5被3除余2,

3,6被3整除G是1,4，7的其中一個，都是被3除余1，則另外2個只要滿足和能被3整除，

8.以下說法：

①平行四邊形包含矩形、菱形和正方形②平行四邊形是中心對稱圖形

5

③平行四邊形的任一條角平分線可把平行四邊形分成兩個全等的三角形④平行四邊形兩條對角線把平行四邊形分成四個面積相等的三角形其中正確說法的序號是()

(A)①②④(B)①③④(C)①②③(D)①②③④

解析;第三個應為任一條對角線才行。

9.有一列數(shù)：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整數(shù)），若將這列數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)依照大小次序排列，恰好中間的數(shù)是左、右兩個數(shù)的平均數(shù)，則x可能取得值得和是（）(A)3(B)9(C)17(D)20

解析：按從大到小排列為10,5,2,2,2,1，x未知，不插入排列，眾數(shù)為2，無論x為多少，中位數(shù)仍為2，平均數(shù)為

10.對于自然數(shù)m，假使m能夠整除13232223（m-1），那么稱m為“公除數(shù)〞，則4到20（包括4和20）的自然數(shù)中，“公除數(shù)〞的個數(shù)是（）

(A)9(B)10(C)11(D)12

解析：只要是不是質數(shù)，但4除外，都是公除數(shù)，6,8,9，10,12,14,15,16,18,20都是四、A組填空題（每題4分，共40分）11.若

,

,則

，無論x為何值，中間數(shù)為2，

與題目x是正整數(shù)相矛盾，無解？？？？？？？？

解析;

12.已知a，b都是有理數(shù)，且解析：

,則a+b=____________

也是有理數(shù)，

，

由于a，b是有理數(shù)，故左邊(a+1)也是有理數(shù)，但右邊是則

必為無理數(shù)，若等式成立，則

，(a+1)=0，得到a=-1，b=-1,z則a+b=-2

13.已知a+b+c=1.

解析：=1+.

6

14.已知m，n是實數(shù)，且當x>2023時，

解析：恒成立，值與x無關，則m+n=5,2(m-n)=2

則

15.設a,b,c都是正整數(shù)，且1解析:由于2023=1*5*13*31,分解因數(shù)有1,5,13,31，由于1

16.若關于x,y的方程組與方程組的解一致，則a+b=___________

解析：這四個方程共解，解方程組解得，代入剩余的2個方程得到以a，b為未知數(shù)的方

程組

，解得，所以a+b=6+2=8

17.AsshownintheFig.3,BandCarepointsonADin△AED.AB=CD,EB=EC=10,BC=12.Theperimeterof△AEDistwicetheperimeterof△EBC.Then

.

(S△AEDrepresentstheareaof△AED,S△EBCrepresentstheareaof△EBC).(英漢小詞典；perimeter周長，area面積)

解析;翻譯如圖3，B和C是△AED中AD邊上的兩點，

已知AB=CD,EB=EC=10,BC=12，△AED的周長是△EBC周長的2倍，求△AED和△EBC的面積之比。以AD所在直線為底邊，E為頂點，兩個三角形高相等，所求面積