合適尺寸 實際尺寸

/合適尺寸實際尺寸上圖已是實際尺寸三次方程目錄［隱藏]ＨYPERLINK”＂\ｌ"1#1”英文名稱ＨＹPＥＲLINＫ"”\l＂2#2"一元三次方程的形式ＨYPERLＩNK"＂\l”3#3"一元三次方程的韋達(dá)定理ＨＹＰERＬINK”"\l"4#4"一元三次方程解法思想HYPEＲＬINK＂”\l＂5＃5"一元三次方程解法的發(fā)現(xiàn)ＨYPERLIＮK＂"\l”6＃６"一元三次方程的卡爾丹公式解法HYＰＥRLINK"＂＼l”7＃7”三次方程的其他解法HYＰＥRＬINK＂"\l”1＂英文名稱HＹPＥRＬINＫ”＂\l”2"一元三次方程的形式HYPERLINK”"\l”３＂一元三次方程的韋達(dá)定理ＨYPERLINＫ"＂＼l"4"一元三次方程解法思想HYPERＬIＮK"”\l”５"一元三次方程解法的發(fā)現(xiàn)HYPERLIＮK””\l＂6”一元三次方程的卡爾丹公式解法HYPERＬINK"”\ｌ”７”三次方程的其他解法英文名稱三次方程Ｃubiｃ一元三次方程的形式一元三次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為ａｘ^3+bｘ＾２＋cx+d＝０，將方程兩邊同時除以最高項系數(shù)a，三次方程變?yōu)椋鴁3+ｂx^2/a＋cｘ/a+d/a=0，所以三次方程又可簡寫為x＾3+bx＾2+ｃx+ｄ＝0．一元三次方程的韋達(dá)定理設(shè)方程為aｘ^３＋bx^2+cx+d＝0則有x1*x２＊x3=－d/a；x1＊ｘ2＋x2＊x3+ｘ3*x１＝c／a；x1+x2+x3=－ｂ/a；一元三次方程解法思想一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解.一元三次方程解法的發(fā)現(xiàn)中國南宋偉大的數(shù)學(xué)家秦九韶在他1247年編寫的世界數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》一書中提出了數(shù)字一元三次方程與任何高次方程的解法“正負(fù)開方術(shù)",提出“商常為正,實常為負(fù)，從常為正,益常為負(fù)"的原則，純用代數(shù)加法，給出統(tǒng)一的運算規(guī)律,并且擴充到任何高次方程中去。這個方法比幾百年以后歐洲數(shù)學(xué)家所提出的計算方法要高明許多.現(xiàn)在，這種方法被后人稱為“秦九韶程序”。世界各國從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)課程，幾乎都接觸到他的定理、定律和解題原則。歐洲三次方程解法的發(fā)現(xiàn)是在１6世紀(jì)的意大利，那時，數(shù)學(xué)家常常把自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣，而是向同伴提出挑戰(zhàn)，讓他們解決同樣的問題．想必這是一項很砥礪智力，又吸引人的競賽,三次方程的解法就是這樣發(fā)現(xiàn)的.最初，有一個叫菲奧爾的人,從別人的秘傳中學(xué)會了解一些三次方程，便去向另一個大家稱為塔爾塔利亞的人挑戰(zhàn)．塔爾塔利亞原名豐塔納,小時因臉部受傷引起口吃,所以被人稱為塔爾塔利亞(意為＂口吃者"）．他很聰明，又很勤奮，靠自學(xué)掌握了拉丁文，希臘文和數(shù)學(xué)．這次他成功解出了菲奧爾提出的所有三次方程,菲奧爾卻不能解答他提出的問題．當(dāng)時很有名的卡爾丹于是懇求他傳授解三次方程的辦法，并發(fā)誓保守秘密,塔爾塔利亞才把他的方法寫成一句晦澀的詩交給卡爾丹。后來卡爾丹卻背信棄義，把這個方法發(fā)表在154５年出版的書里．在書中他寫道:＂波倫亞的費羅差不多在三十年前就發(fā)現(xiàn)了這個方法，并把它傳給了菲奧爾.菲奧爾在與塔爾塔利亞的競賽中使后者有機會發(fā)現(xiàn)了它．塔爾塔利亞在我的懇求下把方法告訴了我，但保留了證明．我在獲得幫助的情況下找出了它各種形式的證明。這是很難做到的．”卡爾丹的背信棄義使塔爾塔利亞很憤怒,他馬上寫了一本書,爭奪這種方法的優(yōu)先權(quán)．他與卡爾丹的學(xué)生費拉里發(fā)生了公開沖突。最后,這場爭論是以雙方的肆意謾罵而告終的．三次方程解法發(fā)現(xiàn)的過程雖不愉快，但三次方程的解法被保留了下來,并被錯誤的命名為＂卡爾丹公式"沿用至今．以下介紹的解法，就是上文中提到的解法．一元三次方程的卡爾丹公式解法一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+ｂx＾２+cｘ+d=0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為x^3+ｐx+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.歸納出來的形如x＾3+px+ｑ＝0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x＝A^(1/３)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容,也就是用p和ｑ表示Ａ和B。方法如下：（1)將x＝Ａ^（1/3）＋Ｂ^（1／3)兩邊同時立方可以得到（2）x^３=(A+B）+3(AB)＾（1／３）（A＾（1/3）+Ｂ^（1／３)）(3）由于x＝A^（１/３)+B^（1／3）,所以(２）可化為x^3＝（Ａ+B）＋3（AB)＾（1／3）x，移項可得（4)x^3—3（AB）^（１/3）x－(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x^3＋px+ｑ＝0作比較，可知（５)－３(AＢ）＾(1/3）＝p，—（A+Ｂ)=q,化簡得（6）A+B=－q,AB＝-(ｐ/３）^3（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為Ａ和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而（6）則是關(guān)于形如ay+bｙ+ｃ=0的一元二次方程兩個根的韋達(dá)定理，即(8）y1＋ｙ2＝—(ｂ/a），y1*y２=c／ａ(9）對比(6)和(8),可令A(yù)=ｙ1，Ｂ＝y(tǒng)2,q＝b/a，—(p/3）=c/a(1０）由于型為ay+by+c=0的一元二次方程求根公式為y1＝（－b+（b-4ａc）^(1/2））/（2a)ｙ2＝（-b—（b—4ac）^（１／2)）/（２a）可化為（11）y1=－(b/2a）—((b/2a）－（c／ａ）)^（１/2)ｙ2=-（ｂ/2a）+（(b/2a）-（c/a))＾(1／2)將(9)中的A＝y(tǒng)1,Ｂ=y2,q=b/a，-（p/3）=c／a代入（11)可得（12）A＝—（q／2）—（（ｑ/2）＋（p／3)^（1/2）B=－（q／２）+（（q/2）+（p/3））^（１/２）(1３）將A,B代入x=Ａ^（１/３)＋Ｂ＾(1/3)得（14)x=(—（q/2）-((ｑ/２）+(p/3)）＾（1／2））＾（1/3）+（－(ｑ/2)+（（q/2）＋（p／３)）^(１/2））^（1／3)式(14）只是一元三方程的一個實根解,按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個根,不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了將其以下圖具體顯示（點擊）注意此處的三次方程是實數(shù)域的。但是，如果出現(xiàn)了復(fù)數(shù)的形式，由于三根不分主次，將會有９個結(jié)果，其中６個是錯誤的。公式可如下改良：令k=（－q／2+√((ｑ／２)+(ｐ／3)）)^（1/3),則y1=（3ｋ-ｐ）/（3ｋ)y２=(３k^2w—p)/（3kw)ｙ3=（３k^2w＾2—p）/(3kw）三次方程的其他解法除了上文中的卡爾丹公式解法,三次方程還有其它解法,列舉如下：１.因式分解法

因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些三次方程適用.對于大多數(shù)的三次方程，只有先求出它的根,才能作因式分解。當(dāng)然，因式分解的解法很簡便,直接把三次方程降次．例如：解方程x^3—ｘ=０對左邊作因式分解，得x（x+1)（x-1）=0,得方程的三個根:x１=0，x2＝１,x3＝—1。2。另一種換元法?對于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和換元,將方程化為x+pｘ+q＝０的特殊型．令x=z-p/3z，代入并化簡，得：ｚ—p／2７z+ｑ=０.再令z=w,代入，得：w+p/２７w+ｑ＝0．這實際上是關(guān)于w的二次方程．解出ｗ，再順次解出z，x。3.盛金公式?三次方程應(yīng)用廣泛。用根號解一元三次方程,雖然有著名的卡爾丹公式，并有相應(yīng)的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。范盛金推導(dǎo)出一套直接用ａ、b、c、d表達(dá)的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判別法．盛金公式Shenｇjin’sFｏｒmｕlas一元三次方程ａX^3＋ｂX^2＋cX+ｄ=０，(a，ｂ,ｃ,d∈R,且a≠0)。重根判別式：A=ｂ^2—3ac;Ｂ=ｂc—９aｄ；Ｃ=ｃ^2—3bd，總判別式：Δ＝Ｂ^2—4AC。當(dāng)A=B＝0時，盛金公式①：X１=Ｘ2＝X３=－b／（3ａ)=－ｃ/b=-3d/ｃ。當(dāng)Δ=B^2－4AＣ〉０時,盛金公式②：X１=(－ｂ－(Ｙ１）＾（1/3)－（Y2）^(1/3))/（3ａ）;X2，３＝(－2b+（Y1)^(１/3）+(Y2）^（1／3））/(6ａ）±i3＾（1/2）((Y１)^（1/3)－(Y2)^（1/3)）/（6ａ），其中Y1，2=Ab+３a(－B±（B^2—４AC)＾（1／2））/2,i^2=－1。當(dāng)Δ＝Ｂ＾2—4AC=０時,盛金公式③：X1=－b／a＋K;X2=Ｘ3=—K/２,其中K=B/A，(A≠0）。當(dāng)Δ=Ｂ＾２-４AＣ<0時，盛金公式④：X1=(—b—2A＾(1/2)coｓ（θ/３)）/（3a)；X2,３=(—b＋A＾(1/２)（cos（θ/3)±3^（１/2)sin（θ/3))）／（3a)，其中θ=arccoｓT，T=（2Ａｂ－3aＢ)/(２A^（３/2)），（A〉０，-1<T＜1）。盛金判別法Shengjin'ｓDisｔingｕiｓhiｎgMeanｓ①:當(dāng)A=Ｂ=0時，方程有一個三重實根；②:當(dāng)Δ=B^2—４AＣ＞0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；③：當(dāng)Δ=Ｂ^2-４AC＝０時，方程有三個實根,其中有一個兩重根；④:當(dāng)Δ=Ｂ^2-4AC〈0時，方程有三個不相等的實根。盛金定理Sｈengjin'sTheｏreｍs當(dāng)b=0,c=0時,盛金公式①無意義;當(dāng)A=0時,盛金公式③無意義;當(dāng)A≤０時，盛金公式④無意義;當(dāng)Ｔ＜—１或Ｔ>1時，盛金公式④無意義。當(dāng)b=0,c=0時，盛金公式①是否成立?盛金公式③與盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在Ｔ＜-1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理1:當(dāng)A=B=0時,若b=０，則必定有c=ｄ＝0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式①仍成立）。盛金定理2：當(dāng)A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠０(此時，適用盛金公式①解題）。盛金定理3:當(dāng)Ａ=Ｂ＝０時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式①解題)。盛金定理4：當(dāng)A=0時，若Ｂ≠０，則必定有Δ＞0（此時，適用盛金公式②解題）。盛金定理5:當(dāng)A〈0時,則必定有Δ〉0(此時,適用盛金公式②解題）.盛金定理6：當(dāng)Δ=0時,若Ｂ＝0，則必定有A=0（此時，適用盛金公式①解題）。盛金定理７：當(dāng)Δ=0時,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式③解題）。盛金定理8：當(dāng)Δ＜0時，盛金公式④一定不存在A≤０的值。(此時,適用盛金公式④解題)。盛金定理９:當(dāng)Δ＜0時，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出現(xiàn)的值必定是-１＜T<1。顯然,當(dāng)A≤0時,都有相應(yīng)的盛金公式解題.注意：盛金定理逆之不一定成立。如:當(dāng)Δ＞0時,不一定有Ａ＜0。盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實系數(shù)的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。當(dāng)Δ＝0（ｄ≠0）時，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方（ＷhenΔ＝0,Shenｇｊiｎ'ｓforｍulaiｓnｏtwithｒadicaｌｓign,ａｎｄefficｉeｎcyhigｈeｒｆorsolｖiｎｇaｎequａt(yī)ｉon）。與卡爾丹公式相比較,盛金公式的表達(dá)形式較簡明,使用盛金公式解題較直觀、效率較高;盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b＾２-3ac；B=ｂｃ－９ａｄ；Ｃ=c^2－3ｂｄ是最簡明的式子，由A、Ｂ、C構(gòu)成的總判別式Δ＝B^2－４AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子）,其形狀與一元二次方程的根的判別式相同;盛金公式②中的式子（-B±（B^２－4AC)＾（1／2））/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達(dá)形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的有序、對稱、和諧與簡潔美.以上盛金公式的結(jié)論，發(fā)表在《海南