浮點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算（范圍計(jì)算）

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尋常，我們可以用下面的格式來表示浮點(diǎn)數(shù)SPM

其中S是符號(hào)位，P是階碼，M是尾數(shù)

對于IBM-PC而言，單精度浮點(diǎn)數(shù)是32位（即4字節(jié)）的，雙精度浮點(diǎn)數(shù)是64位（即8字節(jié)）的。兩者的S，P，M所占的位數(shù)以及表示方法由下表可知SPM表示公式偏移量1823(-1)S*2(P-127)*1.M12711152(-1)S*2(P-1023)*1.M1023

以單精度浮點(diǎn)數(shù)為例，可以得到其二進(jìn)制的表示格式如下S(第31位)P(30位到23位)M(22位到0位)其中S是符號(hào)位，只有0和1，分別表示正負(fù)；P是階碼，尋常使用移碼表示（移碼和補(bǔ)碼只有符號(hào)位相反，其余都一樣。對于正數(shù)而言，原碼，反碼和補(bǔ)碼都一樣；對于負(fù)數(shù)而言，補(bǔ)碼就是其絕對值的原碼全部取反，然后加1.）

為了簡單起見，本文都只探討單精度浮點(diǎn)數(shù)，雙精度浮點(diǎn)數(shù)也是用一樣的方式存儲(chǔ)和表示的。

2浮點(diǎn)數(shù)的表示約定

單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度浮點(diǎn)數(shù)都是用IEEE754標(biāo)準(zhǔn)定義的，其中有一些特別約定。

（1）當(dāng)P=0,M=0時(shí)，表示0。

（2）當(dāng)P=255,M=0時(shí)，表示無窮大，用符號(hào)位來確定是正無窮大還是負(fù)無窮大。

（3）當(dāng)P=255,M!=0時(shí)，表示NaN（NotaNumber，不是一個(gè)數(shù)）。

當(dāng)我們使用.NetFramework的時(shí)候，我們尋常會(huì)用到下面三個(gè)常量Console.WriteLine(float.MaxValue);//3.402823E+38Console.WriteLine(float.MinValue);//-3.402823E+38Console.WriteLine(float.Epsilon);//1.401298E-45//假使我們把它們轉(zhuǎn)換成雙精度類型，它們的值如下

Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue));//3.40282346638529E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue));//-3.40282346638529E+38Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon));//1.40129846432482E-45那么這些值是如何求出來的呢？

根據(jù)上面的約定，我們可以知道階碼P的最大值是11111110（這個(gè)值是254，由于255用于特別的約定，那么對于可以確切表示的數(shù)來說，254就是最大的階碼了）。尾數(shù)的最大值是11111111111111111111111。

那么這個(gè)最大值就是：01111111011111111111111111111111。

也就是2(254-127)*(1.11111111111111111111111)2=2127*(1+1-2-23)=3.40282346638529E+38

從上面的雙精度表示可以看出，兩者是一致的。最小的數(shù)自然就是-3.40282346638529E+38。

對于最接近于0的數(shù)，根據(jù)IEEE754的約定，為了擴(kuò)大對0值附近數(shù)據(jù)的表示能力，取階碼P=-126，尾數(shù)M=(0.00000000000000000000001)2。此時(shí)該數(shù)的二進(jìn)制表示為：00000000000000000000000000000001

也就是2-126*2-23=2-149=1.40129846432482E-45。這個(gè)數(shù)字和上面的Epsilon是一致的。

假使我們要確切表示最接近于0的數(shù)字，它應(yīng)當(dāng)是00000000100000000000000000000000

也就是：2-126*(1+0)=1.17549435082229E-38。3浮點(diǎn)數(shù)的精度問題

浮點(diǎn)數(shù)以有限的32bit長度來反映無限的實(shí)數(shù)集合，因此大多數(shù)狀況下都是一個(gè)近似值。同時(shí)，對于浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算還同時(shí)伴有誤差擴(kuò)散現(xiàn)象。特定精度下看似相等的兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)可能并不相等，由于它們的最小有效位數(shù)不同。

由于浮點(diǎn)數(shù)可能無法確切近似于十進(jìn)制數(shù)，假使使用十進(jìn)制數(shù)，則使用浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)或比較運(yùn)算可能不會(huì)產(chǎn)生一致的結(jié)果。

假使涉及浮點(diǎn)數(shù)，值可能不來回。值的來回是指，某個(gè)運(yùn)算將原始浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為另一種格式，而反向運(yùn)算又將轉(zhuǎn)換后的格式轉(zhuǎn)換回浮點(diǎn)數(shù)，且最終浮點(diǎn)數(shù)與原始浮點(diǎn)數(shù)相等。由于一個(gè)或多個(gè)最低有效位可能在轉(zhuǎn)換中丟失或更改，來回可能會(huì)失敗。

4將浮點(diǎn)數(shù)表示為二進(jìn)制

4.1無小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示

首先，我們用一個(gè)不帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)來說明如何將一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制表示。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)是45678.0f。

在處理這種不帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，直接將整數(shù)部分轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制表示：

1011001001101110.0，這時(shí)要加上一位默認(rèn)的1（這是由于依照浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化的要求，尾數(shù)必需化成1.M的格式），

那么可以表示成：11011001001101110.0。

然后將小數(shù)點(diǎn)向左移，一直移到離最高位只有1位，也就是1.1011001001101110，一共移動(dòng)了16位，我們知道，左移位表示乘法，右移位表示除法。所以原數(shù)就等于這樣：1.1011001001101110*(216)。現(xiàn)在尾數(shù)和指數(shù)都出來了。由于最高位的1是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)加上去的，只是為了滿足規(guī)格化的要求，這時(shí)候需要把這個(gè)1去掉。尾數(shù)的二進(jìn)制就變成了：1011001001101110。

最終在尾數(shù)的后面補(bǔ)0，一直到補(bǔ)夠23位，就是：10110010011011100000000。

再回來看指數(shù)，根據(jù)前面的定義，P-127=16，那么P=143，表示成二進(jìn)制就是：10001111。

45678.0f這個(gè)數(shù)是正的，所以符號(hào)位是0，那么我們依照前面講的格式把它拼起來，就是：01000111110110010011011100000000。

這就是45678.0f這個(gè)數(shù)的二進(jìn)制表示，假使我們要得到16進(jìn)制的表示，十分簡單，我們只需要把這個(gè)二進(jìn)制串4個(gè)一組，轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制數(shù)就可以了。但是要注意的是x86架構(gòu)的CPU都是LittleEndian的（也就是低位字節(jié)在前，高位字節(jié)在后），所以在實(shí)際內(nèi)存中該數(shù)字是按上面二進(jìn)制串的倒序存儲(chǔ)的。要知道CPU是不是littleendian的也很簡單。BitConverter.IsLittleEndian;

4.2含小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)表示為二進(jìn)制

對于含小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)，會(huì)有精度的問題，下面舉例說明。假設(shè)要轉(zhuǎn)換的小數(shù)為123.456f。

對于這種帶小數(shù)的就需要把整數(shù)部和小數(shù)部分開處理。對于整數(shù)部分的處理不再贅述，直接化成二進(jìn)制為：100100011。小數(shù)部份的處理比較麻煩一些，我們知道，使用二進(jìn)制表示只有0和1，那么對于小數(shù)就只能用下面的方式來表示：

a1*2-1+a2*2-2+a3*2-3++an*2-n

其中a1等數(shù)可以是0或者1，從理論上將，使用這種表示方法可以表示一個(gè)有限的小數(shù)。但是尾數(shù)只能有23位，那么就必然會(huì)帶來精度的問題。

在好多狀況下，我們只能近似地表示小數(shù)。來看0.456這個(gè)十進(jìn)制純小數(shù)，該如何表示成二進(jìn)制呢？一般說來，我們可以通過乘以2的方法來表示。

首先，把這個(gè)數(shù)字乘以2，小于1，所以第一位為0，然后再乘以2，大于1，所以其次位為1，將這個(gè)數(shù)字減去1，再乘以2，這樣循環(huán)下去，直到這個(gè)數(shù)字等于0為止。

在好多狀況下，我們得到的二進(jìn)制數(shù)字都大于23位，多于23位的就要舍去。舍入原則是0舍1入。通過這樣的方法，我們可以得到二進(jìn)制表示：1111011.01110100101111001。

現(xiàn)在開始向左移小數(shù)點(diǎn)，一共移了6位，這時(shí)候尾數(shù)為：1.11101101110100101111001，階碼為6加上127得131，二進(jìn)制表示為：10000101，那么總的二進(jìn)制表示為：

01000010111101101110100101111001

表示成十六進(jìn)制是：42F6E979

由于CPU是LittleEndian的，所以在內(nèi)存中表示為：79E9F642。

4.3將純小數(shù)表示成二進(jìn)制

對于純小數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制來說，必需先進(jìn)行規(guī)格化。例如0.0456，我們需要把它規(guī)格化，變?yōu)?.xxxx*（2n）的形式，要求得純小數(shù)X對應(yīng)的n可用下面的公式：n=int(1+log2X)

0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的冪，即1.4592*(2-5)。轉(zhuǎn)化為這樣形式后，再依照上面處理小數(shù)的方法處理，得到二進(jìn)制表示

1.01110101100011100010001

去掉第一個(gè)1，得到尾數(shù)

01110101100011100010001

階碼為：-5+127=122，二進(jìn)制表示為

00111101001110101100011100010001

最終轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制11C73A3D

5浮點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算

5.1浮點(diǎn)數(shù)的加減法

設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)X=Mx*2Ex，Y=My*2Ey

實(shí)現(xiàn)X±Y要用如下5步完成：

（1）對階操作：小階向大階看齊（2）進(jìn)行尾數(shù)加減運(yùn)算

（3）規(guī)格化處理：尾數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的結(jié)果必需變成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)，對于雙符號(hào)位（就是使用00表示正數(shù)，11表示負(fù)數(shù)，01表示上溢出，10表示下溢出）的補(bǔ)碼尾數(shù)來說，就必需是

001×××…××或110×××…××的形式

若不符合上述形式要進(jìn)行左規(guī)或右規(guī)處理。

（4）舍入操作：在執(zhí)行對階或右規(guī)操作時(shí)常用“0〞舍“1〞入法將右移出去的尾數(shù)數(shù)值進(jìn)行舍入，以確保精度。

（5）判結(jié)果的正確性：即檢查階碼是否溢出

若階碼下溢（移碼表示是00…0），要置結(jié)果為機(jī)器0；若階碼上溢（超過了階碼表示的最大值）置溢出標(biāo)志。

現(xiàn)在用一個(gè)具體的例子來說明上面的5個(gè)步驟

例題：假定X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10（此處的數(shù)均為二進(jìn)制），計(jì)算X+Y；

首先，我們要把這兩個(gè)數(shù)變成2進(jìn)制表示，對于浮點(diǎn)數(shù)來說，階碼尋常用移碼表示，而尾數(shù)尋常用補(bǔ)碼表示。

要注意的是-10的移碼是00110[X]?。?10101100110[Y]?。?01101101101符號(hào)位階碼尾數(shù)

（1）求階差：│ΔE│=|1010-0110|=0100

（2）對階：Y的階碼小，Y的尾數(shù)右移4位[Y]浮變?yōu)?101000001101101暫時(shí)保存

（3）尾數(shù)相加，采用雙符號(hào)位的補(bǔ)碼運(yùn)算001100110+000000110001101100

（4）規(guī)格化：滿足規(guī)格化要求

（5）舍入處理，采用0舍1入法處理

故最終運(yùn)算結(jié)果的浮點(diǎn)數(shù)格式為：010101101101

即X+Y=+0.1101101*210

5.2浮點(diǎn)數(shù)的乘除法

（1）階碼運(yùn)算：階碼求和（乘法）或階碼求差（除法）即[Ex+Ey]移=[Ex]移+[Ey]補(bǔ)[Ex-Ey]移=[Ex]移+[-Ey]補(bǔ)

（2）浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)處理：浮點(diǎn)數(shù)中尾數(shù)乘除法運(yùn)算結(jié)果要進(jìn)行舍入處理

例題：X=0.0110011*211，Y=0.1101101*2-10求X*Y

解：