八下數(shù)學(xué)《平行四邊形》競(jìng)賽試卷-(8K含答案)

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：總分120分，時(shí)間120分鐘一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上異于A和D的任意一點(diǎn)，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF=_________．2．（2003?寧波）如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是_________．（填一個(gè)即可）3．如圖，已知矩形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE=____．4．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四邊形ADEF是_________；（2）當(dāng)△ABC滿足條件_________時(shí)，四邊形ADEF為菱形；（3）當(dāng)△ABC滿足條件_________時(shí)，四邊形ADEF不存在．1題2題3題4題5．已知一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為_(kāi)_______．6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點(diǎn)P在BD上，圖中有_________對(duì)四邊形面積相等；它們是_________．7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，△AOB的周長(zhǎng)為3+，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積為_(kāi)________．8．如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，則∠BOE的度數(shù)為_(kāi)________度．9．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為_(kāi)________．6題7題8題9題二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）10．如圖，?ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°10題11題12題13題11．如圖，正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如圖，正方形ABCD外有一點(diǎn)P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（）A．2B．C．3D．13．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF=54°，則∠B=（）A．54°B．60°C．66°D．72°14．四邊形ABCD的四邊分別為a、b、c、d，其中a、c為對(duì)邊，且滿足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則這個(gè)四邊形一定是（）A．兩組角分別相等的四邊形B．平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形D．對(duì)角線相等的四邊形15．周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)全等的長(zhǎng)方形，如圖所示，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（）A．98B．196C．280D．28415題16題16．（2003?吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6m，∠A=120°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分圖形的周長(zhǎng)為（）A．12mB．20mC．22mD．24m17．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（）A．AD＞BCB．AD＜BCC．AD=BCD．AD與BC的大小關(guān)系不能確定18．已知四邊形ABCD，從下列條件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（）A．4種B．9種C．13種D．15種三、解答題（共11小題，滿分0分）19．如圖，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC．20．設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE垂直AC于點(diǎn)E，PF垂直BC于點(diǎn)F，PG垂直EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GP并在其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．21．如圖，在等腰三角形ABC中，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E，且AE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度數(shù)．22．如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點(diǎn)，且CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求證：△ACD≌△CBF；（2）點(diǎn)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°．23．（2002?河南）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論．24．（2008?咸寧）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．學(xué)校：班級(jí)：學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：26．（2002?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問(wèn)題：（1）設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S1、S2，則S1_________S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)_________個(gè)，利用圖③把它畫(huà)出來(lái)．（3）如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出_________個(gè)，利用圖④把它畫(huà)出來(lái)．（4）在（3）中所畫(huà)出的矩形中，哪一個(gè)的周長(zhǎng)最??？為什么？27．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM與BN相交于P，求證：∠BPM=45°．28．如圖，在銳角△ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，AD、CE相交于F，BF的中點(diǎn)為P，AC的中點(diǎn)為Q，連接PQ、DE．（1）求證：直線PQ是線段DE的垂直平分線；（2）如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，那么上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)按鈍角三角形改寫(xiě)原題，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并給予必要的說(shuō)明．

新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)第15講：平行四邊形參考答案與試題解析一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上異于A和D的任意一點(diǎn)，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF=．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題。分析：首先過(guò)A作AG⊥BD于G．根據(jù)等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，則PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求得AG的長(zhǎng)，即為PE+PF的長(zhǎng)．解答：解：如圖，過(guò)A作AG⊥BD于G，則S△AOD=×OD×AG，S△AOP+S△POD=×AO×PF+×DO×PE=×DO×（PE+PF），∵S△AOD=S△AOP+S△POD，∴PE+PF=AG，∴等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD==13，∴，∴．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算．解決本題的關(guān)鍵是明白等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高．2．（2003?寧波）如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是BE=DF．（填一個(gè)即可）考點(diǎn)：平行四邊形的判定。專(zhuān)題：開(kāi)放型。分析：要使四邊形AECF也是平行四邊形，可增加一個(gè)條件：BE=DF．解答：解：使四邊形AECF也是平行四邊形，則要證四邊形的兩組對(duì)邊相等，或兩組對(duì)邊分別平行，如果BE=DF，則有：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵AD=BC，BE=DF，∴△ADF≌△BCE，∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，∴CF=AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．故答案為：BE=DF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，是開(kāi)放題，答案不唯一，本題利用了平行四邊形和性質(zhì)，通過(guò)證△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF，CF=AE利用兩組對(duì)邊分別相等來(lái)判定平行四邊形．3．如圖，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE=4.8．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：矩形各內(nèi)角為直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根據(jù)勾股定理即可求BD的值，根據(jù)面積法即可計(jì)算AE的長(zhǎng)．解答：解：矩形各內(nèi)角為直角，∴△ABD為直角三角形在直角△ABD中，AB=6，AD=8則BD==10，∵△ABD的面積S=AB?AD=BD?AE，∴AE==4.8．故答案為4.8．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中根據(jù)勾股定理求BD的值是解題的關(guān)鍵．4．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同一側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足條件AB=AC時(shí)，四邊形ADEF為菱形；（3）當(dāng)△ABC滿足條件AB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF不存在．考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）先證明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，則DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，則四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形；（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形ADEF為菱形；（3）當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF不存在．解答：解：（1）四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形在△ABC和△DBE中，∵BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC（與∠ABE之和都等于60°），∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，在△ABC和△FEC中，∵BC=EC，CA=CF，∠ACB=∠FCE（都為60°角與=∠ACE之和），∴△ABC≌△FEC，∴FE=AB，∴DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，∴四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC為等腰三角形并且不是等邊三角形時(shí)，即AB=AC時(shí)，由第（1）題中可知四邊形ADEF的四邊都相等，此時(shí)四邊形ADEF是菱形；（3）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，即AB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF中的A點(diǎn)與E點(diǎn)重合，此時(shí)以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形、菱形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)．5．已知一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為．考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；勾股定理。專(zhuān)題：探究型。分析：先根據(jù)三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1判斷出此三角形是直角三角形，在設(shè)另兩邊分別為x、y兩用完全平方公式可用x2+y2表示出xy的值，再由勾股定理即可求出x2+y2，進(jìn)而可求出xy的值．解答：解：∵三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，可知這邊上的中線等于這條邊的一半，∴此三角形是個(gè)直角三角形，斜邊為2，設(shè)另兩邊分別為x、y，兩邊之和x+y=1+，∴（x+y）2=（1+）2=4+2，∴xy=2+﹣，又∵直角三角形兩直角邊的平方等于斜邊的平方，∴x2+y2=4，∴xy=2+﹣2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，根據(jù)已知條件判斷出三角形的形狀是解答此題的關(guān)鍵，解答此題時(shí)不要根據(jù)另兩邊之和為1+即可盲目的設(shè)一邊為1，另一邊為．6．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點(diǎn)P在BD上，圖中有5對(duì)四邊形面積相等；它們是?AEPG與?PHCF、?EFCB與?ABHG、?GHCD與?EFDA、梯形ABPG與梯形BCFP、四邊形PHCD與四邊形AEPD．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。分析：由題意可證四邊形EPHB為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形的面積平分，從而求解．解答：解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形EPBH為平行四邊形，∵BP為平行四邊形EPBH的對(duì)角線，∴△EBP與△BHP的面積相等，∵BD為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴△ABD與△BCD面積相等，∵PD為平行四邊形PFDG的對(duì)角線，∴△GPD與△PFD面積相等，∴?AEPG與?PHCF面積相等；?EFCB與?ABHG面積相等；?GHCD與?EFDA面積相等、梯形ABPG與梯形BCFP、梯形PHCD與梯形AEPD．共5對(duì)，故答案為：5，?AEPG與?PHCF、?EFCB與?ABHG、?GHCD與?EFDA、梯形ABPG與梯形BCFP、梯形PHCD與梯形AEPD．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其面積公式，比較簡(jiǎn)單．7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，△AOB的周長(zhǎng)為3+，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積為．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設(shè)AO=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理即可求得OB=x，求得x的值即可求得AC，BD的長(zhǎng)度，即可計(jì)算菱形ABCD的面積．解答：解：菱形對(duì)角線即角平分線∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設(shè)AO=x，則AB=2x，則OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為2、2，故菱形ABCD的面積為S=×2×2=2．故答案為2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了菱形對(duì)角線互相垂直且平分一組對(duì)角的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理求x的值是解題的關(guān)鍵．8．如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°，則∠BOE的度數(shù)為75度．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△BOA為等邊三角形，得出BA=BO，又因?yàn)椤鰾AE為等腰直角三角形，BA=BE，由此關(guān)系可求出∠BOE的度數(shù)．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，又知∠EAO=15°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△BOA為等邊三角形，∴BA=BO，∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，∴△BAE為等腰直角三角形，∴BA=BE．∴BE=BO，∠EBO=30°，∠BOE=∠BEO，此時(shí)∠BOE=75°．故答案為75°．點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．9．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為10．考點(diǎn)：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：因?yàn)锽C為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設(shè)D′F=x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．解答：解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′′F=BF，設(shè)D′F=x，則AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=?AF?BC=10．故答案為10．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的正確運(yùn)用，本題中設(shè)D′F=x，根據(jù)直角三角形AFD′中運(yùn)用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵．二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）10．如圖，?ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：由DE=2AB，可作輔助線：取DE中點(diǎn)O，連接AO，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．解答：解：取DE中點(diǎn)O，連接AO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，∴∠AED=65°．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半）、平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形的對(duì)邊平行）以及等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角），解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應(yīng)用．11．如圖，正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（）A．70°B．75°C．80°D．95°考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，所以AB=AE，AF=AD，根據(jù)鄰角之和為180°即可求得∠B的度數(shù)．解答：解：正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，所以AB=AE，AF=AD，設(shè)∠B=x，則∠BAD=180°﹣x，∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x解得x=80°，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形各內(nèi)角為60°、各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了菱形鄰角之和為180°的性質(zhì)，本題中根據(jù)關(guān)于x的等量關(guān)系式求x的值是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD外有一點(diǎn)P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（）A．2B．C．3D．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：用EF，BE，AB分別表示AP，BP，用CF，PF，DC分別表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．解答：解：延長(zhǎng)AB，DC，過(guò)P分作PE⊥AE，PF⊥DF，則CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了正方形各邊相等的性質(zhì)，本題中求證AP2+CP2=DP2+BP2是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF=54°，則∠B=（）A．54°B．60°C．66°D．72°考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：過(guò)F作AB、CD的平行線FG，由于F是AD的中點(diǎn)，那么G是BC的中點(diǎn)，即Rt△BCE斜邊上的中點(diǎn)，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度數(shù)，只需求得∠BEG的度數(shù)即可；易知四邊形ABGF是平行四邊形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度數(shù)，即可得到∠AEG的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠BEG的值，由此得解．解答：解：過(guò)F作FG∥AB∥CD，交BC于G；則四邊形ABGF是平行四邊形，所以AF=BG，即G是BC的中點(diǎn)；連接EG，在Rt△BEC中，EG是斜邊上的中線，則BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．故選D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地構(gòu)造出與所求相關(guān)的等腰三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．四邊形ABCD的四邊分別為a、b、c、d，其中a、c為對(duì)邊，且滿足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，則這個(gè)四邊形一定是（）A．兩組角分別相等的四邊形B．平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形D．對(duì)角線相等的四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式。專(zhuān)題：規(guī)律型。分析：對(duì)于所給等式a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，先移項(xiàng)，故可配成兩個(gè)完全式，即（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，進(jìn)而可得a=c，b=d，四邊形中兩組對(duì)邊相等，故可判定是平行四邊形．解答：解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd可化簡(jiǎn)為（a﹣c）2+（b﹣d）2=0∴a=c，b=d∵a，b，c，d分別為四邊形ABCD的四邊∴a=c，b=d即兩組對(duì)邊分別相等，則可確定其為平行四邊形．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定問(wèn)題，正確的對(duì)式子進(jìn)行變形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15．周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)全等的長(zhǎng)方形，如圖所示，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（）A．98B．196C．280D．284考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題。分析：此題要理解長(zhǎng)方形ABCD的面積是不變的，用不同的方法表示即是此題的等量關(guān)系，也就是7個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和與大長(zhǎng)方形的面積相等．還要注意設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為x，則其長(zhǎng)為34﹣6x，大長(zhǎng)方形的寬為34﹣5x，長(zhǎng)為5x，根據(jù)等量關(guān)系列方程即可．解答：解：設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為x．根據(jù)題意得：7x（34﹣6x）=5x（34﹣5x）化簡(jiǎn)得：7（34﹣6x）=5（34﹣5x）解得：x=4則大長(zhǎng)方形的面積為5x（34﹣5x）=280故選C．點(diǎn)評(píng)：此題鍛煉了學(xué)生的識(shí)圖能力，關(guān)鍵是分清7個(gè)小長(zhǎng)方形是如何組合成大長(zhǎng)方形的，還要注意設(shè)小的比較簡(jiǎn)單．16．（2003?吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6m，∠A=120°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分圖形的周長(zhǎng)為（）A．12mB．20mC．22mD．24m考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專(zhuān)題：應(yīng)用題。分析：連接AC，根據(jù)已知可得到△ABC為正三角形，從而可求得正六邊形的邊長(zhǎng)是△ABC邊長(zhǎng)的，已知種花部分圖形共有10條邊則其周長(zhǎng)不難求得．解答：解：連接AC，已知∠A=120°，ABCD為菱形，則∠B=60°，從而得出△ABC為正三角形，以△ABC的頂點(diǎn)所在的小三角形也是正三角形，所以正六邊形的邊長(zhǎng)是△ABC邊長(zhǎng)的，則種花部分圖形共有10條邊，所以它的周長(zhǎng)為×6×10=20m，故選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．17．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（）A．AD＞BCB．AD＜BCC．AD=BCD．AD與BC的大小關(guān)系不能確定考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：根據(jù)條件AB+BC=CD+DA，可以延長(zhǎng)AB至E使BE=BC，延長(zhǎng)CD至F使DF=DA，連接CE，AF，這樣的輔助線，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AECF為平行四邊形，再利用三角形全等可以得出AD與BC的大小關(guān)系．解答：解：延長(zhǎng)AB至E使BE=BC，延長(zhǎng)CD至F使DF=DA，連接CE，AF，∵AB+BC=CD+DA，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴∠E=∠F，CE=AF，又∵BE=BC，DF=AD，∴∠E=∠BCE=∠F=∠DAF，∵CE=AF，∴△AFD≌△BEC，∴AD=BC，故選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)AB至E使BE=BC，延長(zhǎng)CD至F使DF=DA，這種輔助線的作法是由條件AB+BC=CD+DA所決定的，同學(xué)們做今后做題過(guò)程中，應(yīng)該學(xué)會(huì)應(yīng)用．18．已知四邊形ABCD，從下列條件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（）A．4種B．9種C．13種D．15種考點(diǎn)：平行四邊形的判定。分析：平行四邊形的五種判定方法分別是：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定，任取兩個(gè)進(jìn)行推理．解答：解：根據(jù)平行四邊形的判定，符合四邊形ABCD是平行四邊形條件的有九種：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九種．故選B．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．三、解答題（共11小題，滿分0分）19．如圖，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：從角的角度證明困難，連接EF，在四邊形AGFE的背景下思考問(wèn)題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．解答：證明：連接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分線，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∴GF∥AE，即GF∥AC．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．20．設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE垂直AC于點(diǎn)E，PF垂直BC于點(diǎn)F，PG垂直EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GP并在其延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：此題關(guān)鍵是證△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共邊，只需再證明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，則證明∠APG=∠CPB，進(jìn)而需要證明∠1=∠2，可利用同角的余角相等證明．解答：解：∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四邊形是矩形），∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG，∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共邊，∴△PBC≌△PBD（SAS），∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故證得：BC⊥BD，且BC=BD．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，綜合利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，和矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．21．如圖，在等腰三角形ABC中，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)E，且AE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求∠BAC的度數(shù)．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：綜合題。分析：過(guò)D作DF∥BC，且使DF=BC，連CF、EF，則四邊形BDFC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到BD=CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE=△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到ED=EF，從而可推出△DEF為等邊三角形，∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別表示出∠ADE，∠ADF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)不難求得∠BAC的度數(shù)．解答：解：過(guò)D作DF∥BC，且使DF=BC，連CF、EF，則四邊形BDFC是平行四邊形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF為等邊三角形設(shè)∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．22．如圖，△ABC為等邊三角形，D、F分別為BC、AB上的點(diǎn)，且CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求證：△ACD≌△CBF；（2）點(diǎn)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF是平行四邊形且∠DEF=30°．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專(zhuān)題：證明題。分析：（1）在△ACD和△CBF中，根據(jù)已知條件有兩邊和一夾角對(duì)應(yīng)相等，可根據(jù)邊角邊來(lái)證明全等．（2）當(dāng)∠DEF=30°，即為∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F為AB的中點(diǎn)，又因?yàn)椤鰽CD≌△CBF，所以點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．解答：證明：（1）由△ABC為等邊三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，CD=BF，所以△ACD≌△CBF．（2）當(dāng)D在線段BC上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且角DEF=30度按上述條件作圖，連接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB為正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四邊形CDEF為平行四邊形，∵D在線段BC上的中點(diǎn)，∴F在線段AB上的中點(diǎn)，∴∠FCD=×60°=30°則∠DEF=∠FCD=30°．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和三角形全等的知識(shí)，三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．23．（2002?河南）如圖所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：等腰三角形的判定。專(zhuān)題：證明題。分析：根據(jù)已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，從而得到EM=FM；根據(jù)角之間的關(guān)系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．解答：解：△MEF是等腰直角三角形．證明如下：連接AM，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四邊形DFAE為矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFM（SAS）．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定的理解及運(yùn)用；得到AE=BF是正確解答本題的關(guān)鍵．24．（2008?咸寧）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：矩形的判定。專(zhuān)題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證．（2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，（2分）同理，F(xiàn)O=CO，（3分）∴EO=FO．（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．∵EO=FO，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．∴四邊形AECF是平行四邊形，（6分）∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90度，（7分）∴四邊形AECF是矩形．（8分）點(diǎn)評(píng)：本題涉及矩形的判定定理，解答此類(lèi)題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．25．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC的中點(diǎn)，以D作DE⊥AC與CB的延長(zhǎng)線交于E，以AB、BE為鄰邊作長(zhǎng)方形ABEF，連接DF，求DF的長(zhǎng)．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：求證△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求證DF=DE即可解此題．解答：解：∵△ABC為直角三角形，∠C=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AC，∵D為AC的中點(diǎn)，∴BC=DC，∴在△DEC≌△BAC中，，∴△DEC≌△BAC，即AB=DE，∠DEB=30°，∴∠FED=60°，∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF為等邊三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，則AC=4AB==．答：DF的長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形各邊均相等，考查了矩形內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，本題中求證△DEF是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．26．菱形的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若菱形ABCD的面積為24，AC=6，則菱形的邊長(zhǎng)為5．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)。專(zhuān)題：計(jì)算題。分析：根據(jù)菱形ABCD的面積和AC可以計(jì)算BD的長(zhǎng)，在Rt△ABO中，已知AO、BO根據(jù)勾股定理即可求得AB的值，即可解題．解答：解：菱形ABCD的面積S=AC?BDS=24，AC=6，則BD=8，∴AO=CO=3，BO=DO=4在Rt△ABO中，AB==5，故答案為5．點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形面積的計(jì)算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)AO、BO的值求AB的值是解題的關(guān)鍵．27．（2002?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問(wèn)題：（1）設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為S1、S2，則S1=S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)1個(gè)，利用圖③把它畫(huà)出來(lái)．（3）如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出3個(gè)，利用圖④把它畫(huà)出來(lái)．（4）在（3）中所畫(huà)出的矩形中，哪一個(gè)的周長(zhǎng)最小？為什么？考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)。專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）易得原有三角形都等于所畫(huà)矩形的一半，那么這兩個(gè)矩形的面積相等．（2）可仿照?qǐng)D2矩形ABFE的畫(huà)法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一種情況．（3）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點(diǎn)在矩形的另一邊的對(duì)邊上，可得三種情況．（4）根據(jù)三個(gè)矩形的面積相等，利用求差法比較三個(gè)矩形的周長(zhǎng)即可