第十三講 積的分解與重組

第十三講 積的分解與重組在解題中，往往會(huì)遇到一些條件隱蔽，輾轉(zhuǎn)莫測(cè)的難題；按照一般的解題思路，列式比較繁瑣。若能將題中所給的條件，即某些得數(shù)進(jìn)行分解因數(shù)，然后根據(jù)題意進(jìn)行重新組合，不但獨(dú)具一格，而且簡(jiǎn)便易懂。在小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，應(yīng)用十分廣泛，是近年來(lái)考試的熱點(diǎn)?！纠?】四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是5040，這四個(gè)自然數(shù)的和是 ?！痉治雠c解】5040=2X2x2x2x3x3x5x7=7x8x9x10所以，這四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是7+8+9+10=34?！纠?】在算式口口乂口口=7735里，有四個(gè)數(shù)字被小紙片蓋住了，這被蓋住的兩個(gè)數(shù)的和是 ?！痉治雠c解】口口乂口口=7735=5x7x13x17=85x91所以，這兩個(gè)數(shù)的和是：85+91=176?！纠?】月明X中秋=圓圓圓(月明和中秋分別表示不同的兩位數(shù)，圓圓圓表示三位數(shù))，則“月明”=，“中秋”=―?！痉治雠c解】不同的文字代表不同的數(shù)字，相同的文字代表相同的數(shù)字。而積“圓圓圓”<999=111x9，又“圓圓圓”=111x圓=(3x37)x圓，而“月明、中秋”所表示的兩位數(shù)中沒(méi)有相同的文字，也就沒(méi)有相同的數(shù)字。因此，圓=1，2，3，4，5,6，7，8，9。其中圓=1，2，3顯然不可能。則有：3x37x4=12x37=444 3x37x5=15x37=555(x)3x37x6=18x37=666 3x37x7=21x37=777(x)3x37x8=24x37=12x74=888 3x37x9=27x37=999(x)“月明，，和“中秋，，所組成的數(shù)對(duì)有：12和37，15和37，18和37，24和37，12和74?！纠?】如果兩個(gè)整數(shù)的和是64,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是。(1993年奧賽決賽)【分析與解】由“這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875”可知，4875一定是兩個(gè)數(shù)的積的倍數(shù)，因此可得，兩數(shù)的積x某個(gè)數(shù)=4875。也就是：一個(gè)因數(shù)x另一個(gè)因數(shù)x某個(gè)數(shù)=4875=5x5x5x3x13?，F(xiàn)時(shí)還滿足：一個(gè)因數(shù)+另一個(gè)因數(shù)=64。故=(5x5)x5x(3x13)=25x39x5，25+39=64。所求兩個(gè)數(shù)的差是39-25=14【例5】小明在做兩位數(shù)的乘法時(shí)，把其中一個(gè)兩位數(shù)的末位數(shù)字5錯(cuò)看成8,結(jié)果得1872。那么正確的積應(yīng)該是 。(1995年奧賽初賽民族卷試題)【分析與解】由條件可知：口8乂口口=1872=2x2x2x2x3x3x13，根據(jù)條件重組可得：1872=(2x3x13)x(2x2x2x3)=78x24則正確的積為：75x24=1800(2)1872=(2x2x2x2x3)x(3x13)=48x39則正確的積為：45x39=1755【例6】某班同學(xué)在班主任老師的帶領(lǐng)下去種樹，學(xué)生恰好平分成3組，如果老師與學(xué)生每人種的棵數(shù)相同，則共種了1073棵，那么平均每人種棵樹，有名學(xué)生?！痉治雠c解】由題意可知：每人種的棵數(shù)x人數(shù)=1073,每人種的棵數(shù)x(老師人數(shù)+學(xué)生人數(shù))=1073=29x37,每人種的棵數(shù)x(1+每組人數(shù)x3)=1073=29x37,29x(1+12x3)=29x37,即平均每人種29棵，有36名學(xué)生參加種樹?！纠?】甲班有42人，乙班有48人，已知在某次數(shù)學(xué)考試中，按百分制評(píng)卷，兩班的總分?jǐn)?shù)相同，各班的平均分都是整數(shù)，且都高于80分，那么甲班的平均成績(jī)比乙班高分?！痉治雠c解】根據(jù)“兩班總分相等”可知，甲班平均分x甲班人數(shù)=乙班平均分x乙班人數(shù)，甲班平均分x42=乙班平均分x48,甲班平均分x6x7=乙班平均分x6x8,等式的左右兩邊所含的因數(shù)一定相同，即甲班的平均分一定是8的倍數(shù)，乙班的平均分一定是7的倍數(shù)，又“各班的平均分都是整數(shù)，且都高于80分”可得，甲班平均分=8x12，乙班平均分=7x12，即：甲班平均成績(jī)比乙班高96-84=12分?！纠?】一個(gè)長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面的面積和為105平方米，已知它的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 立方分米?！痉治雠c解】根據(jù)題意可知：長(zhǎng)x寬+長(zhǎng)x高=105，即：長(zhǎng)x(寬+高)=105。105=3x5x7,由于長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，所以有：(1)105=5x(3x7)=5x21=5x(2+19),則體積為：5x2x19=190(立方分米)105=7x(3x5)=7x15=7x(2+13),則體積為：7x2x13=182(立方分米)【例9】分子分母的乘積是140的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)?！痉治雠c解】分子乂分母=140=2x2x5x7,最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與分母互質(zhì)，140=1x140=4x35=5x28=7x20，所以有4個(gè)?！纠?0】將九個(gè)數(shù)20，26，33，35，39，42，44，55，91分成3組，使每組中都有3個(gè)數(shù)，并且它們的積相等。【分析與解】由題意知這3組一定含有相同的質(zhì)因數(shù)，因此將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：20=2x2x5，26=2x13，33=3x11，35=5x7，39=3x13，42=2x3x7,44=2x2x11，55=5x11,91=7x13。九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，共有6個(gè)2,3個(gè)3,3個(gè)5,3個(gè)7,3個(gè)11,3個(gè)13,所以分成的3個(gè)組分別是：20,33,91;26,42,55;35,39,44?！纠?1】用一個(gè)兩位數(shù)除708，余數(shù)為43,求這個(gè)兩位數(shù)?！痉治雠c解】708：—個(gè)兩位數(shù)=商......43,一個(gè)兩位數(shù)x商=708-43=665,665=5x19x7=(5x19)x7=95x7,所求兩位數(shù)是即為：95【例12】三個(gè)相鄰的偶數(shù)的乘積是一個(gè)五位數(shù)8OOO8，這三個(gè)偶數(shù)的和是?！痉治雠c解】相鄰的偶數(shù)的特點(diǎn)是：后一個(gè)都比前一個(gè)大2,其個(gè)位數(shù)分別是：0,2,4,6,8;又知積的末尾數(shù)字是8,三個(gè)相鄰的個(gè)位數(shù)顯然分別是：2,4,6,經(jīng)驗(yàn)證42x44X46=85008，其和是：42+44+46=132。【例131^☆☆甲乙兩種巧克力，每盒價(jià)格相差2.1元，用25.2元買甲種巧克力比乙種巧克力要多買2盒，那么甲乙兩種巧克力的價(jià)格各是 元?！痉治雠c解】25.2元=252角，甲種糖的價(jià)格x甲種糖的數(shù)量=252乙種糖的價(jià)格x乙種糖的數(shù)量=252252=2x2x3x3x7=2x126=3x84=4x63=6x42=7x36=9x28=12x21=14x28從上面的排列中不難看出：4x63和6x42滿足題意，故甲種糖的價(jià)格是4.2元，乙種糖的價(jià)格是6.3元。解法訓(xùn)練13TOC\o"1-5"\h\z1、三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為120，則這三個(gè)自然數(shù)中最大的一個(gè)是 。2、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為840，則這四個(gè)自然數(shù)中最小的一個(gè)是 。3、四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為1680，則這四個(gè)自然數(shù)的和是 。4、 四個(gè)小孩，恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，其年齡之積是3024，這四個(gè)小孩子中最大的一個(gè)是 歲。5、已知口口口乂口=835，則這四個(gè)口里的數(shù)字之和是 。6、已知口口乂口口=182，則這四個(gè)口里的數(shù)字之和是 。7、已知口口乂口口=1443，則這四個(gè)口里的數(shù)字之和是 。8、已知口口乂口口=1767，則這四個(gè)口里的數(shù)字之和是 。9、已知口口乂口口=1992，則這四個(gè)口里的數(shù)字之和是 。10、兩個(gè)數(shù)的和是80，它們的積是1456，則這兩個(gè)數(shù)分別是 。11、互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的乘積是200，這樣的兩個(gè)數(shù)有。12、兩個(gè)整數(shù)的積是144，差是10，則這兩個(gè)整數(shù)之和是 。13、兩個(gè)數(shù)的和是45，積是504，差是 。14、 在下面的算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知：1997+科=1998+學(xué)=1999+年，科X學(xué)X年=504，用適當(dāng)?shù)臄?shù)字替換漢字，使各式成立；科=，學(xué)=，年=。15、 眾☆有6個(gè)人都是4月11日出生的，并且都是屬猴的，某一年他們的歲數(shù)的連乘積為17597125，他們歲數(shù)之和是 歲。（2004年奧賽決賽試題）16、 ☆給出算式1OX1O=1OX1O,在這個(gè)算式的四個(gè)方框內(nèi)分別填入互不相同的數(shù)字后，可以成為一個(gè)的正確的算式，那么所填的四個(gè)數(shù)字的和是。17、 ☆已知兩個(gè)不同的一位數(shù)△、口和兩位數(shù)△口，這三個(gè)數(shù)的乘積是三位數(shù)口□□，那么△+□=。18、 ^☆☆已知口△X^^X^OX^^=口△口△口△，其中口，?，O，△，分別代表不同的數(shù)字，那么四位數(shù)?！骺?是 。19、已知11X13X17X19=46189，則7.6X8.5X44X39=。20、 已知13X19X29X43=308009,則5.2X14.5X129X285=。21、 在下面式子中的口內(nèi)填入同樣的數(shù)字，使等式成立：(1)70X6432=07X7296； (2)08X891=198X80；03X6528=8256X30； (4)12X460=064X21TOC\o"1-5"\h\z22、^兩個(gè)自然數(shù)的和差的積是41,那么這兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是 。23、 ☆如果兩個(gè)整數(shù)的和是42,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除925,那么這兩個(gè)數(shù)差是 。24、 ☆如果兩個(gè)整數(shù)的和是34,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除855,那么這兩個(gè)數(shù)差是 。25、 ☆☆已知兩個(gè)整數(shù)的差是11,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除900,那么這兩個(gè)數(shù)分別是、。26、 ☆☆已知兩個(gè)整數(shù)的和是34,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除855,那么這兩個(gè)數(shù)分別是、。27、 ^☆如果兩個(gè)兩位整數(shù)的和被5除余3,這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4998,那么這兩TOC\o"1-5"\h\z個(gè)數(shù)分別是 、。28、 ☆☆已知兩個(gè)數(shù)的和能被41整除，這兩個(gè)數(shù)的乘積能整除3600。那么這兩個(gè)數(shù)分另U是 、。29、 ^☆三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，后面兩個(gè)數(shù)的積與前面兩個(gè)數(shù)的積之差是114,那么這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最小的是 。30、☆☆已知兩數(shù)互質(zhì)，它們的和被 5除余1,它們的積是2924，它們的差是。(1998年奧賽決賽A卷試題)31、 小明在做兩位數(shù)的乘法時(shí)，把其中一個(gè)兩位數(shù)的末位數(shù)字5看作8,結(jié)果得到1508,那么正確的積應(yīng)該是 。32、 小明在做兩位數(shù)的乘法時(shí)，把其中一個(gè)兩位數(shù)的末位數(shù)1錯(cuò)看成7,結(jié)果得1843。那么正確的積應(yīng)該是 。33、 ^一個(gè)學(xué)生計(jì)算兩個(gè)整數(shù)相乘時(shí)，錯(cuò)把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位上的5看成了8,算出積是5632；另一個(gè)學(xué)生作同一道題錯(cuò)把以上同一個(gè)因數(shù)十位上的8看成了6,算出的積是4160。兩個(gè)整數(shù)相乘，正確的乘積是 。34、 ^某班學(xué)生正好排成4路縱隊(duì)，由一名老師帶領(lǐng)去植樹，共種了667棵樹，如果師生每人種的一樣多，則有名學(xué)生，每人種棵樹。35、 ^五(2)班學(xué)生和一位老師一起去釣魚，學(xué)生恰好平分成3組，且?guī)熒咳酸烎~數(shù)相等，一共釣魚258條，這個(gè)班有名學(xué)生去釣魚。36、 ^☆將588顆玻璃球平均分給若干名學(xué)生，如果每人所得的顆數(shù)正好是學(xué)生人數(shù)的12倍。每人分得的玻璃球是 顆。37、 商店出售一種鉛筆，每支定價(jià)5角，但無(wú)人來(lái)買，后來(lái)經(jīng)過(guò)降價(jià)處理，一下子把全部鉛筆都賣光了，一共賣得31.93元。這個(gè)店共有這種鉛筆 支，鉛筆每支降價(jià) 元。38、 某商店把一些舊存的小刀作為處理品降價(jià)出售，小刀每把原價(jià)0.30元，降價(jià)后全部賣出，共賣得6.29元，小刀每把降價(jià)元。39、 ^☆某校師生為貧困地區(qū)捐款2595元，全校共有60名教師，23個(gè)教學(xué)班，各班學(xué)生人數(shù)相同且多于30人但不超過(guò)40人，如果平均每人捐款的錢數(shù)是整數(shù)元，那么平均每人捐元，學(xué)生共有人。40、 ^女☆一個(gè)正方形紙片，如果沿一邊剪下一個(gè)2cm寬的長(zhǎng)方形后，剩下的長(zhǎng)方形的面積是255cm2，原來(lái)正方形面積是 cm2。41、 ☆☆☆一個(gè)正方形，剪下一個(gè)寬3cm的長(zhǎng)方形后，剩下的長(zhǎng)方形的面積是180cm2,TOC\o"1-5"\h\z那么剪下的長(zhǎng)方形面積是 cm2。42、 原計(jì)劃有420塊磚讓若干學(xué)生搬運(yùn)，每人運(yùn)磚一樣多，后來(lái)增加一個(gè)學(xué)生，這樣每個(gè)學(xué)生就比原計(jì)劃少搬2塊，原有學(xué)生 人。43、 一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是1998cm3，它的長(zhǎng)、寬、高均為整厘米數(shù)，它的棱長(zhǎng)之和最少是 cm。（1998年奧賽初賽A卷試題）44、 有一個(gè)長(zhǎng)方體，它的正面和右面的面積之和是209,如果它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 。45、 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)兩兩互質(zhì)且大于1的自然數(shù)，已知這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是5525，那么它的表面積是 。46、 將1?9這九個(gè)數(shù)分別填在以下九個(gè)口中，使等式成立：□XOO=OOXOOO=423447、 將1?9這九個(gè)數(shù)分別填在以下九個(gè)口中，使等式成立：口口乂口口=口口乂口口口=363448、 ^☆將1?9這九個(gè)數(shù)分別填在以下九個(gè)口中，使等式成立：□X□□二口口乂口口口二556849、 393除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)為8,這樣的兩位數(shù)有個(gè)。50、用1521除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是51，那么滿足這樣條件的所有兩位數(shù)有個(gè)。51、 一個(gè)兩位數(shù)除1229，余數(shù)是59,這樣的兩位數(shù)有。52、 將下面八個(gè)數(shù)40，44,45,63,65,78，99，105平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等，如何分？。53、 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干組，要求每一組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,那么至少要分成個(gè)組。（1992年奧賽決賽試題）54、 將下面八個(gè)數(shù)0.21,0.98,0.66,0.65,0.25,0.33,0.35,0.39平均分成兩組，使這兩組數(shù)的乘積相等，如何分？。55、三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是3口口口8，這三個(gè)偶數(shù)的平均數(shù)是。56、三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是9口口口2，這三個(gè)偶數(shù)分別是、、。57、三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是9口口7,這三個(gè)奇數(shù)的平均數(shù)是。58、三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是4口口口口3,這三個(gè)奇數(shù)的和。59、分子、分母的乘積是120的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)。60、分子、分母的乘積是455的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè)。61、把分子、分母的乘積是1001的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)按從小到大排列。62、 有一種最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，它們的分子與分母的積都是140,如果把所有這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個(gè)分?jǐn)?shù)是。（1993年奧賽初賽A卷試題）63、一個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的分子與分母的積是7007，這樣的分?jǐn)?shù)一共有個(gè)。64、找出1992的不同質(zhì)因數(shù)，它們的和是。（1992年奧賽初賽試題）65、 小虎用2.16元買了一種動(dòng)物畫片。如果每張畫片的價(jià)錢便宜1分錢，他就還可以再買3張畫片。小虎買了張這種便宜的動(dòng)物畫片。66、 甲種橡皮比乙種橡皮每塊多7分，如用4.20元買甲種橡皮可比買乙種橡皮要少3塊，甲種橡皮每塊分。67、 甲種鉛筆比乙種鉛筆每支便宜2分，如用5.40元買