2023年廣東高考熱點(diǎn)題型聚焦（一）《三角》

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2023年廣東高考熱點(diǎn)題型聚焦（一）《三角》

廣東課標(biāo)高考三年來風(fēng)格特點(diǎn)

“保持對三角內(nèi)容的考察重在化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法和函數(shù)屬性的考察〞（文理姐妹題，區(qū)別不是很大）

從改變風(fēng)格，表達(dá)創(chuàng)新，又顧及考生的適應(yīng)性考慮需關(guān)注解三角形“形式化〞的應(yīng)用.參考題目：

1．在△ABC中，已知a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊長,且b2?c2?a2?bc.（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若sin2A?sin2B?sin2C，試判斷△ABC的形狀并求角B的大小.解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2?b2?c2?2bccosA

b2?c2?a2?cosA?2bc，又∵b2?c2?a2?bc.?cosA?12,∵0?A??∴A??3

…………6分

（Ⅱ）∵sin2A?sin2B?sin2C，由正弦定理得

a24R2?b24R2?c24R2…………8分

即:a2?b2?c2故△ABC是以角C為直角的直角三角形……………10分又A??,?B??…………12分

362．已知：△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c且

cos(?2?A)?cosB?sinB?sin(?2?A)?sin(??2C).

(1)求角C的大?。?/p>

????????(2)若sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列，且CA?CB?18，求c邊的長.

解：(1)由cos(?2?A)?cosB?sinB?sin(?2?A)?sin(??2C)得

sinA?cosB?sinB?cosA?sin2C2分

∴sin(A?B)?sin2C，3分∵A?B???C,?sin(A?B)?sinC

∴sinC?sin2C?2sinCcosC，4分∵0?C??∴sinC?0

1

∴cosC?12∴C??3.6分

(2)由sinA,sinC,sinB成等差數(shù)列，得2sinC?sinA?sinB，

由正弦定理得2c?a?b.8分∵????????CA?CB?18，

即abcosC?18,ab?36.10分由余弦弦定理c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab，

?c2?4c2?3?36,c2?36，

?c?6.12分

3．在?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，滿足sinA52?5，且?ABC的面積為2．（Ⅰ）求bc的值；

（Ⅱ）若b?c?6，求a的值．解：（Ⅰ）∵sinA2?55,0?A??

∴cosA2?255.

∴sinA?2sinAcosA?4225.

∵S1?ABC?2bcsinA?2，

∴bc?5.6分

（Ⅱ）∵sinA2?55,

∴cosA?1?2sin2A2?35.

∵bc?5，b?c?6，

∴a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc(1?cosA)?20

∴a?25.12分

4.在△ABC內(nèi)，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，a,b,c成等差數(shù)列，且a?2c.

2

(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)若S?ABC?3154，求b的值.

解：（Ⅰ）由于a,b,c成等差數(shù)列，所以a?c?2b，……………2分又a?2c，可得b?32c，……………4分

9所以cosA?b?c?a2bc222?4c?c?4c2?32c2222??14，……………6分

（Ⅱ）由（I）cosA??14，A?(0,?)，所以sinA?154，……………8分

由于S?ABC?3154，S?ABC?12bcsinA，

所以S?ABC?12bcsinA?12?32c2154?3154，……………11分

得c2?4，即c?2，b?3.……………13分

5．如圖，在四邊形ABCD中，AB?3，AD?BC?CD?2，A?60?.

D（Ⅰ）求sin?ABD的值；

（Ⅱ）求?BCD的面積.

解：（Ⅰ）已知A?60?，

由余弦定理得BD?AB?AD?2AB?ADcosA?7，解得BD?7，…3分

ADsin?ABDADBD?BDsinA222C

AB

由正弦定理，，

所以sin?ABD?2sinA.…5分

?7?32?2172.…7分

（Ⅱ）在?BCD中，BD?BC?CD?2BC?CDcosC，

所以7?4?4?2?2?2cosC，cosC?1822，…9分

3

由于C?(0,?)，所以sinC?378，…11分

所以，?BCD的面積S?12BC?CD?sinC?374.…12分

從改變風(fēng)格，表達(dá)創(chuàng)新，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，支持課改考慮

需關(guān)注《三角》的來源（測量學(xué)），也就是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，突出表達(dá)正弦定理和余弦定理在測量中的作用，同時(shí)考察學(xué)生對方位角、俯角、仰角等概念的識(shí)記和理解.

參考題目：

1．如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內(nèi)沿南偏西60°的方向前進(jìn)了40m以后，在點(diǎn)D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角?AEB??,?的最大值為30°，求塔的高.

解：依題意知在△DBC中?BCD?30?,?DBC?180??45??135?CD=40,則?D?15?，由正弦定理得

CDsin?DBC?BCsin?D

6?4222?20(6?22)∴BC?CD?sin?Dsin?DBC?40?sin15sin135??40?＝

在Rt△ABE中，tan??ABBE

∵AB為定長∴當(dāng)BE的長最小時(shí)，?取最大值30°，這時(shí)BE?CD當(dāng)BE?CD時(shí)，在Rt△BEC中sin?BCD???BEBC,BE?BC?sin?BCD

∴AB?BE?tan30?BC?sin?BCD?tan30

＝20(6?22)1310(3????2333)（m）

答：所求塔高為

10(3?33)m.

2．海島B上有一座高10米的塔，塔頂?shù)囊粋€(gè)觀測站A，上午11時(shí)測得一游船位于島北偏東15方向上，且俯角為30的C處，一分鐘后測得該

??4

游船位于島北偏西75?方向上，且俯角45?的D處（假設(shè)游船勻速行駛）.

(Ⅰ)求該船行使的速度（單位：米/分鐘）；

(Ⅱ)又經(jīng)過一段時(shí)間后，油船到達(dá)海島B的正西方向E處，問此時(shí)游船距離海島B多遠(yuǎn).

解：(Ⅰ)在Rt?ABC中，?BAC=60?，AB=10，則BC=103米

在Rt?ABD中，?BAD=45?，AB=10，則BD=10米在Rt?BCD中，?BDC=75?+15?=90?，則CD=

BD+BC=20米

CD122A

?所以速度v==20米/分鐘

C

D

??（Ⅱ）在Rt?BCD中，?BCD=30，

又由于?DBE=15，所以?CBE=105，所以?CEB=45在?BCE中，由正弦定理可知所以EB?BCsin30??EBsin30??BCsin45?，

E

B

?56米.?sin453．如圖，為了解某海疆海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測量，已知AB?50m，BC?120m，于A處測得水深A(yù)D?80m，于B處測得水深BE?200m，于C處測得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。

解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?DE?EF?MF?DMDN?EN2222??30?170?10198，50?120?130222k5uom

22，

wwk5uom(BE?FC)?BC2?90?120?150．

22

在?DEF中，由余弦定理，cos?DEF?DE?EF?DF2DE?EF222?130?150?10?2982?130?150222?1665.

4．已知海岸邊A,B兩海事監(jiān)測站相距60nmile,為了測量海平面上兩艘油輪C,D間距離,在A,B兩處分別測得?CBD?75,

?ABC?30,?DAB?45,?CAD?60（A,B,C,D在同一個(gè)

????水平面內(nèi)）.請計(jì)算出C,D兩艘輪船間距離．

解：方法一：在?ABD中，由正弦定理得：

ADsin?ABD??ABsin?ADB，

∴AD?60sin(30?75)sin[180?(45?30?75)]???????60sin75sin30?60??6?4122?30(6?2)同理，在在?ABC

5

中，由正弦定理得：

ACsin?ABC???ABsin?ACB

AC?60sin30??sin[180?(45?30?60)]??2?30?302?sin45260?12∴計(jì)算出AD,AC后，再在?ACD中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出CD兩點(diǎn)間的距離：CD??AC?AD?2AC?AD?cos60?22?900?2?900(6?2)?2?9002(6?22)?12

900?8?36003?1800?18003?18007200?8?1800323

??30∴C,D兩艘輪船相距308?23nmile．方法二：在?ABC中，由正弦定理得：

BCsin?BAC?ABsin?ACB，

2∴BC?60sin(60?45)sin[180?(45?60?30)]BDsin?BADAB???????60sin75sin45??60??6?422在在?ABD中，?30(3?1)同理，

由正弦定理得：?sin?ADB260?122?602

BD?60sin45?????60??sin[180?(45?30?75)]2??sin302∴計(jì)算出BC,BD后，再在?BCD中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出CD兩點(diǎn)間的距離：

CD??BC?BD?2BC?BD?cos75222?900(3?1)?3600?2?2?30(3?1)?602?6?42

2)?3600?1800?37200?72?0090?0(8?6?2)(6?18003?3023

∴C,D兩艘輪船相距308?23nmile．

5．如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為

60，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離

000相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果確切到0.01km，2?1.414，

6

6?2.449）

k5uom解：在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA，在△ABC中，

ACsin60sin15?ABsin?BCA?ACsin?ABC,

?即AB=

?32?206,

因此，BD=

32?206?0.33km

故B，D的距離約為0.33km.

從延續(xù)風(fēng)格又表達(dá)?？汲Ｐ驴紤]

三角函數(shù)需進(jìn)一步關(guān)注其函數(shù)屬性與特征，關(guān)注課標(biāo)高考尚未出現(xiàn)的考點(diǎn);形式上需關(guān)注“給圖定式〞，或繼續(xù)向量“外衣〞.

參考題目：

1．已知函數(shù)f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

5解：（Ⅰ）由圖象知A?1

?2)的部分圖象如下圖.

(Ⅱ)若f(?2)?4,0????35?12，求cos?的值.?6f(x)的最小正周期T?4?(?)??,故??2?T?2

將點(diǎn)(?6,1)代入f(x)的解析式得sin(?3??)?1,又|?|??2,∴???6

故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)?sin(2x?(Ⅱ)f(?2)?456,即sin(??35?6)

?6)?45，注意到0????3，則

?6????6??2，

所以cos(???)?.

又cos??[(???6)??6]?cos(???6)cos?6?sin(???6)sin?6?33?410

2．已知函數(shù)f(x)?Asin(?x??)，(??0,|?|??)部分圖像如下圖。（1）求?,?的值；（2）設(shè)g(x)?f(x)f(x?單調(diào)遞增區(qū)間。

?4)，求函數(shù)g(x)的

7

解：（Ⅰ）由圖可知T?4(又由f(?2?2??4)??,??2?T?2，

)?1得，sin(???)?1，又f(0)??1，

得sin???1?2?|?|???????2，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin(2x??g(x)?(?cos2x)[?cos(2x?)??cos2x

128sin4x(k?Z)

?2)]?cos2xsin2x??,∴2k???2?4x?2k???2，即

k?2k?2??8k?2?x??k?2??故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[

?8?8](k?Z).

3.已知函數(shù)f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2)的部分圖y2Oπ65π12象如下圖.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式；

(Ⅱ)如何由函數(shù)y?2sinx的圖象通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到函數(shù)

f(x)的圖象,寫出變換過程.解:（Ⅰ）由圖象知A?2f(x)的最小正周期T?4?(5?12?x?6)??,故??2?T?2

將點(diǎn)(?6,2)代入f(x)的解析式得sin(?3??)?1,又|?|??2,∴???6

故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)?2sin(2x?（Ⅱ）變換過程如下:

?6)

1?圖象向左平移個(gè)單位所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

?26y?2sinxy?2sin(x?)6縱坐標(biāo)不變

y?2sin(2x??6)

?1圖象向左平移個(gè)單位所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

122y?2sin2x另解:y?2sinx縱坐標(biāo)不變

y?2sin(2x??6)

4．如圖，函數(shù)y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤(Ⅰ)求φ的值；

?2)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）.

8

(Ⅱ)設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，

?????????求PM與PN的夾角的余弦.

解：（I）由于函數(shù)圖像過點(diǎn)(0,1)，所以2sin??1,即sin??由于0????212.

，所以???6.

)及其圖像，得

（II）由函數(shù)y?2sin(?x?M(?1?615,0),P(,?2),N(,0),636?????????11所以PM?(?,2),PN?(,?2),從而

22??????????????????15PM?PN??????，cos?PM,PN??????17|PM|?|PN|5．已知函數(shù)f(x)?sin(?x??)(??0,0???π)任意兩相鄰零點(diǎn)的距離為?，且其圖像經(jīng)過點(diǎn)

?π1?M?，?.?32?(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)在?ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，f?A??面積．

解：(Ⅰ)依題意有

T2??，則??2?T,?1，)代入得sin(12,a?3,b?c?3?b?c?，求?ABC的

所以f(x)?sin(x??).將點(diǎn)M(??132?3??)?12，而0????，

?3???5612?，????2，故f(x)?sin(x?12?2)?cosx；

?3(Ⅱ)由f?A??，得cosA?．注意到0?A??，所以A?2．

根據(jù)余弦定理，得b2?c2?bc?3，即?b?c??3bc?3,bc?2．

1212所以S?ABC?

bcsinA??2?sin?3?32?.

6.設(shè)向量m?，x?(0,?)，n?(1,（cosx，sinx）（1）若|m?n|???5，求x的值；

?3)．

????f(x)?(m?n)?n，求函數(shù)f(x)的值域．（2）設(shè)

9

???解：（1）?m?n?(cosx?1,sinx?3),

由|m?n|?2??5得

2cosx?2cosx?1?sinx?23sinx?3?5

整理得cosx??3sinx

33顯然cosx?0∴tanx??∵x?(0,?)，∴x?5?6

3),

3)(1,3)?cosx?1?3sinx?3

???（2）?m?n?(cosx?1,sinx??