復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌第二章

復(fù)雜非線性系統(tǒng)中的混沌第二章第1頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.1

混沌

2.1.1混沌的特征混沌運(yùn)動(dòng)限于有限區(qū)域且軌道永不重復(fù)、性態(tài)復(fù)雜。具有通常確定性運(yùn)動(dòng)所沒(méi)有的幾何和統(tǒng)計(jì)特征：局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無(wú)限自相似、連續(xù)功率譜、奇怪吸引子、分維數(shù)、正Lyapunov特征指數(shù)、正測(cè)度熵等。具有確定性運(yùn)動(dòng)的特征：無(wú)周期而有序、已發(fā)現(xiàn)的三條通向混沌的道路、Feigenbaum普適常數(shù)、有界性和對(duì)初值具有強(qiáng)的敏感性。第2頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

大量的研究表明，在非線性耗散系統(tǒng)中有混沌并伴有混沌吸引子，在非線性保守（或保面積）系統(tǒng)中也有混沌，只是沒(méi)有混沌吸引子（KAM定理）。可見(jiàn)耗散結(jié)構(gòu)和混沌是非線性科學(xué)的兩朵奇葩，是探索世界復(fù)雜性的兩把金鑰匙。

耗散結(jié)構(gòu):

圖2.1熱擴(kuò)散實(shí)驗(yàn)包含兩種介質(zhì)（氫氣和氦氣）的容器。加熱一端而冷卻另一端。最后，兩種介質(zhì)分離，熱的一端充滿(mǎn)一種介質(zhì)，冷的一端充滿(mǎn)另一種介質(zhì)。這是一種遠(yuǎn)離平衡態(tài)的有序結(jié)構(gòu)。這種有序結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)和維持要從外部不斷供應(yīng)物質(zhì)和能量，所以是一種耗費(fèi)物質(zhì)和能量的結(jié)構(gòu)，因此稱(chēng)之為“耗散結(jié)構(gòu)”。實(shí)際上，所有生物體都是一種高級(jí)的耗散結(jié)構(gòu)。比如人每天要吃飯，時(shí)時(shí)要呼吸，就是一種開(kāi)放系統(tǒng)和耗散結(jié)構(gòu)。第3頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四生物進(jìn)化史，就是生物從原始的比較均勻的無(wú)序結(jié)構(gòu)發(fā)展為高級(jí)的不均勻的有序結(jié)構(gòu)的歷史。一個(gè)系統(tǒng)要形成耗散結(jié)構(gòu)需要滿(mǎn)足四個(gè)條件：(1)系統(tǒng)必須是一個(gè)開(kāi)放系統(tǒng)；(2)系統(tǒng)必須遠(yuǎn)離平衡態(tài)；(3)系統(tǒng)內(nèi)部各要素之間存在著非線性的相互作用；(4)漲落導(dǎo)致有序。從上述的四個(gè)條件看，耗散結(jié)構(gòu)的形成是一個(gè)不可逆過(guò)程。在Prigogine看來(lái)，Newton和Einstein的最大失誤就是把時(shí)間看作是可逆的。他的耗散結(jié)構(gòu)理論使我們認(rèn)識(shí)到，現(xiàn)實(shí)的世界中，時(shí)間是不可逆的，系統(tǒng)的演化過(guò)程和結(jié)果與時(shí)間相關(guān)?；谏鲜龇治?，可見(jiàn)混沌的主要特征有：

1、敏感初始條件第4頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、伸長(zhǎng)與折疊3、具有豐富的層次和自相似的結(jié)構(gòu)

4、非線性耗散系統(tǒng)中存在混沌吸引子第5頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.1.2混沌的定義1990年，美國(guó)著名科幻小說(shuō)家MichaelCrichton推出一力作《侏羅紀(jì)公園》。小說(shuō)中的混沌：存在著另一類(lèi)物理學(xué)難以描述的行為。例如與湍流有關(guān)的問(wèn)題，這種方程很難求解，直至混沌理論的出現(xiàn)?；煦缦到y(tǒng)的行為對(duì)初始條件的變化十分敏感。如該系統(tǒng)是用以時(shí)間為自變量的微分方程來(lái)刻劃，則我們研究的目的是試圖預(yù)言微分方程的解在遙遠(yuǎn)的將來(lái)或推測(cè)在遙遠(yuǎn)的過(guò)去的最終狀態(tài)。如該系統(tǒng)是以離散形式進(jìn)行刻劃，即第6頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中f是集合M到M的映射，則我們希望了解，隨著n變大，序列的最終性態(tài)。因此我們稱(chēng)的集合為x的前向軌道，用表示，即如果f是同胚，我們還可以定義x的全軌道為點(diǎn)的集合，x的后向軌道定義為的集合。第7頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義2.1

如果對(duì)某個(gè)有，但對(duì)于小于n的自然數(shù)k，，則稱(chēng)是f的一個(gè)n周期點(diǎn)。當(dāng)是f的一個(gè)n周期點(diǎn)時(shí)，有。此時(shí)只有n個(gè)不同的元素。第8頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義2.2

當(dāng)是f的一個(gè)n周期點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)為f的n周期軌道。第9頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義2.3

設(shè)(X,

)是一緊致的度量空間，f:XX是連續(xù)映射，稱(chēng)f在X上是混沌的，如果：(1)f具有對(duì)初值敏感依賴(lài)性，(2)f在X上拓?fù)鋫鬟f，(3)f的周期點(diǎn)在X中稠密。第10頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四混沌一詞最先由T.Y.Li和J.A.Yorke提出。1975年他們?cè)诿绹?guó)《數(shù)學(xué)月刊》上發(fā)表了題為“周期3意味著混沌”的文章，并給出了混沌的一種數(shù)學(xué)定義，現(xiàn)稱(chēng)為L(zhǎng)i-Yorke定義或Li-Yorke定理:第11頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

考慮一個(gè)把區(qū)間[a,b]映為自身的、連續(xù)的、單參數(shù)映射

,,亦可寫(xiě)成點(diǎn)映射形式：

,

定義2.4

連續(xù)映射或點(diǎn)映射,

稱(chēng)為是混沌的，如果：（1）存在一切周期的周期點(diǎn)；（2）存在不可數(shù)子集,S不含周期，，第12頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)，使得

,,,,,,p為周期點(diǎn)

，，此定義中前兩個(gè)極限說(shuō)明子集的點(diǎn)相當(dāng)集中而又相當(dāng)分散；第三個(gè)極限說(shuō)明子集不會(huì)趨近于任意點(diǎn)。

第13頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)Li-Yorke定義，一個(gè)混沌系統(tǒng)應(yīng)具有三種性質(zhì)：（1）存在所有階的周期軌道；（2）存在一個(gè)不可數(shù)集合，此集只含有混沌軌道，且任意兩個(gè)軌道既不趨向遠(yuǎn)離也不趨向接近，而是兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)，同時(shí)任一軌道不趨于任一周期軌道，即此集合不存在漸近周期軌道；（3）混沌軌道具有高度的不穩(wěn)定性?？梢?jiàn)周期軌道與混沌運(yùn)動(dòng)有密切關(guān)系，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，在參數(shù)空間中考察定常的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)往往要在參量變化過(guò)程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進(jìn)入混沌狀態(tài)。這構(gòu)成所謂“通向混沌的道路”。第14頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二，一個(gè)混沌吸引子里面包含著無(wú)窮多條不穩(wěn)定的周期軌道；一條混沌軌道中有許許多多或長(zhǎng)或短的片段，它們十分靠近這條或那條不穩(wěn)定的周期軌道。

第15頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.1.3奇怪吸引子還有另一大類(lèi)的系統(tǒng)，它在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其相空間容積收縮到維數(shù)低于原來(lái)相空間維數(shù)的吸引子上，即運(yùn)動(dòng)特征是相空間容積收縮，這類(lèi)系統(tǒng)就是耗散系統(tǒng)。在耗散系統(tǒng)中存在一些平衡點(diǎn)（不動(dòng)點(diǎn)）或子空間，隨著時(shí)間的增加，軌道或運(yùn)動(dòng)都向它逼近，它就是吸引子。在相空間中，耗散系統(tǒng)可能有許多吸引子，向其中某個(gè)吸引子趨向的點(diǎn)的集合稱(chēng)為該吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引盆中不會(huì)有其它吸引子，與吸引子相反的就是排斥子。通常耗散系統(tǒng)的簡(jiǎn)單吸引子有不動(dòng)點(diǎn)、極限環(huán)和環(huán)面。簡(jiǎn)單吸引子又受系統(tǒng)參數(shù)的影響，隨著系統(tǒng)的參數(shù)的變化，耗散運(yùn)動(dòng)也會(huì)出現(xiàn)混沌，這時(shí)的吸引子就變?yōu)槠婀治印；煦邕\(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為奇怪吸引子是耗散系統(tǒng)獨(dú)具的性質(zhì)。第16頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)耗散系統(tǒng)中四個(gè)常有的吸引子解釋如下。(1)不動(dòng)點(diǎn)吸引子或定常吸引子：是一個(gè)零維的吸引子，在相空間中是一個(gè)點(diǎn)，它表示系統(tǒng)在做平衡運(yùn)動(dòng)。(2)極限環(huán)：是一個(gè)一維的吸引子，在相空間中是環(huán)繞平衡點(diǎn)的一條閉合的曲線，它對(duì)應(yīng)周期運(yùn)動(dòng)。

(3)準(zhǔn)周期吸引子，表現(xiàn)為相空間上的二維環(huán)面，它類(lèi)似面包圈的表面，軌道在狀態(tài)空間的環(huán)面上繞行，這種運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)頻率，一是軌道沿較短方向繞環(huán)面運(yùn)動(dòng)所決定的頻率，一是軌道繞整個(gè)環(huán)面運(yùn)動(dòng)所決定的頻率，這兩個(gè)頻率不可公約，它是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。第17頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)奇怪吸引子：也稱(chēng)“隨機(jī)吸引子”、“混沌吸引子”。它是相空間中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的混沌狀態(tài)。定義2.5

由于耗散系統(tǒng)的相空間容積是收縮的，所以n維耗散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)將位于一個(gè)小于n維的“曲面”（超曲面）上，粗略地說(shuō)，這個(gè)曲面就是吸引子。定義2.6

它首先應(yīng)是一個(gè)吸引子，即存在一個(gè)集合U，使

(1)U是A的一個(gè)鄰域；

(2)對(duì)每一初始點(diǎn)

，當(dāng)t>0時(shí)，應(yīng)有；當(dāng)

時(shí)，，即A是吸引子；此外第18頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)

時(shí)，有對(duì)x0的敏感性(當(dāng)初值誤差為無(wú)窮小量時(shí)，它的像的誤差隨t按指數(shù)增長(zhǎng))，即A是奇怪吸引子；

(4)對(duì)，應(yīng)有使，而奇怪吸引子不應(yīng)分成兩個(gè)。奇怪吸引子有以下幾個(gè)重要特征：(1)對(duì)初始條件有非常敏感的依賴(lài)性。(2)它的功率譜是一個(gè)寬譜。(3)系統(tǒng)中存在有馬蹄。(4)它具有非常奇特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何形式。第19頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2分岔及產(chǎn)生混沌的途徑2.2.1分岔理論混沌運(yùn)動(dòng)就是經(jīng)過(guò)一系列解的突變才發(fā)生的。解發(fā)生突變的參數(shù)值稱(chēng)為分岔點(diǎn)。分岔理論的主要內(nèi)容，就是研究非線性方程解的數(shù)目如何在參數(shù)變化過(guò)程中發(fā)生突變。

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以通過(guò)各種分岔現(xiàn)象發(fā)生質(zhì)的變化。這種當(dāng)控制參數(shù)變化到某個(gè)臨界值時(shí)而使系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)發(fā)生定性變化的現(xiàn)象稱(chēng)為分岔，它是非線性系統(tǒng)內(nèi)部固有的一種特性。例如，考慮一個(gè)連續(xù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，即由常微分方程組第20頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(2.2)

決定的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。方程組(2.2)有定態(tài)解

,即滿(mǎn)足方程組的解。這個(gè)定態(tài)解的穩(wěn)定性可通過(guò)線性化的小擾動(dòng)分析方法來(lái)考察。令并假設(shè)初始時(shí)刻的zi很小，線性化的方程組為其中

第21頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它具有形式的解。這里是矩陣的特征方程的特征值。它的實(shí)部也稱(chēng)為

Lyapunov特征指數(shù)。因?yàn)?，這些特征值的實(shí)部決定了隨它的初值增加還是減小。如果所有這些特征值的實(shí)部都是負(fù)的，則定態(tài)解是穩(wěn)定的。通常把它稱(chēng)為吸引子。如果這些特征值這至少有一個(gè)特征值的實(shí)部大于零。則此定態(tài)解是不穩(wěn)定的。通常把它稱(chēng)為排斥子。Lyapunov特征指數(shù)是判斷解的穩(wěn)定性的一個(gè)特征量，也是定量表征運(yùn)動(dòng)軌道是否出現(xiàn)混沌的一個(gè)特征量。它依賴(lài)于系統(tǒng)的控制參數(shù)，系統(tǒng)是否發(fā)生分岔現(xiàn)象可通過(guò)對(duì)它的分析來(lái)判斷。

第22頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

最常見(jiàn)的分岔有：叉型分岔或?qū)ΨQ(chēng)鞍結(jié)點(diǎn)分岔、切分岔或鞍結(jié)點(diǎn)分岔、跨臨界分岔、滯后分岔、Hopf分岔、倍周期分岔、同宿和異宿分岔。第23頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2.2通向混沌的道路2.2.2.1倍周期分岔通向混沌第一種是倍周期分岔途徑，亦稱(chēng)Feigenbaum途徑。這條途徑是一種規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（例如某種定態(tài)解或周期解）可以通過(guò)周期不斷加倍的倍分岔方式逐步過(guò)渡到混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。如Logistic映射是經(jīng)過(guò)倍周期分岔達(dá)到混沌的，如下圖：

第24頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第25頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

Feigenbaum指出Logistic映射分岔點(diǎn)的參數(shù)值

(m=1,2,3,…)形成無(wú)窮序列，并有一個(gè)極限值

=3.569945672…。同時(shí)Feigenbaum還發(fā)現(xiàn)Logistic映射系統(tǒng)伴隨倍周期分岔的產(chǎn)生，還呈現(xiàn)別的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。下面敘述Logistic映射的情形。

1、混沌和奇怪吸引子當(dāng)

=時(shí)，周期無(wú)窮大的解有無(wú)窮多個(gè)，映射進(jìn)入混沌，其總體上是穩(wěn)定的，同時(shí)，它又是奇怪吸引子。該映射之所以出現(xiàn)混沌，是由于它具有兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）伸展和折疊（stretchingandfolding）（2）不可逆2、逆瀑布（inversecascade）（逆級(jí)聯(lián)）當(dāng)

=4時(shí)，周期為任意整數(shù)的解都存在，且全都是第26頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

不穩(wěn)定的，所以在[0，1]上有可列無(wú)限個(gè)不穩(wěn)定周期點(diǎn)，除去這些點(diǎn)后的[0，1]中仍有不可列無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)集將組成一個(gè)奇怪吸引子。3、周期窗口（periodicwindows）當(dāng)時(shí)，Logistic映射存在周期3解。1975年，Li和Yorke曾提出“周期3意味著混沌”的論斷。

4、U序列U序列（UniversalSequence）又稱(chēng)MSS序列或揉搓序列（kneadingsequence）。它表示在單峰映射中，其周期窗口的位置排列具有一定的次序。

第27頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2.2.2陣發(fā)性通向混沌陣發(fā)性混沌是指系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時(shí)，在非平衡非線性條件下，當(dāng)某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間行為忽而周期（有序）、忽而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)繼續(xù)變化時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)由陣發(fā)性混沌發(fā)展成為混沌。陣發(fā)混沌最早見(jiàn)之于Lorenz模型，然而較詳細(xì)的研究均是在一些非線性映射上作的。陣發(fā)混沌與倍周期分岔所產(chǎn)生的混沌是孿生現(xiàn)象，凡是觀察到倍周期分岔的系統(tǒng)，原則上均可發(fā)現(xiàn)陣發(fā)混沌現(xiàn)象。

第28頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.2.2.3

Hopf分岔通向混沌是一種規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)最多經(jīng)過(guò)3次Hopf分岔就能轉(zhuǎn)變成混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。具體地說(shuō)，其通往混沌的轉(zhuǎn)變可以表示為不動(dòng)點(diǎn)極限環(huán)二維環(huán)面混沌，每一次分岔可以看作一次Hopf分岔，分岔出一個(gè)新的不可公約的頻率。盡管這條通向混沌的道路提出較早，但與倍周期分岔道路和陣發(fā)混沌道路相比，其規(guī)律性仍知道得較少，近年來(lái)已引起了人們的關(guān)注。例如關(guān)于突變點(diǎn)附近的臨界行為的研究還不夠充分，目前尚不清楚這里是否也存在著普適的臨界指數(shù)。這些已引起了人們的關(guān)注。

第29頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3混沌研究的判據(jù)與準(zhǔn)則2.3.1龐卡萊截面法法國(guó)數(shù)學(xué)家龐卡萊為我們提供了一種有效的研究復(fù)雜的多變量連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的軌道方法，即龐卡萊截面方法：在多維相空間中適當(dāng)（要有利于觀察系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征和變化，如截面不能與軌線相切，更不能包含軌線面。）選取一個(gè)截面，這個(gè)截面可以是平面，也可以是曲面。然后考慮連續(xù)的動(dòng)力學(xué)軌道與此截面相交的一系列交點(diǎn)的變化規(guī)律。這樣就可以拋開(kāi)相空間的軌道，借助計(jì)算機(jī)畫(huà)出龐卡萊截面上的截點(diǎn)，由它們可得到關(guān)于運(yùn)動(dòng)特征的信息。第30頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.2相空間重構(gòu)時(shí)間序列的重建相空間：把時(shí)間序列擴(kuò)展到三維或更高維的相空間中去，才能把時(shí)間序列的混沌信息充分地顯露出來(lái)。Packard等人提出了由一維可觀察量重構(gòu)一個(gè)“等價(jià)的”相空間：由系統(tǒng)某一可觀測(cè)量的時(shí)間序列重構(gòu)m維相空間，得到一組相空間矢量t是時(shí)間延遲；，d為系統(tǒng)自變量個(gè)數(shù)，M小于N，并與N有相同的數(shù)量級(jí)。

第31頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四重構(gòu)相空間的關(guān)鍵在于嵌入空間維數(shù)m和時(shí)間延遲t的選擇。1、嵌入空間維數(shù)m的選擇由Packard和F.Takens所提出的時(shí)間滯后延遲法構(gòu)造相空間基于拓?fù)淝度肜碚摚夯舅枷耄喝魧⒁粭l一維的曲線限制在一個(gè)二維的曲面上，一般來(lái)講，這條曲線將在重構(gòu)法曲面上相交。并且在曲線上只做微小的變形情況下，這些交點(diǎn)不會(huì)消除，相反，若是將一條曲線置于三維空間時(shí)，所有的自身相交點(diǎn)都可以通過(guò)一個(gè)小的形變來(lái)消除，因此，這些交點(diǎn)可以認(rèn)為是偶然出現(xiàn)的。結(jié)論推廣：A、B兩個(gè)物體，維數(shù)分別為，第32頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它們都在d維空間中，我們定義一個(gè)“交疊維數(shù)”（codimension）以便用來(lái)表示的維數(shù)

這種交疊維數(shù)具有加法性質(zhì)，即因此可得

(2.5)式(2.5)的確定性可以由一些例子說(shuō)明，例如，將兩條曲線置于一個(gè)平面上，通常會(huì)出現(xiàn)一些交疊（一般情況是一些點(diǎn)），這時(shí),。由式(2.5)得

，即相交的是一些點(diǎn)，而在三維空間中，它們一般不相交，這是因?yàn)?，?/p>

第33頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四在三維空間中的曲線將和的平面相交，這是因?yàn)椤?/p>

下面將式(2.5)用于完全相同的物體，即，我們希望這個(gè)物體能在d維空間中自由伸展，即A上的任何部分在伸展是都不必碰到自身其它部分，由于這時(shí)不是一個(gè)好的標(biāo)記方法，我們令式(2.5)左端為。因此，嵌入空間的維數(shù)為

(2.6)由式(2.6)得到的嵌入空間維數(shù)通常比實(shí)際需要的要大。嵌入空間的維數(shù)至少是吸引子維數(shù)的兩倍，才能保證吸引子的正確恢復(fù)。在實(shí)際中，m值的選取第34頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四應(yīng)該通過(guò)多次的嘗試來(lái)確定，當(dāng)m值取得過(guò)大時(shí)，無(wú)標(biāo)度區(qū)對(duì)應(yīng)于所有的（過(guò)大的m）m值都是相同的。在混沌運(yùn)動(dòng)特征的計(jì)算中，一般地講，所須的嵌入空間最小維數(shù)取決于我們要從時(shí)間序列中提取什么樣的物理量。如相圖中，；而在計(jì)算Lyapunov指數(shù)、分維數(shù)時(shí)，只是計(jì)及沿軌道的平均性質(zhì)，這時(shí)取就可以了。另外Roux等曾討論了m和t值的選擇。他們認(rèn)為，在大多數(shù)情況下，m值可取得比m32d+1的不等式所確定的值小一些，Wolf等在討論Lyapunov指數(shù)計(jì)算時(shí)也得出了類(lèi)似結(jié)論。大多數(shù)意見(jiàn)認(rèn)為，m值的選取應(yīng)通過(guò)反復(fù)試算來(lái)確定。Roux等建議讓m值逐次加1，直到相圖上沒(méi)有附加的結(jié)構(gòu)出現(xiàn)。第35頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、時(shí)間延遲t的選取

1986年，F(xiàn)raser等指出，自相關(guān)函數(shù)的方法只度量了變量的線性關(guān)系，為了量度兩個(gè)變量的普遍依賴(lài)關(guān)系，應(yīng)取重構(gòu)的兩分量間的“互信息函數(shù)”出現(xiàn)第一個(gè)極小值時(shí)的延遲值t作為最佳的延遲時(shí)間，重構(gòu)相空間。所謂的互信息（mutualinformation）是這樣定義的：是兩個(gè)序列，在S-Q的面上用“數(shù)盒子”的方法我們可以得到概率分布

、及聯(lián)合概率分布。

用對(duì)數(shù)表示所得到的信息的概念：當(dāng)從一個(gè)具有N個(gè)元素的集合S中取得一個(gè)元素時(shí)，有

(2.7)第36頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Shannon考慮了在S集合中有n個(gè)子集Si的情況，對(duì)每個(gè)子集都應(yīng)用式(2.7)，有

,,并對(duì)每個(gè)子集的信息平均，得到總的S集合的信息：

(2.8)將聯(lián)合概率分布代入式(2.8)中，得到聯(lián)合信息：由、得

、按下式定義，即為“互信息”：

第37頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在實(shí)際應(yīng)用中，最佳延遲時(shí)間t的選取仍需反復(fù)的嘗試。第38頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.3功率譜分析法Welch所提出的平均周期圖方法來(lái)計(jì)算標(biāo)量信號(hào)的自功率譜估值：設(shè)序列的功率譜為，把序列分成長(zhǎng)度為L(zhǎng)的K個(gè)重迭段，就可求得修正的周期圖譜估計(jì)。在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，諸序列段重疊個(gè)樣點(diǎn)，諸序列段的總數(shù)目為。第i段的數(shù)值定義為其中為L(zhǎng)個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)窗函數(shù)(如：矩形窗函數(shù)，漢明窗函數(shù)等)。經(jīng)窗處理后序列段的M點(diǎn)離散付里葉變換：

第39頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四是用FFT算法計(jì)算的(如果，序列要用個(gè)零值加以補(bǔ)零)。對(duì)修正周期圖求平均以產(chǎn)生歸一化角頻率處功率譜估值其中。則用分貝表示的功率譜估值為根據(jù)采樣定理，當(dāng)采樣的時(shí)間間隔為、采樣頻率為f時(shí)，時(shí)間序列能夠反映的最大頻率為

(2.9)第40頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這樣對(duì)于FFT長(zhǎng)度為M的時(shí)間序列，其頻率間隔(分辨率)為

(2.10)

頻率為f的周期系統(tǒng)的功率譜在頻率f及其高次諧波2f、3f、……處有d函數(shù)形式的尖峰。每個(gè)尖峰的高度指示了相應(yīng)頻率的振動(dòng)強(qiáng)度。特別當(dāng)發(fā)生分岔時(shí)，功率譜將改變它的特征。基頻為f1、f2、……fk的準(zhǔn)周期系統(tǒng)的功率譜在f1、f2、……fk及其線性組合處有d函數(shù)形式的尖峰。對(duì)于混沌系統(tǒng)，盡管其功率譜仍可能有尖峰，但它們多少會(huì)增寬一些（不再相應(yīng)于分辨率），而且功率譜上會(huì)出現(xiàn)寬帶的噪聲背景?？梢?jiàn)功率譜分析對(duì)周期和準(zhǔn)周期現(xiàn)象的識(shí)別以及研究它們與混沌態(tài)的轉(zhuǎn)化過(guò)程是非常有力的。第41頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.4關(guān)聯(lián)維數(shù)奇怪吸引子為分形結(jié)構(gòu)。分維數(shù)可對(duì)吸引子的幾何特征及集于吸引子上的軌道隨時(shí)間的演化情況進(jìn)行數(shù)量上的描述，因而可對(duì)吸引子的混沌程度進(jìn)一步細(xì)分。分維數(shù)有多種定義，關(guān)聯(lián)維數(shù)作為混沌行為的測(cè)量參數(shù)得到了廣泛的應(yīng)用。在由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，計(jì)算式(2.4)的相關(guān)積分

(2.11)凡是距離小于給定正數(shù)r的矢量，稱(chēng)為有關(guān)聯(lián)的矢量，這里的H是Heaviside函數(shù)

第42頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四r的值取的適當(dāng)，會(huì)隨著r的增大而呈指數(shù)倍的迅速增加，關(guān)聯(lián)維數(shù)定義為

在計(jì)算中隨著嵌入維數(shù)d變化，雙對(duì)數(shù)圖曲線束中，互相平行的直線段的斜率，就是關(guān)聯(lián)維數(shù)D2。該方法為研究一維時(shí)間序列信號(hào)的動(dòng)力學(xué)特征提供了有力的工具，被研究者廣泛地采用。本文也采用了這種方法來(lái)計(jì)算心電信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)。第43頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.5Lyapunov指數(shù)2.3.5.1Lyapunov指數(shù)的定義Lyapunov指數(shù)恰可定量表示奇怪吸引子對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性。對(duì)于n維相空間中的連續(xù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，考察一個(gè)無(wú)窮小n維球面的長(zhǎng)時(shí)間演化。由于流的局部變形特性，球面將變?yōu)閚維橢球面。第i個(gè)Lyapunov指數(shù)按橢球主軸長(zhǎng)度pi(t)定義為

(2.12)式(2.12)表明Lyapunov指數(shù)的大小表明相空間中相近軌道的平均收斂或發(fā)散的指數(shù)率。Lyapunov指數(shù)是很一般的特征數(shù)值，它對(duì)每種類(lèi)型的吸引子都有定義。對(duì)于n維相空間有n個(gè)實(shí)指數(shù)，故也稱(chēng)為譜，并按其大小排列，一般令

第44頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

一般說(shuō)來(lái)，具有正和零Lyapunov指數(shù)的方向，都對(duì)支撐起吸引子起作用，而負(fù)Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)著收縮方向，這兩種因素對(duì)抗的結(jié)果就是伸縮與折疊操作，這就形成奇怪吸引子的空間幾何形狀。因此，對(duì)于奇怪吸引子而言，其最大Lyapunov指數(shù)為正的（另外也至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的），并且Lyapunov指數(shù)

越大，系統(tǒng)的混沌性越強(qiáng)；反之亦然.對(duì)于耗散系統(tǒng)，Lyapunov指數(shù)譜不僅描述了各條軌道的性態(tài)，而且還描述了從一個(gè)吸引子的吸引域出發(fā)的所有軌道的穩(wěn)定性性態(tài)。對(duì)于一維（單變量）情形，吸引子只可能是不動(dòng)點(diǎn)（穩(wěn)定定態(tài)）。此時(shí)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的。對(duì)于二維情形，吸引子或者是不動(dòng)點(diǎn)或者是極限環(huán)。對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)，任意方向的相空間中兩靠近點(diǎn)之間的距離都要

第45頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四收縮，故這時(shí)兩個(gè)Lyapunov指數(shù)都應(yīng)該是負(fù)的，即對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)，至于極限環(huán)，如果取相空間中兩靠近點(diǎn)之間的距離始終是垂直于環(huán)線的方向，它一定要收縮，此時(shí)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的；當(dāng)取相空間中兩靠近點(diǎn)之間的距離沿軌道切線方向，它既不增大也不縮小，可以想象，這時(shí)Lyapunov指數(shù)等于零（這類(lèi)不終止于不動(dòng)點(diǎn)而又有界的軌道至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)等于零。證明可參考Haken的書(shū)AdvancedSynergetics）[59]。所以，極限環(huán)的Lyapunov指數(shù)是

同樣可知，在三維情形下有不動(dòng)點(diǎn)極限環(huán)二維環(huán)面

第46頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

不穩(wěn)極限環(huán)

不穩(wěn)二維環(huán)面

奇怪吸引子在四維連續(xù)耗散系統(tǒng)中，有三類(lèi)不同的奇怪吸引子，它們是：第47頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四總結(jié)上面的分析可以看出，Lyapunov指數(shù)可以表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的特征，其沿某一方向取值的正負(fù)和大小表示長(zhǎng)時(shí)間系統(tǒng)在吸引子中相鄰軌道沿該方向平均發(fā)散（li>0）或收斂（li

<0）的快慢程度，因此，最大Lyapunov指數(shù)

決定軌道覆蓋整個(gè)吸引子的快慢，最小Lyapunov指數(shù)則決定軌道收縮的快慢，而所有Lyapunov指數(shù)之和可以認(rèn)為是大體上表征軌道總的平均發(fā)散快慢。還可以看出，（1）任何（平庸的和奇怪的）吸引子必定有一個(gè)混沌Lyapunov指數(shù)是負(fù)的；（2）對(duì)于混沌，必有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是正的（另外，吸引子也至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)是負(fù)的）。因此，只要由計(jì)算得知，吸引子至少有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，便可以肯定它是奇怪的，從而運(yùn)動(dòng)是混沌的。第48頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.5.2Kaplan-Yorke猜想Lyapunov指數(shù)和分維數(shù)之間的關(guān)系：基于Lyapunov指數(shù)從大到小的排序，然后從最大的開(kāi)始（混沌運(yùn)動(dòng)至少有一個(gè)指數(shù)大于零），把后續(xù)的指數(shù)一個(gè)個(gè)加起來(lái)。設(shè)加到時(shí)，總和為正數(shù)，而加到下一個(gè)時(shí)，總和成為負(fù)數(shù)，很自然設(shè)想吸引子維數(shù)介于k和k+1之間。用線性插值定出維數(shù)的分?jǐn)?shù)部分，Kaplan和Yorke[60]曾猜測(cè)此關(guān)系為得到這里d為分維數(shù)，k是能使的最大k值。在二維情況下，上式簡(jiǎn)化為第49頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.5.3差分方程組計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法定義2.7

設(shè)空間上的差分方程：。f為上的連續(xù)可微映射。

設(shè)表示f的Jacobi矩陣，即令第50頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將的n個(gè)復(fù)特征根取模后，依從大到小順序排列為那么，f的Lyapunov指數(shù)定義為第51頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.5.4微分方程組計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法1976年，Benettin等人提出了計(jì)算微分方程組最大Lyapunov指數(shù)的方法。其方法如下：在給定微分方程組所確定的相空間中，選取兩個(gè)很靠近的初始點(diǎn)和，其間距離為，且值要很小，在一個(gè)小的時(shí)間間隔里去積分這個(gè)微分方程，利用變換Ｔ可得這兩點(diǎn)間的距離為。然后選取一個(gè)新的點(diǎn)，它的位置在和的的聯(lián)線上，并使得。對(duì)和

第52頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四再作用一次變換Ｔ，可得到及，并有。這個(gè)過(guò)程重復(fù)進(jìn)行，如圖2.3所示，則

可由下列方程來(lái)計(jì)算這里n是積分的次數(shù)，故n必須很大（例如），而又必須很?。ɡ纾?，只要不太大，計(jì)算結(jié)果就與的大小無(wú)關(guān)了。利用計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)這種算法，從而可以對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是否是混沌作出判斷。

第53頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圖2.3微分方程組計(jì)算Lyapunov指數(shù)的演化替換過(guò)程第54頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.5.5實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算Lyapunov指數(shù)的方法1、長(zhǎng)度演化法1985年，Wolf等人在總結(jié)前人研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出了一種能從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算非負(fù)最大Lyapunov指數(shù)l1的算法—長(zhǎng)度演化法計(jì)算方法：由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的時(shí)間序列，利用時(shí)間延遲法構(gòu)造m維相空間，空間中的每一點(diǎn)是由{，，…，)}給出的。首先找出距初始點(diǎn){，，…，}最近的點(diǎn)，用表示這兩點(diǎn)間的距離。到時(shí)刻已演化成，這時(shí)再按以下兩原則尋找一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)：第55頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四它與演化后基準(zhǔn)點(diǎn)的距離很?。磺遗c的夾角很小。這個(gè)過(guò)程重復(fù)進(jìn)行，如圖2.4所示，直到窮盡所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)。則為其中N是長(zhǎng)度元演化的總次數(shù)。至趨于某一穩(wěn)定值時(shí)，計(jì)算才算成功。圖2.4長(zhǎng)度演化法計(jì)算Lyapunov指數(shù)的演化替換過(guò)程第56頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、面積演化法長(zhǎng)度演化法在實(shí)際處理中具有一定局限性。若當(dāng)一條線段增長(zhǎng)到顯著大時(shí)，無(wú)法找到具有相同取向的較短線段的位移，則失去吸引子中最膨脹方向的意義，使正指數(shù)與零指數(shù)的貢獻(xiàn)以系統(tǒng)相關(guān)和復(fù)合的方式混合在一起，不能正確算。面積演化法方法：由于考慮的是幾近于平面局域結(jié)構(gòu)的（+，0，-）譜的吸引子（即要求），在重構(gòu)吸引子中確定3個(gè)近鄰點(diǎn)，及，其中是吸引子中任一點(diǎn)，比如可取第一點(diǎn)

,對(duì)應(yīng)時(shí)刻。點(diǎn)及則是用窮舉法或其它方法找到的的最近鄰點(diǎn)，然后按時(shí)間序列向前發(fā)展而求得這三個(gè)點(diǎn)在時(shí)刻的新位置記為，，。這兩個(gè)三角形的面積記為和。保持點(diǎn)第57頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

作為三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，而尋找其新的最近鄰點(diǎn)及。三角形的面積為。顯然量反映吸引子的局部膨脹和收縮特性。重復(fù)這一步驟直到所有的數(shù)據(jù)都用到，兩個(gè)最大Lyapunov指數(shù)之和的估計(jì)值式中N是代換的總步數(shù)，是第k步代換的時(shí)間。至趨于某一穩(wěn)定值時(shí)，計(jì)算才算成功。面積演化法的合理性在于：其一、整個(gè)計(jì)算中已經(jīng)保留了三角形中一點(diǎn)的演化從而考慮了相應(yīng)的一維映射不變概率密度對(duì)指數(shù)貢獻(xiàn)的權(quán)重；其二，吸引子的局部近似平面，故面積演化不必考慮其它指數(shù)的修正。

第58頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圖2.5面積演化法計(jì)算Lyapunov指數(shù)的演化替換過(guò)程第59頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.3.6測(cè)度熵動(dòng)力系統(tǒng)另一統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的量是熵，它與Lyapunov指數(shù)和Hausdorff維數(shù)之間存在一定關(guān)系，是系統(tǒng)混沌性質(zhì)的一種度量，常用的熵有拓?fù)潇兀╰opologicalentropy）和測(cè)度熵（metricentropy或measuretheoreticentropy）測(cè)度熵是從我們熟悉的熱力學(xué)熵概念引申而來(lái)的。在統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)中，熵是系統(tǒng)處在狀態(tài)i的概率。熵S是系統(tǒng)無(wú)序程度的量度。無(wú)序程度的增加對(duì)應(yīng)于對(duì)狀態(tài)可知性的減少。根據(jù)Shannon的信息論，熵S可用來(lái)刻劃我們對(duì)系統(tǒng)無(wú)知的程度。只要S>0，系統(tǒng)總存在一些我們無(wú)法認(rèn)識(shí)的側(cè)面。第60頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)S，可引入測(cè)度熵K。K熵的定義如下：考慮奇怪吸引子上動(dòng)力系統(tǒng)的軌道。設(shè)d維相空間被劃分成尺寸為的盒子，系統(tǒng)的狀態(tài)可在時(shí)間的時(shí)間間隔內(nèi)觀察。設(shè)是在盒子中，在盒子中，……，在盒子中的聯(lián)合概率，根據(jù)Shannon公式

它正比于以精度l確定系統(tǒng)在特殊軌道所需要的信息。因此是已知系統(tǒng)先前處于而預(yù)測(cè)系統(tǒng)將在單元中所需的附加信息，這意味著量度了系統(tǒng)從時(shí)間n到n+1的信息損失。K熵定義為信息的平均損失率第61頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四極限說(shuō)明K與分劃的選取無(wú)關(guān)。對(duì)離散時(shí)間步長(zhǎng)的映射，可以省略。

K在混沌的量度中是很有用的。它可以區(qū)分規(guī)則運(yùn)動(dòng)，混沌運(yùn)動(dòng)和隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。對(duì)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，；在隨機(jī)系中若系統(tǒng)表現(xiàn)確定性混沌，則K是大于零的常數(shù)。K熵越大，那么信息的損失速率越大，系統(tǒng)的混沌程度越大，或說(shuō)系統(tǒng)越復(fù)雜。K與正Lyapunov指數(shù)有密切關(guān)系。對(duì)于有限維的可微分的映射，

(2.18)即所有正的Lyapunov指數(shù)之和，給出K熵的上限。在實(shí)踐中，式(2.18)中的等式往往成立，它成為所謂Pesin等式第62頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四測(cè)度熵K是刻劃混沌系統(tǒng)的一個(gè)重要量。在不同類(lèi)型的動(dòng)力系統(tǒng)中，K的值不同。因此通過(guò)K的計(jì)算可給出系統(tǒng)的粗略分類(lèi)。不知系統(tǒng)的微分方程時(shí)，K是難以計(jì)算的。由于K是q階Renyi熵的下界且，。因此通常計(jì)算熵作為K的近似。現(xiàn)在介紹從單變量時(shí)間序列計(jì)算的方法。給定一時(shí)間序列，將其嵌入到m維歐氏空間中，得到一個(gè)點(diǎn)（或向量）集J(m)，其元素記作式中是固定時(shí)間間隔，即時(shí)間延遲，是兩次相鄰采樣的間隔，k是整數(shù)

第63頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四從這

個(gè)點(diǎn)中任意選定一個(gè)參考點(diǎn)，計(jì)算其余個(gè)點(diǎn)到

的距離對(duì)所有重復(fù)這一過(guò)程，得到相關(guān)積分函數(shù)

,按的定義得對(duì)于給定的時(shí)間延遲，在無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)給出一個(gè)r，對(duì)m=2,3,，求出，由式(2.11)可求出。當(dāng)其不隨m而改變時(shí)得到，

是使對(duì)m達(dá)到飽和的最小值。在無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)減小r的值，再按上述方法求出

,當(dāng)其不隨r而改變時(shí)的值即可作為的估計(jì)值。

第64頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.4分形分形這個(gè)術(shù)語(yǔ)是Mandelbrot為描述所有尺度上復(fù)雜結(jié)構(gòu)的不規(guī)則、破碎形狀而創(chuàng)造的。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版的三本書(shū)，特別是《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)》、《大自然的分形幾何學(xué)》，把許多人引進(jìn)了分形百花圓。什么是分形？事實(shí)上，目前對(duì)分形還沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的定義。粗略地說(shuō)，分形是對(duì)沒(méi)有特征長(zhǎng)度（所謂特征長(zhǎng)度，是指所考慮的集合對(duì)象所包含有的各種長(zhǎng)度的代表者，例如一個(gè)球，可用它的半徑作為它的特征長(zhǎng)度。）但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的總稱(chēng)。第65頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四大多數(shù)分形在一定的標(biāo)度范圍內(nèi)不斷放大其任何部分，其不規(guī)則程度都是一樣的，這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為比例自相似性；而按照統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)，其任一局部經(jīng)移位、旋轉(zhuǎn)、縮放變換后與其它任意部分相似。這兩個(gè)性質(zhì)揭示了自然界中一切形狀及現(xiàn)象都能以較小或部分的細(xì)節(jié)反映出整體的不規(guī)則性。Mandelbrot最先引入分形（fractal）一詞，意為破碎的，不規(guī)則的，并且曾建議將分形定義為整體與局部在某種意義下的對(duì)稱(chēng)性的集合，或者具有某種意義下的自相似集合[13]。為此，在他的最初論述中曾給出分形的一個(gè)嘗試性的定量刻畫(huà)。定義2.8

如果一個(gè)集合在歐氏空間中的Hausdorff維數(shù)恒大于其拓?fù)渚S數(shù)，即則稱(chēng)該集合為分形集，簡(jiǎn)稱(chēng)分形。第66頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定義2.9

組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形。英國(guó)數(shù)學(xué)家Falconer在其所著《分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用》一書(shū)中認(rèn)為，分形的定義應(yīng)該以生物學(xué)家給出“生命”定義的類(lèi)似方法給出，即不尋求分形的確切簡(jiǎn)明的定義，而是尋求分形的特性。一般地，稱(chēng)集F是分形，即認(rèn)為它具有下述典型的性質(zhì)：1F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)。

2F是不規(guī)則的，以致于不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述。

3F通常有某種自相似的形式，可能是近似的或統(tǒng)計(jì)的。

4F在某種方式下定義的“分形維數(shù)”通常大于它的拓?fù)渚S數(shù)。

5

在大多數(shù)令人感興趣的情況下，F(xiàn)可以以非常簡(jiǎn)單的方式來(lái)定義，可能由迭代產(chǎn)生。第67頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.4.1分形與混沌的關(guān)系

在非線性科學(xué)中，分形與混沌有著不同的起源，但他們又都是非線性方程所描述的非平衡的過(guò)程和結(jié)果，這表明它們有著共同的數(shù)學(xué)祖先——?jiǎng)恿ο到y(tǒng)，奇怪吸引子就是分形集，或者說(shuō)混沌是時(shí)間上的分形，而分形是空間上的混沌。第68頁(yè)，共74頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.4.2構(gòu)造分形圖的逃逸時(shí)間算法動(dòng)力系統(tǒng)：定義2.10

度量空間(X,)上的動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)變換f：XX，記為X,f。X中一點(diǎn)x的軌道是序列。設(shè)(X,)為給定的度量空間，(F(X),h)