場論與數(shù)理方程_第1頁
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場論與數(shù)理方程_第3頁
場論與數(shù)理方程_第4頁
場論與數(shù)理方程_第5頁
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場論與數(shù)理方程第1頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四微分方程常微分方程偏微分方程(其中x表示位置,t表示時(shí)間)(其中x表示大小,n表示方向)第2頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程:用數(shù)學(xué)方法研究物理現(xiàn)象的偏微分方程。經(jīng)典方程 波動(dòng)方程 熱傳導(dǎo)方程 調(diào)和方程第3頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四數(shù)學(xué)物理方程的發(fā)展對流擴(kuò)散方程奇異攝動(dòng)方程彈性力學(xué)第4頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四數(shù)學(xué)物理方程的解法分析解法分離變量法積分變換法古典解行波法數(shù)值解法差分方法有限元數(shù)值解多尺度第5頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程的建立一、弦振動(dòng)方程例1:設(shè)一長為l的均勻柔軟的細(xì)弦,導(dǎo)出弦的微小的橫振動(dòng)方程橫振動(dòng):1.在同一平面內(nèi)振動(dòng)

2.振向與弦向垂直第6頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四

作用于小段的橫向合力應(yīng)該為零:

(1)僅考慮微小的橫振動(dòng),

夾角為很小的量,忽略及其以上的高階小量,則根據(jù)級數(shù)展開式有

第7頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四根據(jù)牛頓第二定律方向運(yùn)動(dòng)的方程可以描述為

(2)第8頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四注意到:故由上圖得這樣,(1)和(2)簡化為(3)(4)第9頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四,弦中張力不隨而變,

可記為

故有

(5)變化量可以取得很小,根據(jù)微分知識有下式成立

(6)因此第10頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四

(7)上式即為弦作微小橫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程,簡稱為弦振動(dòng)方程.

其中討論:(1)若設(shè)弦的重量遠(yuǎn)小于弦的張力,則上式(7)右端的重力加速度項(xiàng)可以忽略.由此得到下列齊次偏微分方程:

(8)

稱式(8)為一維弦振動(dòng)方程(一維波動(dòng)方程)第11頁,共12頁,2023年,2月20日,星期四(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用,則式(2)應(yīng)該改寫為

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