重慶郵電大學矩陣分析報告試題附答案

33分

是數(shù)域上線性空間

V

的線性變換x1

x2

x3

分別為

的三個互不相同的特征值

1

，，的征向量。23（1）證明：x，x，是性無關(guān)的；13（2）證明：

x1

+

x2

+

x3

不是

的特征向量。二（分陣

(

的Smith準形。

三（分矩陣Ai

的準形四（分有正規(guī)矩陣

A0i

，試求酉矩陣U，U為對角陣。

i

五（分

A

。驗證：

N六（分證矩陣

120

02

3i20

為正規(guī)矩陣，并求A的分解。3i2

12七（分

A

31

。計算（1）的譜半徑；（2）

，

，

；1

2

/

kkAm2Bnmm（3）設(shè)

A

n

，證明：

，中A是A的何一種范數(shù)。八（分論下列矩陣冪級數(shù)的斂散性。（1）

k

1k2

，（2）

k

k6k

1

k九（分以下題目中任選一個。（1）設(shè)有矩

A.

試證：

是正定的充要條件，是存在可逆矩陣

使

HQ（2）試證：矩陣

mm相似于矩陣

，其中

n

為非零常數(shù),

m

為任意常數(shù)（3）設(shè)為個階陣且滿足

A

，明：A似于一個對角矩陣。一分、證明）

k+x+kx112

第一套試題案，①用用式①兩端，有

kx+k11

xx222333

=0

②

1

①-②，有

k(2

x(122

x13

③再用作用式③兩端，有

k(2

1

x(223

13

x33

④③-，有2

k(3

13

x23

。由于

1

,2

3

互不相等，

x3

，因此

k3

，將其代入④，有

k2

，利用①，有

k1

。故

x1

，

x2

，x3

是線性無關(guān)的。（2）用反證法。假設(shè)x++x是屬于特征值的征向量，于是有12x)123即)1113(

11

2

23由于

x1

，

x2

，

x3

線性無關(guān)因

13

這

1

,2

3

互不相等矛盾所以，

x1

+

x2

+

x3

不是

/

(2(202(0123的特征向量。二分、解:(

行列因子分D(

D(

D(

(

3，不變因子分別為(

d(

d(

2，

于是A(

Smith標形為

.三分、解:

1

0

陣為:

(

，

0

故約當標準形為01。四12、解：令

1解齊次方程組

得基礎(chǔ)解2i1解齊次方程組解齊次方程組

礎(chǔ)解系02基礎(chǔ)解系3

i于，將單位化得123123=1

1ii，=10，p=3

i

/

3030i1i1令1

p2

p分)，則U3

H

1五10、解：

(1)解齊次方程組得礎(chǔ)解系)

；

又R

323

H

103

顯Nij的子空間(2)QN。且dim故

dim

,六12、解由

A

H

，以A102

是規(guī)陣3i2由

A

03i2

0

012

2(

得A的特征值為1

3

。屬特值

1

的交位征量

(0,1,0),1

2

i)2

屬于

3

的位征量

3

i)

。因的正投矩為122

1ii0022010；G3022所以

的分為

1/

ii七14、解：的特征多項為f(，征值為55。12（1）A的譜半徑為

A。（2）容易計算的—范數(shù)2；的—范數(shù)為

2；因為A

H

iA則H特征多式為(

，所以H特征為(AHA，(AHA)，A—范數(shù)為1。（3）證明：A特征值，對應(yīng)的征向量為則A兩邊取數(shù)，得

0。A

，從范數(shù)相容性，得AA因為

，則

，這

A。由于上對任意的特值都成，故

()

A。八12、論列陣級的散。解）設(shè)則A特征值為

1

i，

2

3i，從而的譜半徑為

(A2/

kkkk因為冪數(shù)kk

k

的收斂徑為，則A，從而

k

1k2

7是發(fā)的。（2）

1

則A的特征值

，

，從而的半徑為

(A5。因為冪數(shù)

k

kk

x的收斂半為R6則A故

k

k6k

1

絕對收斂的九10、以題中選個（4）證：必要性：設(shè)AH，則xxn,xHHHQx這Q逆；A定。充分性：因為是Hermite矩，所以是規(guī)矩陣，因此存在酉矩陣U使U

H

其中A的特征值正定，所以

1

都大于0；因此A

1

O

1

O

,令Q

1

O

H

n

n

n

則

HQ.

（）:

0,

0

,顯然

B

的行列式因子為:的行列式因子為:

11

22

33

33

，，/

于是

與

具有相同的行列式因,從

A相似。（3）證：設(shè)是A的意一個特征值，

是A的于特征值特征向量，即

Ax

x

，那么由(A

2

A)x，可得

，是的征值為和注意到

AEE)(E

所以

AErank(E

另一方面，rank(AE)(E)rank(E)rankE)rankAEE)rank()所以，

()rank)

。設(shè)

rank(E)，rA)