組合優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

組合【學(xué)標(biāo)．理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式；．能正確認(rèn)識(shí)組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別。【學(xué)難】教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式【課型新授課【時(shí)排1課時(shí)【學(xué)備多媒體、實(shí)物投影儀【容析排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān)。與順序有關(guān)的是排列問題順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要。排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系。指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序。教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會(huì)貫通。能列舉出某種方法時(shí)，讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒別。學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列。在求解排列、組合問題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題。排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述。也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程。據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法解決這個(gè)問題，需要師生一道在分析問題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說明問題。久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高。【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入：1．分類計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中

種不同的方法，在第二類辦法中mN成這件事共有1

種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同的方法n

m

種不同的方法那么完2分步計(jì)數(shù)原理做一件事情完成它需要分成n個(gè)步驟做第一步m

種不同的方法，做第二步有

種不同的方法，……，做第n步有

m

種不同的方法，那么完成這件事有N1

種不同的方法3排列的概念n個(gè)不同元素中任（

個(gè)元（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做n個(gè)不同元素中取元素的一個(gè)排列4．排列數(shù)的定義：n個(gè)不同元素中，任取m

）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從

n個(gè)元素中取出

m

元素的排列數(shù)，用符號(hào)

表示5．排列數(shù)公式：An

(n2)(n

m,）6．階乘!

表示正整數(shù)1的連乘積，叫n的階乘規(guī)0!。7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：A

=

n!()!8．提出問題：示例1：從甲、乙、丙名同學(xué)中選出2去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列示例只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的引出課題：組合。二、講解新課1．組合的概念：一般地，n個(gè)不同元素中取出同元素中取m個(gè)元素的一個(gè)組合

m

個(gè)元素并成一組，叫做n個(gè)不說明）不同元素取不排”——無序性）相同組合：元素相同2組合數(shù)的概念不同元素中取出

m

個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做n個(gè)n10n10不同元素中取m個(gè)元素的組合數(shù)。用符Cm表示。n3．組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不同元a,d

中取出3個(gè)元素的組合

是多少呢？啟發(fā)于排列是先組合再排列4不同元素中取出3元素的排列數(shù)故我們可以考察一3和A3關(guān)系，如下：

可以求得，組合

排列abcabd

abcbac,abdbad,cad,,,

,,dac,dbc

acbbca,cbaadbbdaadc,cda,bdccdb,由此可知，每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)分如下兩步慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合3個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各種方法。由分步計(jì)數(shù)原理得：344

33

，所以C4。（2）推廣：一般地，求從不同元素中取出m個(gè)元素的排列mn

，可以分如下兩步：①先求從n不同元素中取出m個(gè)元素的組合C

；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)Amm

，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：mCmnm（3）組合數(shù)的公式：

。Cm

(n(!

或

!m!(n)!

n

,且n)三、講解范例：例1．計(jì)算

4；（2C77

；（1）解：

47

74!

＝35；（2）解法1C10

107!

＝120.10!10解法2C7!3!3!

＝120.例2．求證

。2121證明：∵

n

!m!(n)!

mn!n(mn＝＝

m!(m()(n1)!n!!()!C例3．設(shè)x,

x2x

2xx

的值解：由題意可得：

2x3x2

，解，∵

xN

，∴或x或x當(dāng)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為7；時(shí)原式值為11．∴所求值為4或7或11．例4）6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得本，有多少種不同的分法？解

26

24

22

。（2從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出4名學(xué)生參加一次會(huì)議要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：問題可以分成2類：第一類2名男生和2名女生參加，C第二類3名男生和1名女生參加，C

25

CC

24

6040

中選法；中選法依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有100種選法錯(cuò)解C

C

C

種選法引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多例54名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組問組成方法共有多少種？解法一接法小組構(gòu)成有三種情形3男2男1女1男2女分別3，

，C

14

26

，所以，一共C

+

C

24

16

+

C

14

26

＝100種方法。解法二間接法

310

36

四、課堂練習(xí)：1．判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺(tái)賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為（）．B

C7

D63．如果把兩條異面直線看作“一對(duì)在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（）．15對(duì)

25對(duì)

C對(duì)

D對(duì)4設(shè)全集

、U的子集，若A有個(gè)元，B2個(gè)元素，且B、，則本題的解的個(gè)數(shù)為（）．B

C7

D5．位候選人中選人別擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記，有

種不同的選法6．位同學(xué)中選人參加座談會(huì)，有7．圓上有10個(gè)點(diǎn)：

種不同的選法（1）過每2個(gè)點(diǎn)畫一條弦，一共可畫

條弦；（2）過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫

個(gè)圓內(nèi)接三角形8）凸五邊形有

條對(duì)角線）凸

五邊形有

條對(duì)角線9．計(jì)算CC15

36

8

。10.

,,C,,5足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽1）共需比賽多少場？（2）若各隊(duì)的得分互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任4點(diǎn)不共面）3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè)平面？（2）以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13．寫出從

,,d,e

元素中每次取個(gè)的所有不同的組合答案：1．（1）組合，（2）排列2．B3．A4．D5．306157．（1）45（2）1208．（1）5（2）

(n3)29．（1）455；（2）

2