正項級數(shù)收斂性

nlnnnlnn正項級數(shù)收斂性真正反映思維過程的文章，比八股式論文要和諧可親得多，而且對思維訓練更有幫助，可惜，這種文章只能藏在文庫中。作感言n

1na．a散．a斂．．

aa

發(fā)散收斂alim[nlngnan(lnnlnnln1n

aa

lna

ln

lna

lnn

現(xiàn)在開始討論正項級數(shù)的收斂性面寫得很亂的東西有清掉它為它是問題的核心，記錄著思維的真實，保持原樣挺美的。

a

n

（

n

）被稱為正項級數(shù)，這個定義有點狹隘，因為級數(shù)的收斂性不受去掉或增加n有限項的影響只要從某項開始面全部項都是

n

就夠看成正項級數(shù)了數(shù)列

a

寫成函數(shù)形式

f(n)n

可以拓展解決問題的視野，比如

f(n

的收斂性和

f(x)

的收斂性，有著極為密切的關系，假定

fx

na很多時候，收斂性是相同的，比如單調的時候不調也不怕因級數(shù)和義積分的收斂都與前面有限部分的情況沒什么關系值點是單調性改變的地方，如果只有有限個極值點，在右邊足夠遠的區(qū)間里，函數(shù)必然單調，而這足夠肯定兩收斂性相同只要有限個極值點，很多時候這已經夠用了。如果是無窮個極值點也是沒有作為，只存在經過極少值點的函數(shù)過大值點的函數(shù)，且這兩個函數(shù)只有有限個極值點，對這兩個函數(shù)進行類似討論能決絕大部分問題當，如果這兩個函數(shù)無論走多遠都相距很遠能我們的幫助就非常有限不過沒有必要為此擔心初等函數(shù)中只要不是周期數(shù)足夠遠的區(qū)間里可以當作是單調的也就是說，上面所說的級數(shù)和廣義積分收斂性是相同的積分可以求原函數(shù)手比級數(shù)靈活，借廣義積分研究級數(shù)收斂性是極為重要的渠道原始的級數(shù)收斂性非得借助廣義積分不可。比如

-級數(shù)

n

1n

，其實就是通項為冪函數(shù)的級數(shù)，其收斂性完全清楚，另一個完全清楚的級數(shù)是等比級數(shù)

a

n

實是通項為指數(shù)函數(shù)的級數(shù)兩個最基本的級數(shù)。n后面演繹的常見判斂方法，都與這兩者有關。比如，常見的比值盼斂，根值判斂，本質上是用等比級數(shù)作參照的比數(shù)斂或發(fā)散很快判級數(shù)范圍并不大貝斂是以

-級數(shù)作參照得出的，由于

-級數(shù)斂或發(fā)散比等比級數(shù)要慢，因而可判的級數(shù)范圍要廣很多。有沒有比

-級數(shù)還要遲鈍的級數(shù)？當然有，如

n

1nln

，高斯判斂就是以這個級數(shù)作參照的。不過，無論哪種極限判別，都有判據(jù)為時所作為的遺憾。正項級數(shù)的方便之處在于級數(shù)的收斂性等價于其部分和數(shù)列的有界性準確說是否有上界因其部分和數(shù)列是單調遞增的由于這個原因若

n

則

n

的部分和有上界，必可得到

a

的部分和有上界，故收斂是小看大，大的收斂，小的一定收斂。這個命題的等價命題是：發(fā)散大看小，小的發(fā)散，大的必然發(fā)散。這種通過不等式比較兩個數(shù)列，從而得出收斂性判定，很基礎，但不方便，因為不等式的放縮不是件容易的事情。用極限比較是個不錯的主意為極限雖然是一個數(shù)這個數(shù)和數(shù)列某項以后的無窮項有著很好的大小關聯(lián)性，而級數(shù)收斂性則只與某項以后無窮項有關。bnnbnnal）據(jù)極限定義，有nn

a,Nbn即

N:(l

baln

)bn如果

l

，由于

的任意性，選取

使得

l

為正沒有任何問題。若

bn

發(fā)散，nl

lnn

n

的左邊不等式說明

a

n

，若

bn

收斂，其右邊不等式則說明n

a

n

收斂。這個兩邊夾不等式，確保

a

n

，

bn

收斂性相同。當

l

，這個兩邊夾不n

n

n等式的左邊失靈了，因為所有項非正，不過右邊不等式仍然可用，即可以n

bn

收斂判斷

a

n

收斂，但無法由

bn

發(fā)散判斷

a

n

發(fā)散。n

n

n這個極限比較判斂，需要知道其中一個的收斂性，當l時可以肯定另個有同樣的收斂性，但l時只可由

bn

收斂判斷

a

n

收斂，或者由

a

n

發(fā)散判斷

bn

發(fā)散。nnl剛顛倒。a有時候l存在，也不是只要limn

存在，這相當于

n

n

0,N:lbaln

)n故

an與nbnb

判定方法完全一樣，但前者有更好的適應性。這種事先要知道一個級數(shù)的收斂性的要求還是有點不方便，如何找那個事先知道的級數(shù)？能否通過數(shù)列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后兩項相比什么消息？還是用極限方法：

annn

，由極限定義，得mmmannanmmmannan

a,Nan變成

0,N:(l

an

n

l

a

n這不會提供任何有效信息，因為任何一邊都是未知的。由極限定義得到

aN:lnan先假設

l

，適當選取

可保

l

，不等式取對數(shù)：l

n

lnln

再取和：

ln(l

)

(ln

n

)n

ln(l

)n

n

n即

la

m

lna

N

l故

ml

lna

N

a

ml

ln

N取指數(shù)：

a

N

(l

)

m)

m

a

N

(l

)

m)當

變化時，上面不等式兩端都等數(shù)，其級數(shù)的收斂性完全由公比確定，

a

m

的收斂性完全由兩端的等比級數(shù)確定任性

0

則可以確保

0

l

。若l，可以確保

l

l

。根l，分得出

a

n

收斂和發(fā)n散。當l時，這個方法失效，無從給出判定。當l時，不等式a

N

(l)

a

N

(l)右半部分還是可用的，而這足夠了，選定

l

，可以確定

a

n

收斂。于是有

n

nn，0收斂，若l發(fā)散。l，確定。an在這里

annn

可以替換成

ann

，結論一樣。不過適用性更廣。知道這個

l

的實質是等比數(shù)列的公比是有價值的。這個判別方法不過是用等比級數(shù)作標準判斷級數(shù)的收斂性，能判的范圍很有局限性，比如

l

的時候，就不靈了。mmmmmmmmmmmmmm根值法

limn

n

n

和比值法雖然計算上有點區(qū)別，但實質仍然是以等比級數(shù)作標準判斷收斂性而結論完全一樣過據(jù)不同表達式采用不同判別法計上會有各自的特點。當

annn

時，咋辦？一般說來，想比不如相減方便，故

annn

可等價寫成lnn

anan

了后面表述上的一致性更主要用

aln示nnannn

。這樣提問，也許能幫我們引向問題的解決：我們需要什么樣的一個函數(shù)

(n)，使得limn

an,)an

，而根據(jù)

l

的范圍，便可給出的斂性判定？還是nn

n

(ln

an,)an

本身尋找答案，其極限定義為

N:|

a(lnn,)an即

N:l

an,nan求解

n)

的反函數(shù)，我們假設它仍能維持不等式的兩邊夾，于是l

a,)lnnan

,n即

(l

,n)lnn

n

l

,n)取和：

l

,n

(lnlna)nn

l

,)n

n

n即

l

,na

N

ln

m

l

,)n

nlna

N

(lln

N

l)n

nmme

lna

(l

m

lna

(l顯然，

a

n

的收斂性由

e

lna

(l

,

ln

(l

的級數(shù)收斂性確定討收斂性n常數(shù)

a

N

可以不作考慮，于是，只要討論

e

(l

,

,

(l

,n)

的級數(shù)收斂性即可。這兩個級數(shù)只是

l

l

，我們暫時抹掉這種差異，用l代這兩者，于是，我們關注

l,n)

究竟是什么？可以充當級數(shù)收斂性的判定標準？目前我們只能用等比級數(shù)作標準，能用p-級數(shù)

n

1n

嗎？也就是e

ln)

1ml

（為了左右一致，將換成l，成）即

e

ln)

1m

m于是

l,n)lnmn考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設

l,n)dnm對求，得到于是

(lm)

lalnnn即

ln

anana|lnanannmannm故

limn

anan

,n

可選為

a1lnl為p級數(shù)的napnn

值l

l

都可保持大于，ll以保持和l同的范圍，故這兩情況，

a

n

的收斂性n和

-級數(shù)

nn

的收斂性判定完全相同

l

時候l

肯定無法保持為1nlnn，l時，收，當l時，發(fā)，l，確定。nannn在

alnnnan

的情況下，

alnnan

aan，limlnnan

可換成(n

anan除了用

-級數(shù)

nn

作標準，還可以用別的嗎？可以，柯西選擇了級數(shù)

n

1nl即

e

ln)

1

l

m

lnlnm于是

l)lnn考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設

(l,n)lnlnmm對

求導，得到

(l,m)

llnm于是(

ll)lnn)nlnnnn即

n

an)lnan1an1ana|(nlnlnan故

n

(ln

an)an

可選為

lim(lnn

anan

中l(wèi)的參數(shù)l，nlnl

都可保持大于，l

，l

同樣可以保持和

l

同樣的范圍故這兩種情況，

a

n

的n收斂性和級數(shù)

n

1nl

的收斂性判定完全吻合，可l候，l法持為。lim(nlnn，當l時收，當l時nn

a

n

發(fā)散。在

alnnnan

的情況下，

alnnan

anan

，故

alim(nlnnnn

可換成alim(nn1)lnnnan這是因為

alim(nlnnnan

等價于a(nln)()aal11lnn()alnnlnnannanal1()alnnnlnna(n1)ln(1)ann

an1)lnnanmannmann對于最初知道的比值判斂法，其實也可以按照上面的方式尋找到，即用等比級數(shù)

l

n

作標n準。

)

lnl于是

l,)ln考慮到級數(shù)和廣義積分收斂性相同，我們更愿意假設

(l)lnl對

求導，得到

(l,)