廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)第8周周測(cè)試題及參考答案

東莞四中高三數(shù)學(xué)周測(cè)試題（第8周）一、單選題1.若集合，，滿足：，則（）A. B. C. D.2.設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則“點(diǎn)在第四象限”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.既不充分也不必要條件 D.充要條件3.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.函數(shù)的最小正周期不可能是（）A. B. C. D.5.過拋物線的焦點(diǎn)作直線l，l交C于M，N兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則（）A.10 B.9 C.8 D.76.甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者.則甲不在A小區(qū)的概率為(

)A.193243 B.100243 C.23 7.函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（）A. B. C. D.或8.雙曲線的下焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若過A，B和點(diǎn)的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）A. B. C. D.二、多選題9．已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與不垂直的是（

）A． B． C． D．10.記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（）A. B. C. D.11.已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為8C.最大值為 D.沒有最大值12．已知函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，；且對(duì)任意且，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．是周期函數(shù) D．在上單調(diào)遞減三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間中三點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離為__________．14.以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列數(shù)據(jù)：甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則__________．15.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)__________．①若，則；②；③在上單調(diào)遞減．正方體的棱長(zhǎng)為2，O為底面ABCD的中心．P為線段的中點(diǎn)，則過A，P，O三點(diǎn)的平面截此正方體外接球所得的截面的面積為.四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知正項(xiàng)數(shù)列前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前50項(xiàng)和．18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）已知，求的面積．19.如圖，在直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，且平面．（1）求的長(zhǎng)；（2）若，求二面角的余弦值．20.在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為2層，第1層和第2層抽取的樣本量分別.第1層和第2層的平均值分別為，樣本總平均值為.第1層和第2層的方差分別為，樣本總方差為.我們可以證明.（1）在對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了40名男生和60名女生，得到男生身高的平均數(shù)為172.3，方差為12.31.女生身高的平均數(shù)為161.8，方差為37.36.求該樣本的總方差。用表示第1層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值，用表示第2層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值.（）求證：；（）證明公式成立（提示：）Ⅰ21.已知橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)為．（1）求的方程；（2）如圖，過的上頂點(diǎn)作動(dòng)圓的切線分別交于兩點(diǎn)，是否存在圓使得是以為斜邊的直角三角形？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請(qǐng)說明理由．22.已知函數(shù)．（1）討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，證明：．參考答案1.B2.A3.D4.C5.C6.C7.B8.B9．ABC10.AB11.AC12.ACD1.【詳解】由集合，，滿足：，，如圖所示：，，3.解：易知，，，所以.4.解：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)A可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)B可能；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，最小正周期為，故選項(xiàng)D可能；5.解：由拋物線方程知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，，則，解得，則，6.解：先計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，

5人被分為3，1，1或2，2，1，

當(dāng)5個(gè)人被分為3，1，1時(shí)，情況數(shù)為C53×A33=60，

當(dāng)5個(gè)人被分為2，2，1時(shí)，情況數(shù)為C51×C42A22×A33=90，∴共有60+90=150．

∵所求甲不去A，情況數(shù)多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3，1，1時(shí)，且甲去A，甲若為1，則C43×A22=8，

甲若為3，則C42×A22=12，

共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2，2所以，得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,即，得.因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,得.所以，且，，解得，.故.8.解：由題意可知：，設(shè)，，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，則，由題意知：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元可得：，則，，由韋達(dá)定理可得：，，所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)，則，由圓的性質(zhì)可知：圓心與弦中點(diǎn)連線的斜率垂直于弦所在的直線，所以，整理可得：（*），則圓心到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式可得：，由垂徑定理可得：，也即，將（*）代入可得：，即，整理可得：，則，因?yàn)?，所以，則，故選：.10.解：由題意可得：等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，即，對(duì)A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對(duì)B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；對(duì)C：∵，則有：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯(cuò)誤；11.解：因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且，所以.所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為，故C正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.所以有最大值，故D錯(cuò)誤.12.解:對(duì)于A，令，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由，得，所以，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，則，則，即，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，令，則，則，所以，，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.14.10015.（答案不唯一）16.14.解：因?yàn)?，甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù)，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，根據(jù)題意得，得，故15.解:比如，，故，又，也即成立，又在上單調(diào)遞減．故答案可為：.16.取的中點(diǎn)，因?yàn)镻為線段中點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，所以，又，所以，故過A，P，O三點(diǎn)的平面為平面，取的中點(diǎn)，過作，垂足為，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，過球心作，則平面，所以正方體的外接球的球心到截面的距離為的長(zhǎng)，又，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以故截面圓的半徑為，所以截面圓的面積17.（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，解得，由，當(dāng)時(shí)，有，作差得：，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，，又，同時(shí)，所以所以．所以的前50項(xiàng)和為2150．18.（1）已知，代入余弦定理，，化簡(jiǎn)得：，所以．（2）由正弦定理知即，又，故，即，得，故（舍），此時(shí)，，，則的面積.19.（1）∵面，又面，∴，又∵F為的中點(diǎn)，∴，又在、中，，易證得，故．，，又，，故．（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，則，不妨設(shè)是平面的一個(gè)法向量，那么，即，令，則．又面，故是平面的一個(gè)法向量．設(shè)為二面角所成平面角，則，即二面角的余弦值為．（1）由已知高三年級(jí)學(xué)生身高總平均數(shù)為，所以（2）（3）==21.（1）由題意設(shè)焦距為，則，由離心率為，所以，則，的方程為．（2）不存在，證明如下：假設(shè)存在圓滿足題意，當(dāng)圓過原點(diǎn)時(shí)，直線與軸重合，直線的斜率為0，不合題意．依題意不妨設(shè)為：，：，，，圓的半徑為，則圓心到直線的距離為，即是關(guān)于的方程的兩異根，此時(shí)，再聯(lián)立直線與橢圓方程得，所以，即，得所以，同理由，得，由題意，，即，此時(shí)，所以，因?yàn)椋苑匠虩o解，命題得證．22.（1）已知，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增減，在上單調(diào)遞增，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上無極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，顯然，則在上有一個(gè)極值點(diǎn)，又，令，故在上單調(diào)遞