最優(yōu)化方法練習(xí)題答案修改建議版本-刪減版

12311231213131231123121313234i4561、建立化模型應(yīng)考慮哪些要素答：決策變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。2、討論化模型最優(yōu)解的存在性、迭代算法的收斂性及停止準(zhǔn)則。minf(x)答：針對(duì)一般優(yōu)化模s

gihj

討論解的可行D假設(shè)存在一點(diǎn)X*，對(duì)D均有fX*)(X)則稱(chēng)*為優(yōu)化模型最優(yōu)解，最優(yōu)解存在；迭代算法的收斂性是指迭代所得到的序列

,

,

(K)

，滿(mǎn)足f(X

(K

(

(K)

，迭代法收斂；收斂的停止準(zhǔn)則有

(k()

，

x

(x

()

(k)

，

(k)

，

f

(f

(k)

，

()

等等。練習(xí)題二1、某公看中了例中廠(chǎng)家所擁有的3種資源R、R、和R，欲出價(jià)收購(gòu)〔可能用于生產(chǎn)附加值更高的產(chǎn)品如果你是該公司的決策者，對(duì)這3種資源的收購(gòu)報(bào)價(jià)是多少？〔該問(wèn)題稱(chēng)為例的對(duì)偶問(wèn)題解：確定決變量確定目函數(shù)確定約條件

對(duì)3資源報(bào)價(jià)yy作為本問(wèn)題的決策變量。123問(wèn)題的目標(biāo)很清楚——“收購(gòu)價(jià)最小資源的報(bào)價(jià)至少應(yīng)該高于原生產(chǎn)產(chǎn)品的利潤(rùn)，這樣原廠(chǎng)家才可能賣(mài)。因此有如下線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題minwy10015013yy13syyy12y1*2、研究線(xiàn)性規(guī)劃的對(duì)偶理論和方法〔包括對(duì)偶規(guī)劃模型形式、對(duì)偶理論和對(duì)偶單純形法答：略。3、用單形法求解以下線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：min

xxx

minx〔1〕

t.

xxxxxxx

；〔2〕

st

xx2xx2xxx0(i1,2,,5)解1〕引入松弛變x，，x

jBjj2224jBjj3335jBjjj14523ijminzxjBjj2224jBjj3335jBjjj14523ij1st

xx=212x5=3136=4xx3,4,x5,x000

→基-

b234

1121

[1]10

1111

01000

00100

00010因檢驗(yàn)數(shù)，故確定x為換入非基變量，以x的系數(shù)列的正分量對(duì)應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對(duì)應(yīng)的基變量作為換出的基變量。00

→基-

b214

1112

1000

1[3]1

0101

00100

00010因檢驗(yàn)數(shù)，故確定x為換入非基變量，以x的系數(shù)列的正分量對(duì)應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對(duì)應(yīng)的基變量作為換出的基變量。10

→基-

b8/31/311/3

15/31/37/3

1000

10103

01/31/32/3

02/31/31/3

00010因檢驗(yàn)數(shù)σ>0，說(shuō)明已求得最優(yōu)解：X*(0,8/3,1/去除添加的松弛變量，原問(wèn)題的最優(yōu)解為：*(0,8/?！?〕根據(jù)題意選，，x，為基變量：minxst

x2xx2xxx

x0(i

,5)

0-110

Bjj2224jBjj3315jBjjj121Bjj2224jBjj3315jBjjj1213ijijijij000

基

b225

1000

[1]1

111

0100

0010因檢驗(yàn)數(shù)σ<0最小，故確定為換入非基變量，以的系數(shù)列的正分量對(duì)應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對(duì)應(yīng)的基變量作為換出的基變量。00

基

b623

01000

0100

1[3]

0211

00010因檢驗(yàn)數(shù)σ<0最小，故確定為換入非基變量，以的系數(shù)列的正分量對(duì)應(yīng)去除常數(shù)列，最小比值所在行對(duì)應(yīng)的基變量作為換出的基變量。01

基

b941

01000

0100

10010

011/32/3

012/31/31/3因檢驗(yàn)數(shù)σ>0，說(shuō)明已求得最優(yōu)解：X

*

4,1,0,0)。8、某地有AB三個(gè)化肥廠(chǎng)，供給本地甲、乙、丙、丁四個(gè)產(chǎn)糧區(qū)。已知各化肥廠(chǎng)可供給化肥的數(shù)量和各產(chǎn)糧區(qū)對(duì)化肥的需要量，以及各廠(chǎng)到各區(qū)每噸化肥的運(yùn)價(jià)如表所示。試制定一個(gè)使總運(yùn)費(fèi)最少的化肥調(diào)撥方案。1運(yùn)價(jià)/

產(chǎn)糧區(qū)

(元/噸)

甲

乙

丙

丁

各廠(chǎng)供給量/萬(wàn)噸化肥廠(chǎng)AAA各區(qū)需要量/萬(wàn)噸

5486

8946

71023

3793

783解：設(shè)A、、C三個(gè)化肥廠(chǎng)為A、A、A，甲、乙、丙、丁四個(gè)產(chǎn)糧區(qū)為、B、B、B；c為由A運(yùn)化肥至B的運(yùn)價(jià)，單位是元；x為由A運(yùn)往B的化肥數(shù)量〔〕單位

ij是噸；z表示總運(yùn)費(fèi)，單位為元，依題意問(wèn)題的數(shù)學(xué)模ijminz

3ij

cijijst

21x122232233324x1112132324x32該題可以用單純形法或matlab自帶工具箱命令〔linprog〕求解。*9求解以下不平衡運(yùn)輸問(wèn)題〔各數(shù)據(jù)表中，方框內(nèi)的數(shù)字為單位價(jià)格，框外右側(cè)的一列數(shù)為各發(fā)點(diǎn)的供給ai，底下一行數(shù)是各收點(diǎn)的需求j〔1〕5171064803215752050

要求收點(diǎn)3需求必須正好滿(mǎn)足?！?〕

5132107515961551015

要求收點(diǎn)1需求必須由發(fā)點(diǎn)4給。解答略。練習(xí)題三1

(t)

t的近似最優(yōu)解，已t)

t的單谷區(qū)間要求最后區(qū)間精

答：；最小值-〔調(diào)用golds.m數(shù)〕2、求無(wú)約非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

12312302)112)2112312302)112)21111231

4

22

x3

x1的最優(yōu)解解一：極值存在的必要條件求出穩(wěn)定點(diǎn)：1

x，，，則x得x，x，02再用充分條件進(jìn)行檢驗(yàn)：f1

ff，，2

ff123

0f080為正定矩陣得極小點(diǎn)x*(1,0,0)

，最優(yōu)值為-1。解二：標(biāo)函數(shù)改寫(xiě)成minfxx)=x13

易知最優(yōu)解為〔最優(yōu)值為-13、用最下降法求解無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。(x2121其中Xx,T，給定初始點(diǎn)XT。1

21解一：標(biāo)函數(shù)f(x梯(x)

12

X)令搜索方向(1))再?gòu)腦(0)出發(fā)，d方向作一維尋優(yōu)，令步長(zhǎng)變量

，最優(yōu)步長(zhǎng)，則有X

(0)

(1)

故fx)(

(0)

(1)

)

2

1

(0可(0)(1)111

求出點(diǎn)之后，與上類(lèi)似地，進(jìn)行第二次迭代(

(1)

)(2)X)令步長(zhǎng)變量

，最優(yōu)步長(zhǎng)

，則有

11.2X

故

f)f(

(1)

(2)

)

2(

2(

2

令(2

可得

X

(2)

X

(1)

2

(2)

(X)

0.2

此時(shí)所到達(dá)的精度((2))此題最優(yōu)解

，

練習(xí)題四1、石油送管道鋪設(shè)最優(yōu)方案的選擇問(wèn)題：考察網(wǎng)絡(luò)圖，設(shè)A為出發(fā)地，為目的地，，C，D，分別為四個(gè)必須建立油泵加壓站的地區(qū)。圖中的線(xiàn)段表示管道可鋪設(shè)的位置，線(xiàn)段旁的數(shù)字表示鋪設(shè)這些管線(xiàn)所需的費(fèi)用。問(wèn)如何鋪設(shè)管道才能使總費(fèi)用最??？1解：第五階段：E1—4；E2—F3；第四階段：D1——F；D2—E2—F5—E1—F5；第三階段—D1——F12C2———10C3—D2——；D3——F；第二階段：B1—D2—E2—F13；——E2—F15第一階段：A—B1—C2———17；最優(yōu)解：A—C2—D2—E2—最優(yōu)值：172、用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解非線(xiàn)性規(guī)劃f(x)xx12

x27123x1

解：x9,，最13、用動(dòng)規(guī)劃方法求解非線(xiàn)性規(guī)劃maxx11xx11,1解：用順序算法階段：分成兩個(gè)階段，且階段1、分別對(duì),。1決策變量：x,1狀態(tài)變量vw分別為第j階段第一、第二約束條件可供分配的右段數(shù)值。iif*

(vw)max{7

x}

v,721

w}x*min{v}111f*(v,w)x222

f*

(vx,)}22x

)

vx),7(wx)22

)}}2由vw，f*(vw)*(10,9)max{min{33x2x760,68x23962222220可解的x，最優(yōu)值為。124設(shè)四個(gè)城市之間的公路網(wǎng)如圖兩點(diǎn)連線(xiàn)旁的數(shù)字表示兩地間的距離使用迭代法求各地到城市4的最短路線(xiàn)及相的最短距離。

2城市公路解：城市1到城市4線(xiàn)——1-3-4距離10；城市2城市4線(xiàn)——2-4距離8城市3城市路線(xiàn)——3-4距離45某公司打算在3不同的地區(qū)設(shè)置4個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)根據(jù)市場(chǎng)部門(mén)估計(jì)在不同地區(qū)設(shè)置不同數(shù)量的銷(xiāo)售點(diǎn)每月可得到的利潤(rùn)如表4-19所示。試問(wèn)在各地區(qū)如何設(shè)置銷(xiāo)售點(diǎn)可使每月總利潤(rùn)最大。

kkkk1kkkkkk1kkkkkkk地

1銷(xiāo)售點(diǎn)區(qū)

解：將問(wèn)題分為3階段，k=12，3；決策變量x表示分配給第k地區(qū)的銷(xiāo)售點(diǎn)數(shù)；狀態(tài)變量為s表示分配給第k個(gè)至第個(gè)地區(qū)的銷(xiāo)售點(diǎn)總數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：s=－x，其中=4；允許決策集合：D〔s〕=｛x|0≤≤｝階段指標(biāo)函數(shù)：g〔〕表示x個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)分配給第k地區(qū)所獲得的利潤(rùn)；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)f〔表示將數(shù)量為的銷(xiāo)售點(diǎn)分配給第k個(gè)至第3地區(qū)所得到的最大利潤(rùn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程為：

f()[g()f(s)]kf()4

kk時(shí)，f(s)g(x)]330

1

g（x323

f()3

3

*01

0

10

01012

14

14

23

16

16

34

17

17

4k時(shí)，f(s)[()f()]22

***1231k1k，kkk***1231k1k，kkkkk2f(sx)=0.005+s544424444401

000+10

g(fs)21312+0

f(s)012

x*01234

0+140+1617+1021+00+1712+1622+0

222731

122,3k時(shí)，f(s)g(x)f(s)]，f(s())]1112210最優(yōu)解為：x，x，x，f(4)=47即在第個(gè)地區(qū)設(shè)置2個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)，第2個(gè)地區(qū)設(shè)置1個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)，第3地區(qū)設(shè)置1個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)，每月可獲利潤(rùn)。6、設(shè)某計(jì)劃全年生產(chǎn)某種產(chǎn)A。其四個(gè)季度的訂貨量分別600斤700斤，500斤和1200斤。已知生產(chǎn)產(chǎn)品A的生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)品的平方成正比，系數(shù)為廠(chǎng)內(nèi)有倉(cāng)庫(kù)可存放產(chǎn)品，存儲(chǔ)費(fèi)為每公斤每季度1。求最正確的生產(chǎn)安排使年總成本最小。解：四個(gè)季度為四個(gè)階段，采用階段編號(hào)與季度順序一致。設(shè)s為第k季初的庫(kù)存量，則邊界條件為ss=0設(shè)x為第k的生產(chǎn)量，設(shè)y為第的訂貨量；xy都取實(shí)數(shù)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為s=sx-y仍采用反向遞推，但注意階段編號(hào)是正向的目標(biāo)函數(shù)為：f()min1,,

4i

x)ii第一步：(第四季度)總效果

44由邊界條件有：–y，解得：x*=1200–將x*入f()得：

4f*(s)=0.005(1200–s)+=7200–

2

2333444333222233323334443332222333222221112221111123344111

f(sxx+s+*()將s=–代入

f

(x)得：f(s)0.0052333

7200x500)30.005(3

2xxs3333(s)3s3

3解得

800s,33

代入(s,)得333f

3

()7550ss233第三步：(第二、三、四季度)總效果f(sxs+f*()將s=代入

f(sx)得：f(,x)0.005x2x222220.0025(x700)22(x)2220.015x0.005(s2

x2

700s2

入f(,x)得22f

2

(s)10000(0.005s2

22第四步：(第一、二、三、四季度)總效果f(sxs+f*()將s=––

代入

f

(sx)得：f(sx)11

100001(0.00521(s)113)1

x1

入f(,x)得11f)1180012由此回溯：得最優(yōu)生產(chǎn)–庫(kù)存方案x，s*=0；x，s*=0；x*=800，s*=300；x*=900。7、某種器可在高低兩種不同的負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)。設(shè)機(jī)器在高負(fù)荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為g=8u，其中為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，年完好率a；在低負(fù)荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)為=5y，其中為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，年完好率為。假定開(kāi)始生產(chǎn)時(shí)完好機(jī)器的數(shù)量試問(wèn)每年如何安排機(jī)器在

kkkkkkkk5kkk555高、低負(fù)荷下的生產(chǎn)，使在5年內(nèi)生產(chǎn)kkkkkkkk5kkk555解：構(gòu)造這個(gè)問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型：設(shè)階段序數(shù)k表示年度。狀態(tài)變量s為第k年度初擁有的完好機(jī)器數(shù)量，同時(shí)也是第k?1年度末時(shí)的完好器數(shù)量。決策變量為第k度中分配高負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，于是?u為該年度中分配在低負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量。這里s和均取連續(xù)變量它們的非整數(shù)值可以這樣理解如就表示一臺(tái)機(jī)器在k年度中正常工作時(shí)間只占；u，就表示一臺(tái)機(jī)器在該年度只有3/10的時(shí)間能在高負(fù)荷下工作。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為s

k

aus0.70.9(),1,2,kkkk

,5k段允許決策集合為：D(s)k

,為第k年度的產(chǎn)量，kkkkkk故指標(biāo)函數(shù)為(su)kk令最優(yōu)值函數(shù)f(s)表示由資源量s出發(fā)從第k年開(kāi)始到第5年結(jié)束時(shí)所生產(chǎn)的產(chǎn)品的總產(chǎn)量最大值。因而有逆推關(guān)系式：

f()6f()us)f0.9(kkku()k4,5

從第5年度開(kāi)始，向前逆推計(jì)算。當(dāng)k=5時(shí)，有：f()maxs)f0.9(s)555650max5550maxs50因f是u的線(xiàn)性單調(diào)增函數(shù)，故得最大解u*，相應(yīng)的有：f(555當(dāng)k=4時(shí)，有：

4411f(s)max))444441105())444013.6u12.2(s)401.4s440故得最大解，u*=s，相應(yīng)的有fs44

4依此類(lèi)推，可求得,相的f(s)17.5s33,相應(yīng)的f(s)20.8s2*,相應(yīng)的f(s23.7s11因s故：s)1計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：最優(yōu)策略為u*

*

*

,

*

u

*

即前兩年應(yīng)把年初全部完好機(jī)器投入低負(fù)荷生產(chǎn)后三年應(yīng)把年初全部完好機(jī)器投入高負(fù)荷生產(chǎn)這樣所得的產(chǎn)量最高，其最高產(chǎn)量為臺(tái)。在得到整個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)值和最優(yōu)策略后還需反過(guò)來(lái)確定每年年初的狀態(tài)即從始端向終端遞推計(jì)算出每年年初完好機(jī)器數(shù)。已知=1000臺(tái)，于是可得：u*s*)900()111u

*

s

*

)0.9s臺(tái))u*s*)0.7s567()330.7

*

0.9(s

*

)0.7s397(臺(tái))u*

s*

)s278(臺(tái))8、有一最大貨運(yùn)量為的卡車(chē)，用以裝載3種貨物，每種貨物的單位重量相應(yīng)單位價(jià)值如表所示。應(yīng)如何裝載可使總價(jià)值最大？2貨物編號(hào)i單位重量〔〕單位價(jià)值

解建模三種物品裝x,,件13

Amax(4xxx)12A

312xxI,jjj利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的逆序解法求此問(wèn)題。s,D{|x}11111s(x|}22222s,Dx}323狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

s

k

(s,kkkk該題是三階段決策過(guò)程，故可假想存在第四個(gè)階段，而x

，于是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程為：

f(s)[xf(s)],kkkkkxD()fs)4kf(s)3k

maxx,[s/5]

3f()[5xf()]23,[]maxxf(x)]2,[]kf(s[4xf(s)]12x0,1,2,3[4x(sx)]1x0,1,2,3計(jì)算最終結(jié)果為1

2,

2

x3

最大價(jià)值為。9、設(shè)有A，C三部機(jī)器串聯(lián)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，由于工藝技術(shù)問(wèn)題，產(chǎn)品常出現(xiàn)次品。統(tǒng)計(jì)結(jié)果說(shuō)明，機(jī)器AB，C產(chǎn)生次品的概率分別為p=30%,P=40%,=20%,而產(chǎn)品必須經(jīng)過(guò)三部機(jī)器順序加工才能完成。為了降低產(chǎn)品的次品率，決定撥款萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，以便最大限度地提高產(chǎn)品的成品率指標(biāo)。現(xiàn)提出如下四種改良方案：方案1：撥款，機(jī)器保持原狀；方案2：裝監(jiān)視設(shè)備，每部機(jī)器需款1萬(wàn)元；方案3：裝設(shè)備，每部機(jī)器需款2萬(wàn)元；方案4：時(shí)加裝監(jiān)視及控制設(shè)備，每部機(jī)器需款萬(wàn)元；采用各方案后，各部機(jī)器的次品率如表。