人教版數(shù)學(xué)九年級上冊同步講義第04課一元二次方程的解法（三）因式分解法（教師版）

第04課一元二次方程的解法（三）--因式分解法目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.掌握因式分解法解方程的原理和常見方法；2.掌握基礎(chǔ)的十字相乘法解方程的簡便算法。掌握一元二次方程的簡便算法；知識精講知識精講知識點01因式分解法解一元二次方程因式分解法的原理為：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；推廣到一元二次方程中：若一元二次方程SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得兩個實數(shù)根。1.c特殊因式分解法解一元二次方程：我們已知SKIPIF1<0中，c=0時，方程必有一根為0：SKIPIF1<0因此，當(dāng)一元二次方程中常數(shù)項c=0時，該一元二次方程可以用因式分解法簡便運算。2.常用的因式分解法提公因式分法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.提公因式法SKIPIF1<0使用場景：有公因式，可將多項式化為乘積方式；完全平方公式法SKIPIF1<0使用場景：等號一側(cè)為完全平方式（即計算△=0）平方差公式法SKIPIF1<0使用場景：平方減平方形式：例如SKIPIF1<0十字相乘法SKIPIF1<0使用場景：前兩種方法都不能用時；【知識拓展】（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.知識點02十字相乘法解一元二次方程若一元二次方程SKIPIF1<0有兩個實數(shù)根SKIPIF1<0，那么可以將一元二次方程寫成：SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0；有對應(yīng)相等得：SKIPIF1<0可得：當(dāng)二次項系數(shù)為1時，一次項系數(shù)b為兩實數(shù)根和的相反數(shù)；常數(shù)項c為兩實數(shù)根的積；對于簡單的方程可以進(jìn)行因式分解法解方程來簡化運算?！炯磳W(xué)即練】序號一元二次方程十字相乘法分解結(jié)果①SKIPIF1<0SKIPIF1<0②SKIPIF1<0SKIPIF1<0③SKIPIF1<0SKIPIF1<0④SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0SKIPIF1<0能力拓展考法01因式分解法解方程能力拓展【典例1】SKIPIF1<0；【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；【詳解】解：（1）原方程可化為：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例2】SKIPIF1<0【答案】x1=3，x2=-1；【分析】（1）移項，再利用因式分解法求解可得．【詳解】解：（1）SKIPIF1<0，移項化簡可得：SKIPIF1<0，∴x-3=0，x+1=0，解得：x1=3，x2=-1．【即學(xué)即練1】SKIPIF1<0【答案】x1=2，x2=3【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴4-2x=0或x-3=0，解得：x1=2，x2=3．【即學(xué)即練2】3x（x﹣1）＝2﹣2x【答案】x1＝1，x2＝SKIPIF1<0．【分析】將等號左邊的式子移動到等號右邊,然后根據(jù)提公因式法進(jìn)行因式分解,再進(jìn)行解一元一次方程即可求解,【詳解】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,所以x1＝1,x2＝﹣SKIPIF1<0．【即學(xué)即練3】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0.【分析】把x-1看做一個整體，先移項，再利用因式分解法，化為ab=0的形式解方程即可.【詳解】SKIPIF1<0移項得SKIPIF1<0-x（x-1）=0（x-1）[4（x-1）-x]=0即x-1=0或3x-4=0解得SKIPIF1<0【典例3】SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】利用直接開平方法把方程化為：SKIPIF1<0從而可得答案．【詳解】原方程可化為：SKIPIF1<0由此得出：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查的是因式分解法，直接開平方法解一元二次方程，掌握以上解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；【答案】(1)x1=5,x2=﹣15【解析】（x+2）2+6（x+2）﹣91=0；設(shè)y=x+2，則原方程可變形為：y2+6y﹣91=0，解得：y1=7，y2=﹣13，當(dāng)y1=7時，x+2=7，x1=5；當(dāng)y2=﹣13時，x+2=﹣13，x2=﹣15；【典例4】SKIPIF1<0【答案】x1＝0，x2＝SKIPIF1<0；【分析】將等號左邊的式子移動到等號右邊,然后根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解,再進(jìn)行解一元一次方程即可求解；【詳解】3x﹣1＝±(x﹣1),即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),所以x1＝0,x2＝SKIPIF1<0；【點睛】本題主要考查因式分解法解一元二次方程,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握因式分解的方法.【即學(xué)即練5】SKIPIF1<0；【答案】SKIPIF1<0；【分析】先移項，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；【詳解】，∴，∴，∴，∴SKIPIF1<0；考法02十字相乘法解方程【典例5】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；【詳解】，∴，∴SKIPIF1<0；【即學(xué)即練6】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】利用因式分解法解方程得出答案；【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0【即學(xué)即練7】SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】把方程左邊進(jìn)行因式分解得到（x-9）（x-1）=0，再解兩個一元一次方程即可；【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．方程SKIPIF1<0的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2【答案】C【解析】試題解析：x（x+2）=0，

?x=0或x+2=0，

解得x1=0，x2=-2．

故選C．2．若關(guān)于x的方程SKIPIF1<0的一個根是0，則另一個根是（

）A．1B．－1C．5D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)方程的解，可直接把x=0代入，可得k=0，則原方程為SKIPIF1<0，因式分解為x（x-5）=0，解得x=0或x=5，另一個解為x=5.故選C.3．若方程SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7或SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，將x的值代入SKIPIF1<0中，即可求出值．【詳解】方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．故選D．【點睛】本題考查了解一元二次方程SKIPIF1<0因式分解法，利用此方法解方程時首先將方程右邊化為0，左邊的多項式分解因式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．4．方程SKIPIF1<0的解是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0．故選D．5．一元二次方程SKIPIF1<0的根是A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【答案】D【分析】先移項得到SKIPIF1<0，然后利用提公因式因式分解，最后轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，解方程即可.【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故選D.6．經(jīng)計算整式x+1與x-4的積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=0的所有根為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．?SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)整式x+1與x-4的積為x2-3x-4，則方程x2-3x-4=0，即是（x+1）（x-4）=0，根據(jù)兩個式子的積是0，則兩個式子中至少有一個是0，即可得到x+1=0或x-4=0，解得x1=-1，x2=4.

故選：B點睛：利用因而分解法解一元二次方程的關(guān)鍵是正確分解因式，理解因式分解法的依據(jù)．7．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的適當(dāng)方法是（）A．開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法【答案】D【解析】試題解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即用了因式分解法，故選D．8．方程SKIPIF1<0正確解法是（

）A．直接開方得SKIPIF1<0B．化為一般形式?SKIPIF1<0C．分解因式得SKIPIF1<0D．直接得x+1=0或x-1=0【答案】C【解析】A：直接開平方應(yīng)得到兩個方程：3（x+1）=2（x-1）和3（x+1）=-2（x-1），所以A不正確；

B：化成一般形式應(yīng)是：5x2+26x+5=0；所以B不正確；

C：方程左邊滿足平方差形式，可以用平方差公式因式分解為：[3（x+1）+2（x-1）][3（x+1）-2（x-1）]=0，所以C正確．

D：兩個完全平方的差為0，不能直接得到兩個式子分別是0，只有兩個完全平方的和是0，才能直接得到兩個式子分別是0，所以D不對．

故選：C．

點睛：本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，用平方差公式因式分解．9．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－4x－3＝0；(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．【答案】(1)x1＝2＋SKIPIF1<0，x2＝2－SKIPIF1<0；(2)x1＝3，x2＝－2.【解析】【分析】第一題利用配方法解方程；第二題先移項再利用因式分解求解即可.【詳解】(1)x2－4x－3＝0；配方得(x－2)2＝7，x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－；(2)x(x＋2)＝3(x＋2)．移項得(x－3)(x＋2)＝0，x－3＝0或x＋2＝0，∴x1＝3，x2＝－2.【點睛】本題考查了解一元二次方程的常見解法，熟練掌握并運用這些方法解方程是解答本題的關(guān)鍵.題組B能力提升練1．用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（）A．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0【答案】A【解析】分析:用因式分解法時，方程的右邊為0，才可以達(dá)到化為兩個一次方程的目的．因此第二、第三個不對，第四個漏了一個一次方程，應(yīng)該是x＝0，x＋2＝0．詳解:用因式分解法時，方程的右邊為0，才可以達(dá)到化為兩個一次方程的目的．因此第二、第三個不對，第四個漏了一個一次方程，應(yīng)該是x＝0，x＋2＝0．所以第一個正確．故選A．點睛:此題考查了學(xué)生對因式分解方法應(yīng)用的條件的理解，提高了學(xué)生學(xué)以致用的能力．2．若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個實根分別為5，﹣6，則二次三項式x2+mx+n可分解為（）A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）【答案】B【分析】根據(jù)題意，把x=5和x=-6分別代入方程，構(gòu)成含m、n的二元一次方程組，解出m、n的值，然后可得二次三項式，再根據(jù)“十字相乘法”因式分解即可.【詳解】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以二次三項式為x2+x-30因式分解為x2+x-30=（x﹣5）（x+6）故選B.【點睛】此題主要考查了因式分解法解一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）進(jìn)行解答.3．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程SKIPIF1<0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A．12 B．9 C．13 D．12或9【答案】A【詳解】因式分解可得：(x－2)(x－5)=0，解得：SKIPIF1<0=2，SKIPIF1<0=5，當(dāng)2為底，5為腰時，則三角形的周長為12；當(dāng)5為底，2為腰時，則無法構(gòu)成三角形，故選A.4．若關(guān)于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有一個根為0，則SKIPIF1<0的值（）A．0 B．1或2 C．1 D．2【答案】D【分析】把x=0代入已知方程得到關(guān)于m的一元二次方程，通過解方程求得m的值；注意二次項系數(shù)不為零，即m-1≠0．【詳解】解：根據(jù)題意，將x=0代入方程，得：m2-3m+2=0，

解得：m=1或m=2，

又m-1≠0，即m≠1，

∴m=2，

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解定義和一元二次方程的定義．注意：本題中所求得的m的值必須滿足：m-1≠0這一條件．5．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）.A．－3B．－1或4C．4D．無法計算【答案】C【解析】把SKIPIF1<0看做一個整體，則方程可看作SKIPIF1<0，然后分解因式為（SKIPIF1<0+1）（SKIPIF1<0-4）=0，解得SKIPIF1<0=-1（舍去）或SKIPIF1<0=4.故選C.6．已知關(guān)于x的一元二次方程SKIPIF1<0的一個根比另一個根大2，則m的值為_____．【答案】1【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根據(jù)根的關(guān)系即可求解．【詳解】解SKIPIF1<0（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案為：1．【點睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解法的運用．7．方程SKIPIF1<0和方程SKIPIF1<0同解，SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】分別求解兩個方程的根即可.【詳解】解：SKIPIF1<0，解得x=3或m；SKIPIF1<0，解得x=3或-1，則m=-1，故答案為：-1.【點睛】本題考查了運用因式分解法解一元二次方程.8．已知實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則代數(shù)式SKIPIF1<0的值為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】把SKIPIF1<0看作一個整體，利用因式分解法把方程SKIPIF1<0分解為SKIPIF1<0，由此即可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,∴m2-m=7或m2-m=-3．∵SKIPIF1<0，△=1-12=-11＜0，∴方程SKIPIF1<0無解，∴SKIPIF1<0.故答案為7.【點睛】本題考查了一元二次方程的解法——因式分解法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．題組C培優(yōu)拔尖練1．方程（x+1）（x-3）=5的解是A．x1=1，x2=-3 B．x1=4，x2=-2C．x1=-1，x2=3 D．x1=-4，x2=2【答案】B【解析】(x+1)(x-3)=5，x2-3x+x-3-5=0，x2-2x-8=0，(x+2)(x-4)=0，x1=-2，x2=4，故選B.2．方程SKIPIF1<0的根的個數(shù)是()A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】對方程分兩種情況進(jìn)行計算即可.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，原方程可化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)；當(dāng)SKIPIF1<0時，原方程可化為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(舍去)．∴原方程有2個根．故選B．【點睛】本題考查了絕對值的意義及因式分解法解一元二次方程.3．方程SKIPIF1<0