動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法第1頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的核心，20世紀(jì)50年代發(fā)展起來(lái)的，已形成系統(tǒng)的理論。所謂最優(yōu)控制系統(tǒng)，是在一定的具體條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。本章重點(diǎn)討論了最優(yōu)控制系統(tǒng)常用的方法：變分法、極小值原理和線性二次型優(yōu)化三種方法及在典型系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。概述最優(yōu)控制：在系統(tǒng)的狀態(tài)方程和約束給定的情況下，尋找最優(yōu)控制律，使系統(tǒng)的性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。一、概述第2頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題的提出2.初態(tài)和終態(tài)：(最優(yōu)控制的四個(gè)要素)1.狀態(tài)方程：3.容許控制：目標(biāo)集二、問(wèn)題的提出L為狀態(tài)控制過(guò)程中對(duì)工作品質(zhì)的要求一般表示:對(duì)終端狀態(tài)的要求4.性能指標(biāo)：第3頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三性能指標(biāo)的類型三.性能指標(biāo)的類型積分型性能指標(biāo):末值型性能指標(biāo):復(fù)合型性能指標(biāo)：四.主要數(shù)學(xué)方法<1>解析法<2>數(shù)值法<3>梯度型法第4頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泛函與變分的基本概念一.泛函與變分的基本概念1.泛函與變分的基本概念

(1)泛函(2)函數(shù)的變分第5頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)泛函的連續(xù)性：(4)線性泛函：線性泛函第6頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(5)泛函的變分最優(yōu)控制中的變分法第7頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泛函變分的求法定理：性質(zhì)：最優(yōu)控制中的變分法5.第8頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[例]解:最優(yōu)控制中的變分法第9頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泛函的極值最優(yōu)控制中的變分法二、泛函的極值第10頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題

----橫截條件定理：設(shè)----歐拉方程第11頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三固定始端和終端無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題

(1)固定始端和終端則橫截條件為：tx(t)tft0(2)固定始端和自由終端則橫截條件為：tx(t)tft0第12頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三自由始端和固定終端無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題

(4)自由始端和自由終端(3)自由始端和固定終端橫截條件為：橫截條件為：tx(t)tft0tx(t)tft0第13頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[例]已知解：求無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題

例第14頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有約束條件下的泛函數(shù)極值問(wèn)題定理：設(shè)歐拉方程定理橫截條件第15頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[例]已知:有約束條件下的泛函數(shù)極值問(wèn)題例第16頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)解:有約束條件下的泛函數(shù)極值問(wèn)題則：解第17頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三為常數(shù)有約束條件下的泛函數(shù)極值問(wèn)題解得：這里由得：續(xù)第18頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由邊界條件：有約束條件下的泛函數(shù)極值問(wèn)題由得：即：續(xù)第19頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題設(shè)狀態(tài)方程其中，求構(gòu)造Harmilton函數(shù)：式中：——拉格朗日乘子分量第20頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題下面分兩種情況進(jìn)行討論:對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題一、末端時(shí)刻固定,任意(終端自由)求最優(yōu)解的必要條件.下面分兩種情況進(jìn)行討論:求最優(yōu)解的必要條件第21頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三末端固定終端自由定理:對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題一、末端時(shí)刻固定,任意(終端自由)最優(yōu)解的必要條件:正則方程滿足1.變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題第22頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題其中：Harmilton函數(shù)2.邊界條件

橫截條件3.極值條件續(xù)第23頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題證明:構(gòu)造增廣泛函證明第24頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題續(xù)第25頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[例]設(shè)系統(tǒng)試求使變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題其中給定，求解：例題第26頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題續(xù)第27頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題當(dāng)續(xù)第28頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三末端固定終端受約二、末端時(shí)刻固定,受約束定理：對(duì)于min（終端受約束）其中正則方程1.滿足其中：變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題第29頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.邊界條件：橫截條件：3.極值條件：變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題續(xù)第30頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三極小值原理[例]一階系統(tǒng)極小值原理由前蘇聯(lián)學(xué)者龐德里亞金于1956年提出，它由變分法引申而來(lái)。定理：設(shè)定常系統(tǒng)只要求：固定時(shí)，求的必要條件：第31頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.正則方程其中定理：設(shè)定常系統(tǒng)只要求：固定時(shí)，求的必要條件：極小值原理

正則方程2.橫截條件3.極小值條件邊界條件第32頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三極小值原理已知系統(tǒng)求：[例]例題解：線性定常系統(tǒng)，固定，自由，受約束由協(xié)態(tài)方程使Hmin得：得：第33頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三極小值原理解得：續(xù)第34頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由當(dāng)求出時(shí)的初態(tài)極小值原理續(xù)第35頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制一.問(wèn)題的提出設(shè)系統(tǒng)其中其中第36頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制（續(xù)）二次型指標(biāo)中各項(xiàng)的物理含義：表示對(duì)過(guò)程的要求，對(duì)每個(gè)狀態(tài)分量的要求由Q陣來(lái)控制表示對(duì)控制能力的要求，即在整個(gè)控制過(guò)程中，消耗能量最少表示對(duì)終點(diǎn)狀態(tài)的要求，對(duì)每個(gè)狀態(tài)分量的要求由F陣來(lái)控制第37頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制（續(xù)）

線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題指：線性系統(tǒng)，性能指標(biāo)為狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分及二次型末值項(xiàng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器：輸出調(diào)節(jié)器：輸出跟蹤調(diào)節(jié)器：第38頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器二.有限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器(tf固定)設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制性能泛函式中第39頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三最優(yōu)性能指標(biāo)其中滿足下列黎卡提矩陣微分方程邊界條件最優(yōu)軌跡滿足：線性二次型問(wèn)題的最優(yōu)控制續(xù)第40頁(yè)，共42頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三.無(wú)限時(shí)間最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器系統(tǒng)常數(shù)陣A，