精選有限元分析平面問題講義

（優(yōu)選）有限元分析平面問題現(xiàn)在是1頁\一共有24頁\編輯于星期五2目錄一、平面問題的定義

1、平面應(yīng)力問題2、平面應(yīng)變問題二、平面問題有限元法1、結(jié)構(gòu)離散2、三角形單元分析3、整體分析總體剛度矩陣4、非節(jié)點載荷移置5、邊界條件處理求解三、簡單算例現(xiàn)在是2頁\一共有24頁\編輯于星期五3一、平面問題的定義1、平面應(yīng)力問題

平面應(yīng)力問題滿足以下兩個條件。

(1)幾何條件結(jié)構(gòu)是一很薄的等厚度薄板；

(2)載荷條件作用于薄板上的載荷平行于板平面、沿厚度方向均勻分布，而在兩板面上無外力作用。YXZOt結(jié)論：板面不受力，則有

σZZ=+t/2=0τYZZ=+t/2=0τZXz=+t/2=0因板很薄，載荷又不沿厚度變化，應(yīng)力沿板的厚度方向是連續(xù)分布的，可以認為，在整個板內(nèi)各點都有

σZ=0τYZ=0τZX=0根據(jù)剪應(yīng)力的互等性、物理方程，可得描述平面應(yīng)力問題的八個獨立的基本變量為

圖1平面應(yīng)力問題現(xiàn)在是3頁\一共有24頁\編輯于星期五4σ=[σX

σY

τXY]Tε=[εX

εY

γXY]Td=[μ

ν]T它們僅為x、y的函數(shù)而與z無關(guān)。2、平面應(yīng)變問題

滿足以下兩個條件的彈性力學(xué)問題為平面應(yīng)變問題。(1)結(jié)構(gòu)是長柱體，橫截面沿長度方向不變；

（2）載荷平行于橫截面且沿縱向方向均勻分布、兩端不受力。ZYXOt圖2平面應(yīng)變問題結(jié)論：結(jié)構(gòu)不能發(fā)生沿Z軸方向的位移，則有

ω=0μ=μ(x,y)ν=ν(x,y)現(xiàn)在是4頁\一共有24頁\編輯于星期五5根據(jù)幾何方程、物理方程可得，描述平面應(yīng)變問題的獨立變量也是八個，且與平面應(yīng)力問題的一樣。只是彈性矩陣變?yōu)镈=而平面應(yīng)力問題的彈性矩陣為D=現(xiàn)在是5頁\一共有24頁\編輯于星期五6二、平面問題有限元法1、結(jié)構(gòu)離散結(jié)構(gòu)離散化過程：連續(xù)體結(jié)構(gòu)有限單元的結(jié)合體代替原連續(xù)體平面問題用二維區(qū)域表示可用不同形狀的單元，此處用三角形單元離散現(xiàn)在是6頁\一共有24頁\編輯于星期五72、三角形單元分析⑴單元位移模式形函數(shù)根據(jù)位移函數(shù)選擇方法，三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3yν=ν(x,y)=α4+α5x+α6yOYX節(jié)點1(x1,y1)μ1ν1節(jié)點2(x2,y2)μ2ν2節(jié)點3(x3,y3)μ3ν3圖3三節(jié)點三角形單元將三個節(jié)點的位移代入，整理得α1=α2=α3=現(xiàn)在是7頁\一共有24頁\編輯于星期五8α4=(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)α5=(b1v1+b2v2+b3v3)α6=(c1v1+c2v2+c3v3)其中A=ɑ1=b1=-c1=(1,2,3)上式表示下標輪換，即12，23，31同時更換?，F(xiàn)在是8頁\一共有24頁\編輯于星期五9重寫位移函數(shù)，并以節(jié)點位移的形式進行表達，有其中形函數(shù)矩陣為N=其中Ni=(ɑi+bix+ciy)，i=1、2、3。⑵單元的應(yīng)變與應(yīng)力單元應(yīng)變ε=Bqe式中應(yīng)變矩陣B為B=節(jié)點位移列陣qeqe=[u1v1u2v2u3v3]T現(xiàn)在是9頁\一共有24頁\編輯于星期五10單元應(yīng)力σ=Dε=DBqe⑶單元分析單元剛度矩陣根據(jù)虛位移原理，可得單元剛度方程Fe=Keqe其中單元剛度矩陣為Ke=對于三節(jié)點等厚三角形單元，B、D均為常數(shù)矩陣，則單元剛度矩陣可表示為Ke=BTDBtA3、非節(jié)點載荷移置有限元模型是一組僅在節(jié)點連接、僅靠節(jié)點傳力、僅受節(jié)點載荷、僅在節(jié)點處受約束的單元組合體。只有節(jié)點是可以承受載荷與約束的。⑴集中力的移置單元內(nèi)任意一點作用集中力

P=[PxPy]T現(xiàn)在是10頁\一共有24頁\編輯于星期五11123PPxPyR1XR1YR2XR2YR3XR3YYXO圖4集中力作用的單元根據(jù)虛位移原理，可得移置到節(jié)點后的載荷Re=NTP此處的N為載荷作用點的形函數(shù)值。虛功原理如下：單元原載荷在虛位移上做的虛功=移置后節(jié)點載荷在相應(yīng)虛位移上做的虛功。⑵體力的移置單元所受的均勻分布體力為PV=[XY]T，則由虛功原理得Re=⑶面力的移置在單元的邊上分布有單位面積上的面力PS=[]T，則由虛功原理得Re=現(xiàn)在是11頁\一共有24頁\編輯于星期五124、整體分析整體剛度矩陣整體剛度矩陣組裝的基本步驟：先求出各個單元的單元剛度矩陣；將單元剛度矩陣中的每個子塊放在整體剛度矩陣中的對應(yīng)位置上，得到單元的擴大剛度矩陣；將全部單元的擴大矩陣相加得到整體剛度矩陣。不失一般性，僅考慮模型中有四個單元，如圖所示，四個單元的整體節(jié)點位移列陣為其中：45123①②③④yox圖5四個單元的模型對每個單元寫出相應(yīng)的單元剛度方程，對于①號單元，有現(xiàn)在是12頁\一共有24頁\編輯于星期五13為了便于組裝整體剛度矩陣，將上式以整體節(jié)點位移表示，即同理，對于單元②，有對于單元③，有現(xiàn)在是13頁\一共有24頁\編輯于星期五14對于單元④，有整體節(jié)點載荷列陣為現(xiàn)在是14頁\一共有24頁\編輯于星期五15整體剛度矩陣為5、邊界條件處理求解整體剛度矩陣是奇異的，必須在整體剛度方程中引進位移邊界條件，消除整體結(jié)構(gòu)的剛體位移，再求解整體剛度方程獲得節(jié)點位移的位移解。下面介紹邊界條件處理與計算結(jié)果整理。⑴對角元素置1法

下面以一個只有四個方程的簡單例子加以說明，方程如下：現(xiàn)在是15頁\一共有24頁\編輯于星期五16假定系統(tǒng)中節(jié)點位移u2=0，則引入節(jié)點的已知位移后，方程變?yōu)槿缓?，用這組維數(shù)不變的方程來求解所有的節(jié)點位移。顯然，其解答仍為原方程的解答。⑵乘大數(shù)法大數(shù)M一般取108——1010。已知位移分量u2=c，把此方法用于上面的例子，則原方程變成現(xiàn)在是16頁\一共有24頁\編輯于星期五17⑶計算結(jié)果整理一般情況，節(jié)點由多個單元所共有，而不同單元得到的應(yīng)力不同，因此，應(yīng)對節(jié)點上的應(yīng)力進行處理，使其接近實際應(yīng)力值。對于常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，?yīng)力的處理方法有：①繞節(jié)點平均法將圍繞節(jié)點i的所有m個單元的應(yīng)力進行算術(shù)平均，即②面積加權(quán)平均法考慮單元尺寸大小對節(jié)點應(yīng)力的影響，進行面積加權(quán)平均，即以上式中，Ai、σ

i分別為繞節(jié)點各單元的面積和應(yīng)力?，F(xiàn)在是17頁\一共有24頁\編輯于星期五18三、簡單算例如圖所示為一矩形薄平板，在右端中點受集中力F=1000N，板長為25mm，寬為50mm，板厚為t=5mm，材料常數(shù)為：彈性模量E=210GPa，泊松比μ=0.28。試計算各個節(jié)點的位移、各單元應(yīng)力與應(yīng)變。F=1000NF=1000N圖6問題描述25mm50mm解答：對該問題進行有限元分析的過程如下。⑴結(jié)構(gòu)的離散化與編號

對結(jié)構(gòu)進行離散，單元編號與節(jié)點編號如圖7。F1234①②圖7有限元分析模型xy現(xiàn)在是18頁\一共有24頁\編輯于星期五19節(jié)點xy1002250325504050表1節(jié)點的坐標⑵單元分析與單元剛度矩陣求解根據(jù)三節(jié)點三角形單元分析過程，可得各單元的相關(guān)參數(shù)如下：同理，b1=-50，c1=-25對①單元，有b2=50，c2=0b3=0，c3=25同理，對于②單元，有b1=0，c1=-25b2=50，c2=25b3=-50，c3=0現(xiàn)在是19頁\一共有24頁\編輯于星期五20同理，可得單元①剛度矩陣為：整個系統(tǒng)的彈性矩陣為現(xiàn)在是20頁\一共有24頁\編輯于星期五21單元②的剛度方程為：⑶整體分析并求整體剛度矩陣對各單元剛度矩陣進行組裝，可得整體剛度矩陣K。⑷邊界條件的處理和剛度方程的求解首先進行集中力的移置，集中力為：只需在單元②上進行載荷的移置,故此處形函數(shù)只指單元②?，F(xiàn)在是21頁\一共有24頁\編輯于星期五22a1=1250a