第11章幾種常用的隨機過程

第11章幾種常用的隨機過程

【考試要求】11.1泊松過程

泊松過程的定義與泊松過程相聯(lián)系的若干分布非齊次泊松過程復合泊松過程條件泊松過程

11.2更新過程

更新過程的定義和性質(zhì)更新推理、更新方程和關(guān)鍵更新定理更新回報過程交替更新過程

11.3馬爾科夫鏈

基本概念不變分布和極限分布賭徒輸光問題和群體消失模型

11.4鞅

初步定義和例子停時定理精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

11.5布朗運動

布朗運動的定義擊中時刻、最大隨機變量和賭徒破產(chǎn)問題布朗運動的幾種變化高斯過程精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【要點詳解】

§11.1泊松過程

1．泊松過程的定義

（1）計數(shù)過程①計數(shù)過程：如果以N(t)表示在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)某一特定隨機事件發(fā)生的總次數(shù)，那么稱隨機過程{N(t)，t≥0}為計數(shù)過程。②計數(shù)過程{N(t)，t≥0}的性質(zhì)：

?N(t)取值為非負整數(shù)；

?當0≤s<t時，N(s)≤N(t)，而且N(s)-N(t)表示(s，t]時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)。③兩個相關(guān)特性

?獨立增量性：如果在不相交的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)是相互獨立的，則稱相應的計數(shù)過程具有獨立增量性。

?平穩(wěn)增量性：如果在任一時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的事件個數(shù)的分布僅取決于時間長度，則稱相應的計數(shù)過程具有平穩(wěn)增量性。即如果對任意的s>0，t1<t2，在時間區(qū)間(t1+s，t2+s]內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)N(t1+s)-N(t2+s)與在時間區(qū)間(t1，t2]內(nèi)發(fā)生的事件次數(shù)N(t2)-N(t1)有相同的分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（2）泊松過程

泊松過程：如果計數(shù)過程{N(t)，t≥0}滿足以下條件：①N(0)=0；②N(t)具有獨立增量性；③在長度為t的時間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)變量服從泊松分布，參數(shù)為λt，即對任意的s，t≥0，那么稱N(t)是強度參數(shù)為λ(λ>0)的泊松過程。

泊松過程的等價定義：計數(shù)過程{N(t)，t≥0}稱為泊松過程，參數(shù)為λ，λ>0，如果①N(0)=0；②過程有平穩(wěn)增量性與獨立增量性；③；④。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.1】設X(t)和Y(t)，t≥0是兩個相互獨立，分別具有強度為λ和μ的泊松過程，定義隨機過程S(t)=X(t)+Y(t)。下列關(guān)于隨機過程S(t)的說法正確的是（）。A．S(t)不是泊松過程B．S(t)是強度為1/(λ+μ)的泊松過程C．S(t)是強度為1/(λμ)的泊松過程D．S(t)是強度為λμ的泊松過程E．S(t)是強度為λ+μ的泊松過程

【答案】E

【解析】因X(t)和Y(t)，t≥0都是泊松過程，所以X(0)=0和Y(0)=0，由于S(t)=X(t)+Y(t)，從而得S(0)=X(0)+Y(0)=0。在t≥0上任取點，做S(t)的增量記成Ui+Vi。此處對于任意實數(shù)有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)即知相互獨立，從而相互獨立，因此S(t)是獨立增量過程。又因為X(t)和Y(t)是相互獨立的，所以X(t)-X(t0)和Y(t)-Y(t0)也是相互獨立的。所以有綜上可得，S(t)是強度為λ+μ的泊松過程。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

2．與泊松過程相聯(lián)系的若干分布符號說明：

如上圖，泊松過程{N(t)，t≥0}的一條樣本路徑一般是跳躍度為1的階梯函數(shù)；

Tn，n=1，2，3，…，第n次事件發(fā)生的時刻，規(guī)定T０＝０；

Xn，n=1，2，…，第n次與第n-1次事件發(fā)生的時間間隔。

（1）和的分布。

①定理11-1：第n次與第n-1次事件發(fā)生的時間間隔Xn，n=1，2，…，服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，且相互獨立。②定理11-2：第n次事件發(fā)生的時刻Tn，n=1，2，3，…，服從參數(shù)為n和λ的伽瑪分布。③根據(jù)定理11-2，可給出泊松過程的又一種的定義方法定義：計數(shù)過程{N(t)，t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程，如果每次事件發(fā)生的時間間隔X1，X2，…相互獨立，且服從同一參數(shù)λ的指數(shù)分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（2）事件發(fā)生時刻的條件分布假設到時刻t，泊松過程描述的事件A已經(jīng)發(fā)生了n次，考慮這n次事件發(fā)生的時刻T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布。①n=1情形：對于s≤t，即在已知[0，t]內(nèi)A只發(fā)生一次的前提下，A發(fā)生的時刻在[0，t]上是均勻分布的。推廣到次序統(tǒng)計量的聯(lián)合密度函數(shù)如果{Yi，i=1，…，n}是[0，t]上獨立的均勻分布隨機變量，可得到次序統(tǒng)計量{Y（1），Y（2），…，Y（n）}的聯(lián)合密度函數(shù)為②情形

定理11-3：在已知N（t）=n的條件下，事件發(fā)生的n個時刻T1，T2，…，Tn的聯(lián)合分布密度是：該定理也可以表述為，在[0，t]內(nèi)發(fā)生n次事件的條件下，事件的發(fā)生時間是[0，t]上n個相互獨立的均勻分布隨機變量的次序統(tǒng)計量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.2】事件A的發(fā)生形成強度為λ的泊松過程{X（t），t≥0}。已知在[0，t]內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對于0<k<n，則在[0，s]內(nèi)事件A發(fā)生k次的概率為（）。A．0B．C．D．E．1

【答案】D

【解析】精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

3．非齊次泊松過程

非齊次泊松過程：計數(shù)過程{N（t），t≥0}稱為非平穩(wěn)或非齊次泊松過程，有強度函數(shù)λ(t)，t≥0，如果①N(0)=0；②{N(t)，t≥0}具有獨立增量性；③④若令則可證明非齊次泊松過程N(t)有即N（t+s）-N（t）服從均值m（t+s）-m（t）的泊松分布。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.3】設某設備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，則在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率為（）。A．B．C．D．E．

【答案】D

【解析】因為維修次數(shù)與使用時間有關(guān)，所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數(shù)

則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

4．復合泊松過程

復合泊松過程：稱隨機過程{X（t），t≥0}為復合泊松過程，如果對于t≥0，X（t）可以表示為其中{N（t），t≥0}是一個泊松過程，Yi，i=1，2，…是一族獨立同分布的隨機變量，并且與{N（t），t≥0}也是獨立的。

定理11-4：設是一復合泊松過程，泊松過程{N（t），t≥0}的強度為λ，若E（Yi2）<+∞，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.4】設是復合泊松過程，已知λ=5，Yi服從下列分布：

則E（X(t)）=

，Var（X（t））=

。（）A．B．C．D．E．

【答案】A

【解析】Yi服從指數(shù)分布，，故

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

5．條件泊松過程

條件泊松過程：設隨機變量，在的條件下，計數(shù)過程{N（t），t≥0}是參數(shù)為λ的泊松過程，則稱{N（t），t≥0}為條件泊松過程。

定理11-5：設{N（t），t≥0}是條件泊松過程，且，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.5】設某地區(qū)在某季節(jié)的地震出現(xiàn)的平均強度是隨機變量，且到t時為止的地震次數(shù)是一個條件泊松過程。已知到時刻t已發(fā)生了n次地震，則地震發(fā)生是強度為λ1的概率是（）。A．B．

C．D．E．【答案】B

【解析】

所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

§11.2更新過程1．更新過程的定義和性質(zhì)

（1）定義設{Xn=1，2，…}是一串獨立同分布的非負隨機變量，分布函數(shù)為F（x），記，則0<μ≤∞。）令。把由定義的計數(shù)過程稱為更新過程。（2）定義解釋在更新過程中，將事件發(fā)生一次叫做一次更新。在上面的定義中Xn就是第n-1次和第n次更新相距的時間，Tn是第n次更新發(fā)生的時刻，而N（t）就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。（3）常用的幾個集合關(guān)系

①直觀上，{N（t）≥n}的含義是t時刻之前更新次數(shù)不少于n，{Tn≤t}的含義是第n次更新的發(fā)生時刻在t時刻之前，兩個事件是等價的。②事件{N（t）>n}發(fā)生，則{Tn<t}發(fā)生，但{Tn<t}發(fā)生，{N（t）>n}不一定發(fā)生。

定理11-6：以M（t）記E[N（t）]并稱之為更新函數(shù)，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.6】若N（t）為一更新過程，Tn是第n次更新發(fā)生的時刻，則下列命題正確的是（）。A．B．C．D．E．以上選項均不正確

【答案】A

【解析】A項，{N（t）≥n}的含義是t時刻之前更新次數(shù)不少于n，{Tn≤t}的含義是第n次更新的發(fā)生時刻在t時刻之前，兩個事件是等價的；C項，當Tn=s<t，但在（s，t]沒有更新時，有N（t）=n，而不是N（t）>n。所以C項錯誤；B項，因為，所以由C項是錯誤的，可知B項也是錯誤的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

2．更新推理、更新方程和關(guān)鍵更新定理

更新點：每次更新的時刻。

更新推理：更新過程中的一種常用分析方法，基本思路是對更新點取條件期望或概率，利用更新點系統(tǒng)恢復如新的性質(zhì)，條件期望或概率可以化為無條件期望或概率，使計算得以簡化，通?？梢缘玫揭粋€積分方程。

定理11-7：更新函數(shù)M（t）滿足如下的積分方程

更新方程：稱如下形式的積分方程為更新方程：（11.1）其中H（t），F(xiàn)（t）為已知，且當t<0時，H（t）,F（t）均為0。當H（t）在任何區(qū)間上有界時，稱方程（11.1）為適定更新方程，簡稱為更新方程。

定理11-8：設更新方程（11.1）中H（t）為有界函數(shù)，則方程存在惟一的在有限區(qū)間內(nèi)有界的解其中M（t）是分布函數(shù)F（t）的更新函數(shù)。

注：在更新過程中應當注意符號的實際含義，這對理解問題常常是很關(guān)鍵的。如TN（t）+1的含義是t時刻之后的第一次更新時刻，而TN（t）表示t時刻之前的最后一次更新的時刻，兩者有完全不同的概率性質(zhì)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

定理11-9（Wald等式）：設EXi<∞，i=1，2，…，則

定理11-10（關(guān)鍵更新定理）：記μ=E（Xn），設函數(shù)h（t），t[0，∞），滿足①h（t）非負不增；②。H（t）是更新方程的解，那么若F為連續(xù)分布，有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

3．更新回報過程

更新回報過程：設{N（t），t≥0}是一個更新過程，允許Rn依賴于Xn（即回報的多少與等待的時間有關(guān)），只要求隨機向量列（Xn，Rn）獨立同分布，則稱為更新回報過程。

定理11-11（更新回報定理）：若更新間隔X1，X2，…滿足E（X1）<∞，每次得到的回報{Rn}滿足E（R1）<∞.則

定理含義：長時間之后，單位時間的平均報酬等于一次更新的平均報酬除以一次更新所需的平均時間。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.7】設乘客到達火車站形成一更新過程，其更新間距分布F有有限期望μ?，F(xiàn)設車站用如下方法調(diào)度火車：當有K個乘客到達車站時發(fā)出一列火車。同時還假定當有n個旅客在車站等候時車站每單位時間要付出nc元償金，而開出一列火車的成本是D元。那么車站單位時間的平均成本是（）。A．B．C．D．E．

【答案】D

【解析】如果把每次火車離站看作是一次更新，就得到一個更新回報過程。這個過程的一個周期的平均長度是有K個旅客到達車站所需的平均時間，即

E[周期長度]=Kμ

若以Tn表示在一個周期中第n個旅客和第n+1個旅客的到達時間間隔，則因此，單位時間的平均成本是。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

4．交替更新過程

交替更新過程：系統(tǒng)有兩種狀態(tài)的更新過程。

定理11-12：設H是Zn的分布，G是Yn的分布，F(xiàn)是Zn+Yn的分布，且這些分布都是連續(xù)分布。記P（t）=P{t時刻系統(tǒng)是開的}，設E（Yn+Zn）<∞，則

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

§11.3馬爾可夫鏈1．基本概念

（1）馬爾可夫鏈的定義

馬爾可夫鏈：隨機過程{Xn，n=0，1，2，…}稱為馬爾可夫鏈，若它只取有限或可列個值E0，E1，E2，…（以{0，1，2，…}來標記E0，E1，E2，…并稱它們是過程的狀態(tài)，{0，1，2，…}或者其子集記為S，稱為過程的狀態(tài)空間），對任意的n≥0及狀態(tài)i，j，i0，i1，…，in-1，有（11.2）上式刻畫了馬爾可夫鏈的特性，稱為馬爾可夫性。（2）轉(zhuǎn)移概率

①轉(zhuǎn)移概率：稱式（11-2）中的條件概率為馬爾可夫鏈{Xn，n=0，1，2，…}的一步轉(zhuǎn)移概率，簡稱轉(zhuǎn)移概率。

②時齊馬爾可夫鏈：當馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率只與狀態(tài)i，j有關(guān)，而與n無關(guān)時，稱馬爾可夫鏈為時齊的，并記；否則，就稱之為非時齊的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

③轉(zhuǎn)移概率矩陣：將pij（i，jS）排成一個矩陣的形式，令

稱P為轉(zhuǎn)移概率矩陣，一般簡稱為轉(zhuǎn)移矩陣。④轉(zhuǎn)移概率矩陣pij（i，jS）的性質(zhì)：

?（非負性）

?（行和為1）精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.8】設馬氏鏈{Xn，n>0}的狀態(tài)空間為I={1,2,3}，初始分布為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則為（）。

A．1/64B．1/8C．3/64D．1/16E．1/36

【答案】D

【解析】因為，即有

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（3）n步轉(zhuǎn)移概率和C-K方程

n步轉(zhuǎn)移概率：稱條件概率為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率，相應地稱為n步轉(zhuǎn)移矩陣。

定理11-13（Chapman-Kolmogorov方程，簡稱C-K方程）：對一切有①②精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.9】設馬氏鏈{Xn，n≥0}的狀態(tài)空間為S={1，2，3}，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

則（）。A．1/16B．7/36C．1/12D．5/16E．7/16

【答案】E

【解析】①由C-K方程可得：

②計算二步轉(zhuǎn)移概率矩陣為所以。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（4）狀態(tài)的分類及性質(zhì)

狀態(tài)i可達狀態(tài)j：稱狀態(tài)i可達狀態(tài)j（），若存在n≥0使得，記為i→j。若同時有狀態(tài)j→i，則稱i與j互通，記為。

定理11-14：互通是一種等價關(guān)系，即滿足：①自返性；②對稱性，則；③傳遞性，則。

不可約馬爾可夫鏈：若馬爾可夫鏈只存在一個類，就稱它是不可約的，否則稱為可約的。

周期性：若集合非空，則稱它的最大公約數(shù)d=d（i）為狀態(tài)i的周期。若d>1，稱i是周期的；若d=1，稱i是非周期的，并特別規(guī)定上述集合為空集時，稱i的周期為無窮大。

常返態(tài)：對于任意狀態(tài)i，以fi記開始在狀態(tài)i的過程最終再進入i的概率，若fi=1，則狀態(tài)i稱為常返態(tài)。若fi<1，而稱為非常返態(tài)或瞬態(tài)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

定理11-15：若，則狀態(tài)i是常返態(tài)，反之，若，則狀態(tài)i是瞬態(tài)。

推論11-1：一個有限狀態(tài)馬爾可夫鏈中不可能所有的狀態(tài)都是瞬態(tài)。

推論11-2：如果狀態(tài)i是常返態(tài)，而狀態(tài)i與狀態(tài)j互通，那么狀態(tài)j是常返態(tài)。

推論11-3：有限狀態(tài)不可約馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)都是常返態(tài)。

正常返：如果狀態(tài)i是常返的，且從i出發(fā)直至回到狀態(tài)i的平均時間是有限的，則稱狀態(tài)i為正常返的。正常返的非周期狀態(tài)稱為遍歷的。不是正常返的常返態(tài)稱為是零常返的。

定理11-16：有限狀態(tài)馬爾可夫鏈中，一切常返狀態(tài)都是正常返的。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.10】設馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I={0，1，…}，其轉(zhuǎn)移概率為下列說法錯誤的是（）。

A．狀態(tài)0是正常返態(tài)B．狀態(tài)0是非周期的C．任一狀態(tài)i都與0相通D．狀態(tài)0不是遍歷的E．任一狀態(tài)i都是遍歷的

【答案】D

【解析】狀態(tài)傳遞圖，如下圖所示。,故狀態(tài)0是常返態(tài)。又任一狀態(tài)i都與0相通。所以任一狀態(tài)i都是常返態(tài)．而，所以狀態(tài)0是正常返態(tài)；又p00=1/2>0，故狀態(tài)0是非周期的，從而是遍歷的。因此，任一狀態(tài)i都是遍歷的。當狀態(tài)較多時，逐個對狀態(tài)進行計算是較困難的。如果狀態(tài)是相通的，選擇其中一個易于識別的狀態(tài)進行計算和識別，也就識別了其余的狀態(tài)，從而可以大大減小工作量。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

2．不變分布與極限分布

不變分布：對于馬爾可夫鏈，概率分布稱為不變的，若

極限分布：稱馬爾可夫鏈是遍歷的，如果所有狀態(tài)相通且均是周期為1的正常返狀態(tài)，對于遍歷的馬爾可夫鏈，極限稱為馬爾可夫鏈的極限分布。

定理11-17：對于一個不可約的遍歷的馬爾可夫鏈，存在且與i獨立。進一步令那么πj是：的唯一解。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.11】在一計算系統(tǒng)中，每一循環(huán)具有誤差的概率取決于先前一個循環(huán)是否有誤差。以0表示誤差狀態(tài)，以1表示無誤差狀態(tài)，設狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為則相應齊次馬氏鏈的極限分布為（）。A．(3/4，1/4)B．(2/3，1/3)C．(1/3，2/3)D．(1/2，1/2)E．(1/4，3/4)

【答案】B

【解析】因存在m=1，使對于所有的i，j，有，故相應的馬氏鏈是遍歷的，其極限分布π=（π1，π2）滿足方程組π=πP，即且有π1+π2=1。由此得方程組解此方程組得，即得極限分布為。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

§11.4鞅1．初步定義和例子

一個隨機過程的鞅：一個隨機過程{Xn，n=0，1，…}是一個鞅，如果對于n=0，1，…①②

兩個隨機過程的鞅：設{Xn，n=0，1，…}和{Yn，n=0，1，…}是兩個隨機過程，我們說{Xn}是關(guān)于{Yn}的一個鞅，如果對于n=0，1，…①②精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)【例題11.12】若一個隨機過程滿足則稱其為下鞅。對于任意的n≥0，0≤k≤n，下列說法正確的是（）。A．成立B．成立C．成立D．成立E．成立

【答案】E

【解析】利用數(shù)學歸納法證明．因為{Xn，n=0，1，2，…}是下鞅，所以當n=k+1時，。假設當n=k+m(m>1)時，。則當n=k+m+1時，

對于任意的n≥0，0≤k≤n，。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

2．停時定理

（1）停時：正整數(shù)值（可能取無窮值）的隨機變量T稱為過程{Xn，n≥1}的隨機時間，如果事件{T=n}由隨機變量X1，…，Xn決定，也就是，知道X1，…，Xn就告訴了我們是否有T=n。隨機時間T稱為停時。（2）停時的一些例子：①固定時間（即常數(shù)）Tk是停時；②首達時，即過程X0，X1，…首達狀態(tài)空間子集A的時間，也是停時，記為③更一般地，對任何固定k，過程第k次到達集合A的時間也是一個停時；（3）停時的初等性質(zhì)：①如果S和T是停時，則S+T也是停時；②兩個停時中的較小者，表示為ST=min{S，T}也是停時；③如果S和T是停時，其較大者ST=max{S，T}也是停時。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

定理11-18（停時定理1）：設{Xn，n≥0}是鞅，T是停時，若：①②③其中是示性函數(shù)表示，則

定理11-19（停時定理2）：設{Xn，n≥0}是鞅，T是停時，若：①②則E（XT）=E[X0]。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.13】設{Xn，n=0，1，2，…}是相互獨立同分布的隨機變量序列，則下列序列T是停時的是（）。

A．B．C．D．E．精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【答案】A

【解析】依停時的定義知，隨機變量T成為關(guān)于{Xn}的停時的條件：T取非負數(shù)值（可能取到+∞），并且對于任意非負整數(shù)n，事件{T=n}完全由X0,X1,…,Xn確定。BCDE選項中，對于任意非負整數(shù)n，事件{T=n}受到Xn+1的影響，故不是正確答案，所以正確答案為選項A。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

§11.5布朗運動1．布朗運動的定義

布朗運動：隨機過程{Xt，t≥0}，如果滿足：①X（0）=0；②{X（t），t≥0}有獨立的平穩(wěn)增量；③對每個t>0，X（t）服從正態(tài)分布N（0，σ2t）。則稱{X（t），t≥0}為布朗運動，也稱為Wiener過程。常記為{B（t），t≥0}或{W（t），t≥0}。

如果σ=1，則稱之為標準布朗運動；如果σ≠1，則可考慮{X（t）/σ，t≥0}，它是標準布朗運動。故不失一般性，可以只考慮標準布朗運動的情形。

布朗運動的另外一個定義：布朗運動是具有下述性質(zhì)的隨機過程{B（t），t≥0}：①（正態(tài)增量）B（t）-B（s）~N（0，t-s），即B（t）-B（s）服從均值為0，方差為t-s的正態(tài)分布。當s=0時，B（t）-B（0）~N（0，t）。②（獨立增量）B（t）-B（s）獨立于過程的過去狀態(tài)B（u），0≤u≤s。③（路徑的連續(xù)性）B（t），t≥0是t的連續(xù)函數(shù)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.14】設{Bt，t>0}是標準布朗運動，則事件{B(1)>0,B(2)>0}的概率為（）。A．1/4B．1/8C．3/8D．5/8E．1/2

【答案】C

【解析】因為B(0)=0，所以有雖然B(1)和B(2)不是獨立的，但是B(2)-B(1)與B(1)是相互獨立的標準正態(tài)分布的隨機變量，于是有所以精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

2．擊中時刻、最大隨機變量和賭徒破產(chǎn)問題

（1）擊中時刻以Ta記布朗運動首次擊中a的時刻。①當a>0時，有進而可得②當a>0時，由對稱性，Ta的分布與T-a的分布相同。由上式可以得到：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)

【例題11.15】設Ta表示標準布朗運動擊中a所用的時間，則等于（）。A．1/4B．1/6C．3/8D．3/4E．1/2

【答案】B

【解析】對稱隨機游動在減少到－B前先增加到A的概率為

P(在減少到－B前先增加到A)=故可知由于相互獨立，可得

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學習網(wǎng)（2）最大隨機變量對于過程在[0，t]中達到的最大值，它的分布如下：對于a>0，因為，所以（3）賭徒破產(chǎn)問題

對于賭徒破產(chǎn)問題的結(jié)果，當每一步或者增加或者減少一個距離△x時，對稱隨機游動在減少到-B前先增加到A的概率（以N