高中數(shù)學 數(shù)列 4.2.2等差數(shù)列前n項和第1課時

4.2.2等差數(shù)列的前項和公式單元教學設計）銅陵市第一中學胡婷一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容等差數(shù)列前項和公式的推導與應用.首尾配對法本單元的知識結(jié)構(gòu)：首尾配對法等差數(shù)列前項和公式n項和公式公式推導等差數(shù)列前項和公式n項和公式公式推導分類討論法倒序相加法倒序相加法簡單應用簡單應用公式應用綜合應用公式應用綜合應用靈活應用靈活應用內(nèi)容解析單元內(nèi)容具有承上啟下的作用。等差數(shù)列的前項和公式即是前面知識內(nèi)容的延續(xù)，也為后面類比學習等比數(shù)列奠定基礎。等差數(shù)列的前項和公式是等差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，從另一個角度進一步認識等差數(shù)列的函數(shù)特性。在公式推導中，“倒序相加法”是經(jīng)典的方法。教學中以數(shù)學文化為背景，構(gòu)建了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程。使學生逐漸認識到“倒序相加法”的本質(zhì)?；谝陨戏治?，確定本單元的教學重點：等差數(shù)列的前項和公式的推導及其應用.目標和目標解析1.目標了解等差數(shù)列前n項和公式發(fā)現(xiàn)的背景；推導并掌握等差數(shù)列前n項和公式；在具體情境中，能運用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的數(shù)學問題，提升核心素養(yǎng).2.目標解析達成上述目標的標志是：（1）通過學習，能夠了解等差數(shù)列的前n項和公式的來龍去脈，感悟特殊與一般的思想，感受前任嚴謹?shù)闹螌W精神.（2）學生通過研究性學習和小組合作探究的方式，掌握等差數(shù)列的前n項和公式的“倒序相加法”以及其他推導方法，描述等差數(shù)列的前n項和公式的特征，以及它與相應二次函數(shù)關系.（3）學生能在具體情境中，運用等差數(shù)列的前n項和公式解決相應問題.三、教學問題診斷分析等差數(shù)列的前n項和公式的學習，其認知基礎是等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、數(shù)列求和的一般概念，這些認知準備，利用等差數(shù)列的性質(zhì)減少項數(shù)，發(fā)現(xiàn)倒序相加的運算特點，都能起到思路引領的作用.學生很容易把高斯的“首尾配對法”過渡到“倒序相加法”，但兩者的推導方法又有著形式上的差異（即首尾配對法要分奇偶，而倒序相加則可一步到位）正是這種差異導致了等差數(shù)列的前n項和公式推導過程中的一個“老大難”問題：怎么想到用倒序相加的？因此，怎樣讓等差數(shù)列的前n項和公式的推導能夠相對自然地呈現(xiàn)，成為學生理解公式推導過程的合理性關鍵.為了有效突破這個難點，在求和公式的教學中，構(gòu)造“梯形面積”求法，讓學生經(jīng)歷等差數(shù)列的前n項和公式的再創(chuàng)造過程，從而培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，提升學生的思維品質(zhì).四、課時教學設計第1課時（一）教學內(nèi)容等差數(shù)列的前項和公式的推導.教學目標1.了解等差數(shù)列前n項和公式發(fā)現(xiàn)的背景；2.推導并掌握等差數(shù)列前n項和公式；教學重點、難點重點：等差數(shù)列的前項和公式的推導.難點：等差數(shù)列的前項和公式的推導.教學過程設計問題1：如何將下列古文翻譯成現(xiàn)代文？今有與人錢，初一人與一錢，次一人于二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？《張邱建算經(jīng)》追問：1）如何求1+2+3……+100？你聽過有關于這個求和的故事嗎？高斯求和時用到了上節(jié)課中哪個性質(zhì)？1+2+3……+100+101又怎么求？1+2+3+……=？怎樣避開分類討論，實現(xiàn)“配對”，將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”呢？師生活動：教師提問，學生回答，引導學生對公式進行變形，得到.它相當于兩個相加，而結(jié)果變成個相加.設計意圖：問題1通過中國北魏時期《張邱建算經(jīng)》中一道數(shù)學題導入所學內(nèi)容，引導學生通過觀察來發(fā)現(xiàn)本題的實質(zhì)就是求1+2+3……+100的和；追問1）引出“高斯求和”的故事，適時的滲透數(shù)學文化，讓學生感受數(shù)學文化底蘊；追問2）復習舊知并引導學生思考高斯配對算法對奇數(shù)個數(shù)是否適用；追問3）將問題推廣到一般情形并導學生對公式進行變形從公式“形式”角度去探求新的解決方法；追問4）直接發(fā)問，為引出“倒序相加法”做鋪墊。問題2：已知等差數(shù)列{}的首項為，公差為，如何求其前？平面幾何中經(jīng)常出現(xiàn)求不規(guī)則圖形的面積，對不規(guī)則圖形的面積問題，常通過割補思想轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來求解，如平行四邊形可通過割補的方法轉(zhuǎn)化為長方形,知道了平行四邊形面積公式后，三角形、梯形我們?nèi)绾吻笃涿娣e？師生活動：師生共同得出等差數(shù)列的前項和公式設計意圖：引出本節(jié)課的重點內(nèi)容，通過預設學生的課堂活動情況，給予相應的指導.追問：你能用基本量項為和表示等差數(shù)列的前項和公式嗎？師生活動：學生小組討論得出兩種方法，其一，其二，直接將公式帶入，得到公式.問題3：你能從圖形的角度去解釋等差數(shù)列的前項和公式嗎？為了更好的用圖形去表示，我們不妨設為均為正數(shù).師生活動：學生小組討論后回答，教師評價.引導學生構(gòu)造特定圖形，如設計意圖：從形的角度解釋等差數(shù)列的前項和公式，便于學生理解和記憶。追問：1）等差數(shù)列的前項和公式與一元二次函數(shù)有什么關系？已知數(shù)列的前項和為，那么數(shù)列是等差數(shù)列嗎？師生活動：教師提醒學生注意不一定是關于的二次函數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的取值加以討論，學生回答，教師評價.設計意圖：進一步讓學生體會數(shù)列與函數(shù)的關系，引導學生觀察等差數(shù)列的前項和公式形式上的特點。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列.師生活動：教師提問，學生回答。設計意圖：讓學生體會方程的思想，師生共同總結(jié)，對于等差數(shù)列的相關量知道三個可求另兩個。例2（教科書第23頁例9）已知等差數(shù)列的前項和為Sn，若＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時的值；若不存在，請說明理由.課堂小結(jié)、布置作業(yè)歸納總結(jié)：教師引導學生回顧本節(jié)課知識，并回答以下問題：1.等差數(shù)列前項和公式推導方法是什么？2.等差數(shù)列前項和公式的三種形式你能說出來嗎？3.本節(jié)課你掌握了哪些求和方法？設計意圖：從知識技能以及數(shù)學思想兩個方面對本節(jié)課進行小結(jié)，通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。布置作業(yè)：基礎作業(yè)：教科書P22練習1.2.3.4.探究作業(yè)：教科書P25頁第7題.（五）目標檢測設計1．在等差數(shù)列中，若，則的值為()A．20B．30C．40D．502．設Sn是等差數(shù)列的前項和，若則S5＝()A．5