高中數(shù)學(xué) 數(shù)列 4.2.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和第1課時(shí)

4.2.2等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式單元教學(xué)設(shè)計(jì)）銅陵市第一中學(xué)胡婷一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.首尾配對(duì)法本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)：首尾配對(duì)法等差數(shù)列前項(xiàng)和公式n項(xiàng)和公式公式推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式n項(xiàng)和公式公式推導(dǎo)分類討論法倒序相加法倒序相加法簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用公式應(yīng)用綜合應(yīng)用公式應(yīng)用綜合應(yīng)用靈活應(yīng)用靈活應(yīng)用內(nèi)容解析單元內(nèi)容具有承上啟下的作用。等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即是前面知識(shí)內(nèi)容的延續(xù)，也為后面類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列奠定基礎(chǔ)。等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是等差數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，從另一個(gè)角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的函數(shù)特性。在公式推導(dǎo)中，“倒序相加法”是經(jīng)典的方法。教學(xué)中以數(shù)學(xué)文化為背景，構(gòu)建了從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的過程。使學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到“倒序相加法”的本質(zhì)?；谝陨戏治?，確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式發(fā)現(xiàn)的背景；推導(dǎo)并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；在具體情境中，能運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，提升核心素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過學(xué)習(xí)，能夠了解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的來龍去脈，感悟特殊與一般的思想，感受前任嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神.（2）學(xué)生通過研究性學(xué)習(xí)和小組合作探究的方式，掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的“倒序相加法”以及其他推導(dǎo)方法，描述等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的特征，以及它與相應(yīng)二次函數(shù)關(guān)系.（3）學(xué)生能在具體情境中，運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決相應(yīng)問題.三、教學(xué)問題診斷分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知基礎(chǔ)是等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、數(shù)列求和的一般概念，這些認(rèn)知準(zhǔn)備，利用等差數(shù)列的性質(zhì)減少項(xiàng)數(shù)，發(fā)現(xiàn)倒序相加的運(yùn)算特點(diǎn)，都能起到思路引領(lǐng)的作用.學(xué)生很容易把高斯的“首尾配對(duì)法”過渡到“倒序相加法”，但兩者的推導(dǎo)方法又有著形式上的差異（即首尾配對(duì)法要分奇偶，而倒序相加則可一步到位）正是這種差異導(dǎo)致了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程中的一個(gè)“老大難”問題：怎么想到用倒序相加的？因此，怎樣讓等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)能夠相對(duì)自然地呈現(xiàn)，成為學(xué)生理解公式推導(dǎo)過程的合理性關(guān)鍵.為了有效突破這個(gè)難點(diǎn)，在求和公式的教學(xué)中，構(gòu)造“梯形面積”求法，讓學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的再創(chuàng)造過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，提升學(xué)生的思維品質(zhì).四、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)（一）教學(xué)內(nèi)容等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).教學(xué)目標(biāo)1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式發(fā)現(xiàn)的背景；2.推導(dǎo)并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).難點(diǎn)：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo).教學(xué)過程設(shè)計(jì)問題1：如何將下列古文翻譯成現(xiàn)代文？今有與人錢，初一人與一錢，次一人于二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？《張邱建算經(jīng)》追問：1）如何求1+2+3……+100？你聽過有關(guān)于這個(gè)求和的故事嗎？高斯求和時(shí)用到了上節(jié)課中哪個(gè)性質(zhì)？1+2+3……+100+101又怎么求？1+2+3+……=？怎樣避開分類討論，實(shí)現(xiàn)“配對(duì)”，將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”呢？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行變形，得到.它相當(dāng)于兩個(gè)相加，而結(jié)果變成個(gè)相加.設(shè)計(jì)意圖：問題1通過中國北魏時(shí)期《張邱建算經(jīng)》中一道數(shù)學(xué)題導(dǎo)入所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察來發(fā)現(xiàn)本題的實(shí)質(zhì)就是求1+2+3……+100的和；追問1）引出“高斯求和”的故事，適時(shí)的滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)；追問2）復(fù)習(xí)舊知并引導(dǎo)學(xué)生思考高斯配對(duì)算法對(duì)奇數(shù)個(gè)數(shù)是否適用；追問3）將問題推廣到一般情形并導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行變形從公式“形式”角度去探求新的解決方法；追問4）直接發(fā)問，為引出“倒序相加法”做鋪墊。問題2：已知等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為，如何求其前？平面幾何中經(jīng)常出現(xiàn)求不規(guī)則圖形的面積，對(duì)不規(guī)則圖形的面積問題，常通過割補(bǔ)思想轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形來求解，如平行四邊形可通過割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化為長方形,知道了平行四邊形面積公式后，三角形、梯形我們?nèi)绾吻笃涿娣e？師生活動(dòng)：師生共同得出等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)計(jì)意圖：引出本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，通過預(yù)設(shè)學(xué)生的課堂活動(dòng)情況，給予相應(yīng)的指導(dǎo).追問：你能用基本量項(xiàng)為和表示等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論得出兩種方法，其一，其二，直接將公式帶入，得到公式.問題3：你能從圖形的角度去解釋等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式嗎？為了更好的用圖形去表示，我們不妨設(shè)為均為正數(shù).師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論后回答，教師評(píng)價(jià).引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造特定圖形，如設(shè)計(jì)意圖：從形的角度解釋等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，便于學(xué)生理解和記憶。追問：1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式與一元二次函數(shù)有什么關(guān)系？已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，那么數(shù)列是等差數(shù)列嗎？師生活動(dòng)：教師提醒學(xué)生注意不一定是關(guān)于的二次函數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的取值加以討論，學(xué)生回答，教師評(píng)價(jià).設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式形式上的特點(diǎn)。例1已知數(shù)列是等差數(shù)列.師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)方程的思想，師生共同總結(jié)，對(duì)于等差數(shù)列的相關(guān)量知道三個(gè)可求另兩個(gè)。例2（教科書第23頁例9）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，若＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.課堂小結(jié)、布置作業(yè)歸納總結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)，并回答以下問題：1.等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法是什么？2.等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的三種形式你能說出來嗎？3.本節(jié)課你掌握了哪些求和方法？設(shè)計(jì)意圖：從知識(shí)技能以及數(shù)學(xué)思想兩個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)，通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。布置作業(yè)：基礎(chǔ)作業(yè)：教科書P22練習(xí)1.2.3.4.探究作業(yè)：教科書P25頁第7題.（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．在等差數(shù)列中，若，則的值為()A．20B．30C．40D．502．設(shè)Sn是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若則S5＝()A．5