高中數(shù)學(xué) 人教A版 必修一 《集合與常用邏輯用語》 1.2 集合間的基本關(guān)系

安徽省普通高中新課程新教材優(yōu)秀課例教學(xué)資源教學(xué)設(shè)計(jì)課程基本信息學(xué)科高中數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期秋季課題1.2集合間的基本關(guān)系教科書書名：高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教學(xué)目標(biāo)1.理解集合之間的包含與相等的含義。2.能識(shí)別給定集合的子集，了解空集含義。3.能進(jìn)行自然語言、圖形語言(Venn圖)、符號(hào)語言間的轉(zhuǎn)換，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。教學(xué)內(nèi)容教科書關(guān)于集合安排了三節(jié)內(nèi)容，第一節(jié)引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象——集合，第二、三節(jié)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。研究一個(gè)新對(duì)象時(shí)，類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)好方法。本節(jié)類比實(shí)數(shù)，發(fā)現(xiàn)和提出“集合是否像實(shí)數(shù)一樣具有相等關(guān)系、大小關(guān)系”的問題，抽象概括出包含關(guān)系，并從子集角度再認(rèn)識(shí)相等關(guān)系。包含關(guān)系是集合的基本關(guān)系，包含關(guān)系和相等關(guān)系也都是從元素與集合之間的關(guān)系定義集合之間的關(guān)系。也就是說，當(dāng)我們判斷集合間關(guān)系時(shí)，其實(shí)是回歸到了元素與集合的關(guān)系。明確了這一點(diǎn)，對(duì)于辨析屬于關(guān)系、包含關(guān)系及理解其符號(hào)表示都是很有幫助的。如“A?B”就是“對(duì)于任意ɑ∈A,ɑ∈B”。符號(hào)化是數(shù)學(xué)的重要特征。在集合的學(xué)習(xí)中，需要建立符號(hào)表示和數(shù)學(xué)意義之間的聯(lián)系，Venn圖則是梳理集合間的關(guān)系以及后面所學(xué)的運(yùn)算的直觀且有效的工具。通過各種問題，建立自然語言、符號(hào)語言和圖形語言(Venn圖)之間的聯(lián)系，有利于表示數(shù)學(xué)問題，也有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。結(jié)合以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：1.集合間包含與相等的含義。2.用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象或數(shù)學(xué)內(nèi)容。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)相似概念及符號(hào)的理解，例如區(qū)別元素與集合、屬于與包含等概念及其符號(hào)表示。教學(xué)過程一、溫故知新、引入新課教師引入：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了集合的相關(guān)概念，下面我們簡單回顧一下。1.元素、集合的概念：研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素。一些元素組成的總體叫做集合。2.集合中元素的性質(zhì)：無序性、確定性、互異性3.集合的表示方法：列舉法、描述法4.常用數(shù)集：N、N*(N+)、Z、Q、R學(xué)生回答后，教師讓學(xué)生欣賞關(guān)于宇宙的視頻片段，并提問：把地球、太陽系、銀河系、宇宙都看成集合，可以直觀感知到集合的范圍在不斷擴(kuò)大，該實(shí)例啟發(fā)我們思考：集合與集合之間存不存在相應(yīng)的聯(lián)系呢？下面我們來看幾個(gè)問題。設(shè)計(jì)意圖：鞏固舊知，對(duì)新知的引入起到過渡作用，從而實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的有效銜接。利用視頻激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而引入本節(jié)新課。二、多維互動(dòng)，主題探究問題1我們知道，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有相等關(guān)系、大小關(guān)系，類比思考，兩個(gè)集合之間是否也有這樣的關(guān)系？答案：也有。問題2國慶期間，小明同學(xué)和爸爸媽媽爺爺奶奶一家人跟著旅行團(tuán)來到了游樂場，旅行團(tuán)一共15人，信息如下表：姓名性別年齡（歲）身高（cm）體重（kg）小明男511219小明爸爸男3318885小明媽媽女3216360小明奶奶女6316258小明爺爺男6518290c女3115743d男3117060e男3218285f女2117760g男4216855h男51184100i男2317570j女711922k女4016549l女1015033（1）高空滑道適合年齡16～50歲的游客玩耍，應(yīng)該如何表示這個(gè)集合A呢？（2）激流勇進(jìn)項(xiàng)目適合年齡10～60歲的游客玩耍，應(yīng)該如何表示這個(gè)集合B呢？（3）你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)集合的關(guān)系么？答案：（1）A={小明爸爸,小明媽媽,c,d,e,f,g,i,k}。（2）B={小明爸爸,小明媽媽,c,d,e,f,g,h,i,k,l}。（3）集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素。問題3觀察如下例子，你能發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)集合之間的關(guān)系嗎？A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}。答案：集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素。學(xué)生獨(dú)立觀察，充分思考，交流討論。教師引導(dǎo)學(xué)生梳理觀察、討論、分析的結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于問題2與問題3，集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素。這時(shí)我們說：集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。接著教師抽象概括出子集的定義：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集。記作：A?B(或B?A)，讀作：“A包含于B”(或“B包含A”)。教師強(qiáng)調(diào)：包含于和包含這兩個(gè)符號(hào)，我們應(yīng)該如何區(qū)分？開口朝向哪個(gè)集合，另一個(gè)集合就是它的子集。在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖。對(duì)于問題2和問題3中集合A和集合B的包含關(guān)系，可以這樣表示：教師強(qiáng)調(diào)：特別地，對(duì)于數(shù)集，除了Venn圖之外，也可以用數(shù)軸表示。問題4觀察如下例子，判斷集合A是否是集合B的子集？(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4}。(2)A={x∣x≤0,且x∈R},B={x∣x＜1,且x∈R}。(3)A={-1,2,3},B={2,3,4}。(4)A={x∣x是兩條邊相等的三角形},B={x∣x是等腰三角形}。教師提問，讓學(xué)生回答后，師生共同評(píng)析：(1)(2)(4)中，集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,故集合A是集合B的子集。(3)中，因?yàn)榧螦中的元素-1不在集合B中，故集合A不是集合B的子集。教師追問：對(duì)于第(4)小題，兩個(gè)集合中的元素有什么關(guān)系？學(xué)生思考、交流，師生共同小結(jié)得出：由于“兩條邊相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合A、B都是由所有等腰三角形組成的集合。集合A的元素與集合B的元素是一樣的，根據(jù)第1節(jié)所學(xué)內(nèi)容，集合A與集合B相等。教師再次追問：現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了子集的定義，也就是說，我們會(huì)用包含的角度去分析集合之間的基本關(guān)系了。能不能用包含關(guān)系來概括集合相等的定義呢？學(xué)生思考、交流，師生共同小結(jié)得出：集合A、B都是由所有等腰三角形組成的集合。即集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，同時(shí)，集合B中任何一個(gè)元素也都是集合A中的元素。即A包含于B，B也包含于A。從而引出集合相等的定義：一般地，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等,記作A=B。也就是說，若A?B,且B?A，則A=B。教師提示：這里與實(shí)數(shù)間關(guān)系中的“若ɑ≤b,且b≤ɑ，則ɑ=b”可類比。教師繼續(xù)追問：由此可見，兩個(gè)集合相等是包含關(guān)系的特例。那么如果A?B，除了A=B之外，還有其他情況嗎？對(duì)于第(1)、(2)小題，兩個(gè)集合中的元素是什么關(guān)系？教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：集合B中含有其“特有”的元素，即集合B有，而集合A沒有的元素。從而引出真子集的定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B,且，就稱集合A是集合B的真子集。記作：。讀作：“A真包含于B”(或“B真包含A”)。教師強(qiáng)調(diào)：真包含于和真包含這兩個(gè)符號(hào)的區(qū)分方法：開口朝向哪個(gè)集合，該集合范圍就大。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論。這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時(shí)機(jī)。問題5子集與真子集的異同分別是什么？答案：相同點(diǎn)：一個(gè)集合中的所有元素都是另一個(gè)集合中的元素。不同點(diǎn)：子集包括了兩個(gè)集合相等的情況，而真子集不包括該情況。問題6分析ɑ∈A與{ɑ}?A的區(qū)別，并填空：元素與集合之間的關(guān)系：。集合與集合之間的關(guān)系：。答案：屬于關(guān)系。包含關(guān)系。學(xué)生探究后，派代表舉手回答，教師加以點(diǎn)撥，幫助學(xué)生提升對(duì)概念的理解。一個(gè)房間里面沒有任何東西，我們把它叫做空房；一個(gè)紙盒里面沒有任何東西，我們把它叫做空紙盒；……以此類推：不含任何元素的集合叫做空集，記為?。空集的性質(zhì)：1.規(guī)定：空集是任何集合的子集，2.空集是任何非空集合的真子集。問題7你能舉出幾個(gè)空集的例子嗎？學(xué)生舉例，教師補(bǔ)充一些實(shí)例，如：某班同學(xué)都出去上體育課了，教室里剩余同學(xué)的集合；一元二次方程當(dāng)△＜0時(shí)的實(shí)數(shù)解組成的集合；等等。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于難度不大的內(nèi)容，以問題串的形式，幫助學(xué)生深入理解概念；并通過舉例子，使抽象概念具體化。對(duì)于子集問題，師生共同探究得出下列結(jié)論：(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A。(2)(傳遞性)對(duì)于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C。問題8將實(shí)數(shù)間的關(guān)系與集合間的關(guān)系進(jìn)行類比，填寫如下表格：實(shí)數(shù)間的關(guān)系(ɑ、b)集合間的關(guān)系(集合A、B)ɑ≤bɑ<bɑ=bɑ≤ɑ若ɑ≤b，b≤c，則ɑ≤c答案：A?B。。A=B。A?A。若A?B，B?C，則A?C。學(xué)生思考后舉手回答，教師點(diǎn)評(píng)并加以完善。設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》，注重類比思想的應(yīng)用，有利于數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)，也有利于學(xué)生對(duì)新知的掌握。增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。三、例題講解，鞏固新知例1寫出集合{ɑ，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。解：集合{ɑ，b}的所有子集為?，{ɑ}，，{ɑ，b}。真子集為?，{ɑ}，。學(xué)生分析解題思路，教師給出解答示范。設(shè)計(jì)意圖：鞏固子集和真子集的概念和性質(zhì)，體會(huì)分類的原則和方法，為保證不重不漏，要按照一定順序?qū)懗鲎蛹?，比如可以根?jù)子集中元素的個(gè)數(shù)分類。例2判斷下列各題中集合A是否為集合B的子集，并說明理由：(1)A={1，2，3}，B={x∣x是8的約數(shù)}。(2)A={x∣x是長方形}，B={x∣x是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形}。解：(1)因?yàn)?不是8的約數(shù)，所以集合A不是集合B的子集。(2)因?yàn)槿魓是長方形，則x一定是兩條對(duì)角線相等的平行四邊形，所以集合A是集合B的子集。學(xué)生判斷，教師給出解答示范。設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)子集概念的掌握情況，進(jìn)一步明確判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系的基本方法——定義法。四、實(shí)踐練習(xí)，能力形成1.寫出集合{ɑ，b，c}的所有子集。解：?，{ɑ}，，{c}，{ɑ，b}，{ɑ，c}，{b，c}，{ɑ，b，c}。2.用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空。(1)ɑ____{ɑ，b，c}；(2)0____{x│x2=0}；(3)?____{x∈R│x2+1=0}；(4){0，1}____N；(5){0}____{x│x2=x}；(6){2，1}____{x│x2?3x+2=0}。答案：(1)∈；(2)∈；(3)=；(4)；(5)；(6)=。3.已知集合A={x│0<x<ɑ}，B={x│1<x<2}，若B?A，求實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍。解：借助數(shù)軸可得，ɑ∈{ɑ│ɑ≥2}。第1題一學(xué)生上黑板解答，其余學(xué)生獨(dú)自解答。教師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問題并個(gè)別輔導(dǎo)，最后對(duì)黑板上的反饋情況進(jìn)行評(píng)析。第2、3題學(xué)生討論后，派代表回答，師生共同評(píng)析。五、歸納小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)知識(shí)：1.子集,真子集的概念與性質(zhì)；2.集合的相等；3.集合與集合,元素與集合的關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：通過歸納小結(jié)培養(yǎng)學(xué)生自覺回顧、善于總結(jié)