專題17 二次函數(shù)的面積問題（解析版）

決勝2021中考數(shù)學壓軸題全揭秘精品專題17二次函數(shù)的面積問題【考點1】二次函數(shù)的線段最值問題【例1】（2020·湖北荊門·中考真題）如圖，拋物線與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求直線的解析式及拋物線頂點坐標；（2）如圖1，點P為第四象限且在對稱軸右側(cè)拋物線上一動點，過點P作軸，垂足為C，交于點D，求的最大值，并求出此時點P的坐標；（3）如圖2，將拋物線向右平移得到拋物線，直線與拋物線交于M，N兩點，若點A是線段的中點，求拋物線的解析式．【答案】（1）直線的解析式為，拋物線頂點坐標為；（2）當時，的最大值為；；（3）．【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出A、B兩點的坐標，設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出AB的解析式，將二次函數(shù)解析式配方為頂點式即可求得頂點坐標；（2）過點D作軸于E，則．求得AB=5，設(shè)點P的坐標為，則點D的坐標為，ED=x，證明，由相似三角形的性質(zhì)求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得點P的坐標；（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，將L′的解析式和直線AB聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，設(shè)，則是方程的兩根，得到，點A為的中點，，可求得m的值，即可求得L′的函數(shù)解析式．【詳解】（1）在中，令，則，解得，∴．令，則，∴．設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為．，∴拋物線頂點坐標為（2）如圖，過點D作軸于E，則．∵，∴，設(shè)點P的坐標為，則點D的坐標為，∴．∵，∴，∴，∴，∴．而，∴，∵，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，的最大值為．，∴．（3）設(shè)平移后拋物線的解析式，聯(lián)立，∴，整理，得：，設(shè)，則是方程的兩根，∴．而A為的中點，∴，∴，解得：．∴拋物線的解析式．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【變式1-1】（2020·前郭爾羅斯蒙古族自治縣哈拉毛都鎮(zhèn)蒙古族中學九年級期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點，，交y軸于點C．點是x軸上的一動點，軸，交直線于點M，交拋物線于點N．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）①若點P僅在線段上運動，如圖1．求線段的最大值；②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q，使以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；（2）①由點得，從而得，整理，化為頂點式即可得到結(jié)論；②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．【詳解】解：（1）把代入中，得解得∴．（2）設(shè)直線的表達式為，把代入．得，解這個方程組，得∴．∵點是x軸上的一動點，且軸．∴．∴．∵，∴此函數(shù)有最大值．又∵點P在線段上運動，且∴當時，有最大值．②∵點是x軸上的一動點，且軸．∴．∴（i）當以M，N，C，Q為頂點的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）∴MC=∴整理得，∵，∴，解得，，∴當時，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；當m=時，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；(ii)若，如圖，則有整理得，∵，∴，解得，，當m=-1時，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當m=-5時，MN=-10＜0（不符合實際，舍去）綜上所述，點Q的坐標為【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解（3）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．【變式1-2】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經(jīng)過點B（3，﹣3）．（1）求頂點A的坐標（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個動點，求△OPB的面積的最大值及比時點P的坐標；（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（32，34）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標；（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q，求出直線BP的解析式，表示出點Q的坐標，根據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的最值可得P點坐標；（3）根據(jù)平移規(guī)律，可得新拋物線，根據(jù)聯(lián)立拋物線與OA的解析式，可得C、D點的橫坐標，根據(jù)勾股定理，可得答案．【詳解】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴頂點A的坐標是（﹣1，1）；（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q.∵直線OB的解析式為y=﹣x，故設(shè)P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，當n=時，S△OPB的最大值為．此時y=﹣n2+2n=，∴P（，）；（3）∵直線OA的解析式為y=x，∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，聯(lián)立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D兩點間的橫坐標的差為1，∴CD=．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，利用二次函數(shù)求最值，勾股定理二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，難度適中，是常見題型.【考點2】二次函數(shù)的面積定值問題【例2】已知二次函數(shù)．（1）圖象經(jīng)過點時，則_________；（2）當時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；（3）以拋物線的頂點A為一個頂點作該拋物線的內(nèi)接正三角形（M，N兩點在拋物線上），請問：的面積是與m無關(guān)的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值，S△AMN＝.【解析】【分析】（1）將點代入二次函數(shù)解析式即可求出m；（2）求出二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，由拋物線的開口向上，在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，可求出m的取值范圍；（3）在拋物線內(nèi)作出正三角形，求出正三角形的邊長，然后計算三角形的面積，可得到△AMN的面積是與m無關(guān)的定值．【詳解】解：（1）將點代入可得：，解得：m=4；（2）二次函數(shù)的對稱軸是：x＝m，∵當x≤2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴m≥2；（3）的面積是與m無關(guān)的定值；如圖：頂點A的坐標為（m，?m2＋4m?8），△AMN是拋物線的內(nèi)接正三角形，MN交對稱軸于點B，∵tan∠AMB＝tan60°＝，∴AB＝BM＝BN，設(shè)BM＝BN＝a，則AB＝a，∴點M的坐標為（m＋a，a?m2＋4m?8），∵點M在拋物線上，∴a?m2＋4m?8＝（m＋a）2?2m（m＋a）＋4m?8，整理得：，解得：a＝或a＝0（舍去），∴△AMN是邊長為的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝，與m無關(guān).【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，其中（3）問有一定難度，根據(jù)點M在拋物線上，求出正三角形的邊長是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2020·湖南九年級其他模擬）若拋物線L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與直線l：y＝ax+b滿足a2+b2＝2a（2c﹣b），則稱此直線l與該拋物線L具有“支干”關(guān)系．此時，直線l叫做拋物線L的“支線”，拋物線L叫做直線l的“干線”．（1）若直線y＝x﹣2與拋物線y＝ax2+bx+c具有“支干”關(guān)系，求“干線”的最小值；（2）若拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與y＝﹣的圖象只有一個交點，求反比例函數(shù)的解析式；（3）已知“干線”y＝ax2+bx+c與它的“支線”交于點P，與它的“支線”的平行線l′：y＝ax+4a+b交于點A，B，記△ABP得面積為S，試問：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)“支干”關(guān)系的定義，求出a、b、c的值，利用配方法確定函數(shù)的最值．（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）①，可得拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個交點，可知△＝0，得b2﹣16c＝0②，由①②解方程組即可解決問題．（3）的值是定值．不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝＝，把＝2a（2c﹣b）代入上式化簡＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═?CD?＝??4＝8?，由此即可解決問題．【詳解】解：（1）由題意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+，∵y＝x2﹣2x+＝（x﹣1）2﹣，∵a＝1＞0，∴x＝1時，y有最小值，最小值為﹣．（2）由題意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）①∴拋物線y＝x2+bx+c的“支線”為y＝x+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，∵拋物線y＝x2+bx+c的“支線”與的圖象只有一個交點，∴△＝0，∴b2﹣16c＝0②由①②可得b＝﹣2，或，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣或y＝﹣．（3）是定值．理由如下：不妨設(shè)a＞0，如圖所示，y＝ax2+bx+c與它的“支線”交y軸于C，直線y＝ax+4a+b與y軸交于點D，A（x1，y1），B（x2，y2），由得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝＝把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化簡得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═?CD?|Bx﹣Ax|＝?|4a|?4＝8?|a|，∴＝8，的值是定值．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的性質(zhì)、一元一次方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程組解決問題，學會用分割法求三角形的面積．【變式2-2】（2020·山東濟南·中考真題）如圖1，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c過點A（﹣1，0），點B（3，0）與y軸交于點C．在x軸上有一動點E（m，0）（0m3），過點E作直線l⊥x軸，交拋物線于點M．（1）求拋物線的解析式及C點坐標；（2）當m＝1時，D是直線l上的點且在第一象限內(nèi)，若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，求點D的坐標；（3）如圖2，連接BM并延長交y軸于點N，連接AM，OM，設(shè)△AEM的面積為S1，△MON的面積為S2，若S1＝2S2，求m的值．【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）若△ACD是以∠DCA為底角的等腰三角形，則可以分CD＝AD或AC＝AD兩種情況，分別求解即可；（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON?xM，即可求解．【詳解】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為y＝﹣x2＋2x＋3，當x＝0時，y＝3，故點C（0，3）；（2）當m＝1時，點E（1，0），設(shè)點D的坐標為（1，a），由點A、C、D的坐標得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①當CD＝AD時，即＝，解得a＝1；②當AC＝AD時，同理可得a＝（舍去負值）；故點D的坐標為（1，1）或（1，）；（3）∵E（m，0），則設(shè)點M（m，﹣m2＋2m＋3），設(shè)直線BM的表達式為y＝sx＋t，則，解得：，故直線BM的表達式為y＝﹣x＋，當x＝0時，y＝，故點N（0，），則ON＝；S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON?xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去負值），經(jīng)檢驗m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、面積的計算等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．【考點3】二次函數(shù)的面積最值問題【例3】（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，拋物線過點A（0，1）和C，頂點為D，直線AC與拋物線的對稱軸BD的交點為B（，0），平行于y軸的直線EF與拋物線交于點E，與直線AC交于點F，點F的橫坐標為，四邊形BDEF為平行四邊形．（1）求點F的坐標及拋物線的解析式；（2）若點P為拋物線上的動點，且在直線AC上方，當△PAB面積最大時，求點P的坐標及△PAB面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點Q，同時在拋物線上取一點R，使以AC為一邊且以A，C，Q，R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q和點R的坐標．【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1（2）（，）；（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y＝﹣x+1，求出F點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，則可得出答案；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），得出PP'＝﹣n2+n，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線AC和拋物線解析式求出C（，﹣），設(shè)Q（，m），分兩種情況：①當AQ為對角線時，②當AR為對角線時，分別求出點Q和R的坐標即可．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+m，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，∵點F的橫坐標為，∴F點縱坐標為﹣+1＝﹣，∴F點的坐標為（，﹣），又∵點A在拋物線上，∴c＝1，對稱軸為：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化為：y＝ax2﹣2ax+1，∵四邊形DBFE為平行四邊形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）設(shè)P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x軸交AC于點P'，則P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB?PP'＝﹣n＝﹣，∴當n＝時，△ABP的面積最大為，此時P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），設(shè)Q（，m），①當AQ為對角線時，∴R（﹣），∵R在拋物線y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②當AR為對角線時，∴R（），∵R在拋物線y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．綜上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2020·重慶中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線，平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）面積最大值為；（3）存在，【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）設(shè)，求得解析式，過點P作x軸得垂線與直線AB交于點F，設(shè)點，則，，即可求解；（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線過，∴∴∴（2）設(shè)，將點代入∴過點P作x軸得垂線與直線AB交于點F設(shè)點，則由鉛垂定理可得∴面積最大值為（3）（3）拋物線的表達式為：y＝x2＋4x?1＝（x＋2）2?5，則平移后的拋物線表達式為：y＝x2?5，聯(lián)立上述兩式并解得：，故點C（?1，?4）；設(shè)點D（?2，m）、點E（s，t），而點B、C的坐標分別為（0，?1）、（?1，?4）；①當BC為菱形的邊時，點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B，同樣D（E）向右平移1個單位向上平移3個單位得到E（D），即?2＋1＝s且m＋3＝t①或?2?1＝s且m?3＝t②，當點D在E的下方時，則BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，當點D在E的上方時，則BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，聯(lián)立①③并解得：s＝?1，t＝2或?4（舍去?4），故點E（?1，2）；聯(lián)立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故點E（-3，-4＋）或（-3，-4?）；②當BC為菱形的的對角線時，則由中點公式得：?1＝s?2且?4?1＝m＋t⑤，此時，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，聯(lián)立⑤⑥并解得：s＝1，t＝?3，故點E（1，?3），綜上，點E的坐標為：（?1，2）或或或（1，?3）．∴存在，【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．【變式3-2】（2020·江蘇宿遷·中考真題）二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)，B(6，0)兩點，與y軸交于點C，頂點為E．(1)求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出點E的坐標；(2)如圖①，D是該二次函數(shù)圖象的對稱軸上一個動點，當BD的垂直平分線恰好經(jīng)過點C時，求點D的坐標；(3)如圖②，P是該二次函數(shù)圖象上的一個動點，連接OP，取OP中點Q，連接QC，QE，CE，當△CEQ的面積為12時，求點P的坐標．【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)【分析】(1)由于二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(2，0)、B(6，0)兩點，把A，B兩點坐標代入，計算出a的值即可求出拋物線解析式，由配方法求出E點坐標；(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得出CB=CD，設(shè)D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；(3)設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，求出M(，)，ME=，由面積公式可求出n的值，則可得出答案．【詳解】(1)將A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；∵，∴E(4，)；(2)如圖1，圖2，連接CB，CD，由點C在線段BD的垂直平分線CN上，得CB=CD，設(shè)D(4，m)，當時，，∴C(0，3)，∵=，由勾股定理可得：=，解得m=3±，∴滿足條件的點D的坐標為(4，3+)或(4，3-)；(3)如圖3，設(shè)CQ交拋物線的對稱軸于點M，設(shè)P(，)，則Q(，)，設(shè)直線CQ的解析式為，則，解得，于是直線CQ的解析式為：，當時，，∴M(，)，ME==，∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，∴，解得或，當時，P(10，8)，當時，P(，24)．綜合以上可得，滿足條件的點P的坐標為(10，8)或(，24)．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積；熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．【考點4】二次函數(shù)面積的其它問題【例4】（2020·遼寧鞍山·中考真題）在矩形中，點E是射線上一動點，連接，過點B作于點G，交直線于點F．（1）當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．①如圖1，若點E在線段上，則線段與之間的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________；②如圖2，若點E在線段的延長線上，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點，連接，，，求的最小值．【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由見解析；（2）【分析】（1）①證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再證明四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結(jié)果；②根據(jù)（1）中同樣的證明方法求證即可；（2）說明C、E、G、F四點共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設(shè)BE=x，證明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．【詳解】解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案為：相等；垂直；②成立，理由是：當點E在線段BC的延長線上時，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH為等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，F(xiàn)H⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四邊形BEHF為平行四邊形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四點共圓，∵四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點，∴M也是EF中點，∴M是四邊形BCHF外接圓圓心，則GM的最小值為圓M半徑的最小值，∵AB=3，BC=2，設(shè)BE=x，則CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF===，設(shè)y=，當x=時，y取最小值，∴EF的最小值為，故GM的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，圓的性質(zhì)，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2020·湖北中考真題）已知拋物線y=ax2-2ax+c過點A-1,0和C0,3，與x（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）如圖1，E為線段BC上方的拋物線上一點，EF⊥BC，垂足為F，EM⊥x軸，垂足為M，交BC于點G．當BG=CF時，求△EFG的面積；（3）如圖2，AC與BD的延長線交于點H，在x軸上方的拋物線上是否存在點P，使∠OPB=∠AHB？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)；（2）S△EFG=1；（3）存在，【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出a的值即可得到解析式，進而得到頂點D坐標；（2）先求出BC的解析式y(tǒng)=-x+3，再設(shè)直線EF的解析式為y=x+b,設(shè)點E的坐標為m,-m2+2m+3，聯(lián)立方程求出點F，G的坐標，根據(jù)BG2（3）過點A作AN⊥HB，先求得直線BD，AN的解析式，得到H，N的坐標，進而得到∠H=45°，設(shè)點pn,-n2+2n+3，過點P作PRx軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR，證明【詳解】（1）把點A（-1，0），C（0，3）代入y=axa+2a+c=0c=3解得a=-1c=3∴y=-x當x=-b2a=1∴D(1,4)（2）∵y=-令y=0,?∴x=-1,∴B(3,0)設(shè)BC的解析式為y=kx+b將點C(0,3),B(3,0)代入，得b=33k+b=0解得k=-1b=3∴y=-x+3∵EF⊥CB設(shè)直線EF的解析式為y=x+b,設(shè)點E的坐標為m,-m將點E坐標代入y=x+b中，得b=-m∴y=x-y=-x+3∴∴F把x=m代入y=-x+3∴G(m,-m+3)∵BG=CF∴B即(m-3)解得m=2或m=-3∵點E是BC上方拋物線上的點∴m=-3舍去∴點E(2,3),F(1,2)EF=FG=∴（3）過點A作AN⊥HB，∵點D(1,4),B(3,0)∴∵點A(-1,0)，點C(0,3)∴y=x+3∴∴H設(shè)yAN=12x+b，把（-1，∴y=y=∴∴N∴A=H∴AN=HN∴∠H=設(shè)點p過點P作PR⊥x軸于點R，在x軸上作點S使得RS=PR∴∠RSP=45°且點S若∠OPB=∠AHB=在△OPS和△OPB中，∠POS=∠POB∴△OPS∽△OPB∴∴O∴∴n=0或n=∴PP【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，涉及到的知識點較多，運算較復(fù)雜，第3問的解題關(guān)鍵在于添加適當?shù)妮o助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想列出方程求解．【變式4-2】（2020·山東日照·九年級二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣2，0)和點B(8，0)，與y軸交于點C(0，﹣8)，連接AC，D是拋物線對稱軸上一動點，連接AD，CD，得到△ACD．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）△ACD周長能否取得最小值，如果能，請求出D點的坐標；如果不能，請說明理由．（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點E，使得△ACE與△ACD面積相等，如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周長能取得最小值，點D(3，﹣5)；（3）存在，點E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)【分析】（1）由拋物線過A(﹣2，0)，點B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）求△ACD周長＝AD+AC+CD，AC是定值，當AD+CD取最小值時，△ACD周長能取得最小值，點A，點B關(guān)于對稱軸直線x＝3對稱，連結(jié)BC交拋物線對稱軸于D，利用待定系數(shù)法可求BC解析式，把x=3代入即可求解點D坐標；（3）△ACE與△ACD面積相等，兩個三角形同底，只要點E與點D到AC的距離相等即可，先求出AC解析式，由面積相等可得DE∥AC，利用待定系數(shù)法可求DE的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組可求解．【詳解】解：（1）由題意可得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周長能取得最小值，∵點A（﹣2，0），點B（8，0），∴對稱軸為直線x＝3，∵△ACD周長＝AD+AC+CD，AC是定值，∴當AD+CD取最小值時，△ACD周長能取得最小值，∵點A，點B關(guān)于對稱軸直線x＝3對稱，∴連接BC交對稱軸直線x＝3于點D，此時AD+CD有最小值，設(shè)直線BC解析式為：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直線BC解析式為：y＝x﹣8，當x＝3，y＝﹣5，∴點D（3，﹣5）；（3）存在，∵點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），∴直線AC解析式為y＝﹣4x﹣8，如圖，∵△ACE與△ACD面積相等，∴DE∥AC，∴設(shè)DE解析式為：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式為：y＝﹣4x+7，聯(lián)立方程組可得：，解得：，，∴點E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．【點睛】本題考查拋物線解析式，三角形最短周長，和面積相等時拋物線上點的坐標問題，會用待定系數(shù)法求解析式，周長最短問題轉(zhuǎn)化線段的和最短問題，會用過找對稱點實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，利用底相同，高相同，轉(zhuǎn)化平行線問題是解題關(guān)鍵．1．（廣東梅州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，-3），動點P在拋物線上．（1）b=_________，c=_________，點B的坐標為_____________；（直接填寫結(jié)果）（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．【答案】（1），，（-1,0）；（2）存在P的坐標是或；（3）當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）【分析】（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標；（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據(jù)垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標．【詳解】解：（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴拋物線的解析式為．∵令，解得：，，∴點B的坐標為（﹣1，0）．故答案為﹣2；﹣3；（﹣1，0）．（2）存在．理由：如圖所示：①當∠ACP1=90°．由（1）可知點A的坐標為（3，0）．設(shè)AC的解析式為y=kx﹣3．∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直線AC的解析式為y=x﹣3，∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．∵將y=﹣x﹣3與聯(lián)立解得，（舍去），∴點P1的坐標為（1，﹣4）．②當∠P2AC=90°時．設(shè)AP2的解析式為y=﹣x+b．∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．∵將y=﹣x+3與聯(lián)立解得=﹣2，=3（舍去），∴點P2的坐標為（﹣2，5）．綜上所述，P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（3）如圖2所示：連接OD．由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點．又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴點P的縱坐標是，∴，解得：x=，∴當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）．2．（2020·湖北武漢·九年級一模）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為D(，－)，經(jīng)過點C(0，－1)，且與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))．(1)求拋物線的解析式：(2)P為拋物線上一點，連CP交OD于點Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P點的橫坐標；(3)點M為直線BC下方拋物線上一點，過M的直線與x軸、y軸分別交于E、F，且與拋物線有且只有一個公共點．若∠FCM＝∠OEF，求點M的坐標．【答案】（1）y＝x2－3x－1；（2）P的橫坐標為；（3）點M的坐標為(，－)或(2，－2)【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）聯(lián)立方程組求解即可；（3）根據(jù)直線EF與拋物線只有一個公共點求出M點橫坐標，設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，即可求出結(jié)論．【詳解】(1)∵拋物線的頂點為D(，－)，設(shè)拋物線的頂點式為y＝a(x－)2－，把C(0，－1)代入，得a(0－)2－＝－1，解得a＝．∴拋物線的解析式為y＝(x－)2－．亦即：y＝x2－3x－1．(2)連OP、DP、CD，由S△COQ＝S△PDQ，得S△OCD＝S△PDC，則CD∥OP．由C(0，－1)、D(，－)，可得直線CD為y＝－x－1．則直線OP的解析式為y＝－x．與拋物線的解析式聯(lián)立，得點P的橫坐標為（舍去負值）．(3)設(shè)直線EF為y＝kx＋b，與拋物線y＝x2－3x－1聯(lián)立，得x2－(k＋3)x－1－b＝0，∵直線EF與拋物線只有一個公共點，∴x1＝x2＝－＝(k＋3)．即M點橫坐標xM＝(k＋3)．∵∠FCM＝∠OEF，可得CM⊥EF，故可設(shè)直線CM的解析式為y＝－x－1，與拋物線聯(lián)立，得：xM＝(3－)．于是得：(k＋3)＝(3－)．解得k＝1或2．∴點M的坐標為(，－)或(2，－2)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式．3．（2020·廣東九年級一模）如圖，拋物線y＝ax2＋2x＋c（a＜0）與x軸交于點A和點B（點A在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)），與y軸交于點C，OB＝OC＝3．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）連接BC，點D是直線BC上方拋物線上的點，連接OD，CD，OD交BC于點F，當S△COF∶S△CDF＝3∶2時，求點D的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)【分析】（1）c＝3，點B(3，0)，將點B的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．【詳解】解：（1）∵OB＝OC＝3．∴c＝3，點B(3，0)，將點B的坐標代入拋物線表達式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2＋2x＋3；（2）如圖，過點D作DH⊥x軸于點H，交AB于點M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，則OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，則DM＝CO＝2，由B、C的坐標得：直線BC的表達式為：y＝﹣x＋3，設(shè)點D(x，﹣x2＋2x＋3)，則點M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故點D(1，4)或(2，3)．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準確計算是解題的關(guān)鍵．4．（2020·福建南平·九年級二模）已知拋物線y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）與x軸交于點A、B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C．（1）直接寫出點B、C的坐標；（用含m的式子表示）（2）若拋物線與直線y＝x交于點E、F，且點E、F關(guān)于原點對稱，求拋物線的解析式；（3）若點P是線段AB上一點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線AC于點N，當線段MN長的最大值為時，求m的取值范圍．【答案】（1）B（m，0），C（0，）；（2）；（3）0＜m≤．【分析】（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，即可求解；（2）設(shè)點E，F(xiàn)的坐標分別為（a，），（﹣a，），將點E、F的坐標，代入二次函數(shù)表達式即可求解；（3）分﹣5≤t≤0、0＜t≤m，兩種情況分別求解即可．【詳解】解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，則y＝，令y＝0，則x＝﹣5或m，故：B（m，0），C（0，）；（2）設(shè)點E，F(xiàn)的坐標分別為（a，），（﹣a，），代入，得，解得：（m﹣5）a＝a，∵a≠0，∴m＝6，∴拋物線的解析式為；（3）依題意得A（﹣5，0），C（0，），由m＞0，設(shè)過A，C兩點的一次函數(shù)解析式是y＝kx+b，將A，C代入，得解得∴過A，C兩點的一次函數(shù)解析式是，設(shè)點P（t，0），則﹣5≤t≤m（m＞0），∴M（t，），N（t，）．①當﹣5≤t≤0時，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開口向下，又對稱軸是直線，∴當時，MN的長最大，此時MN＝，②當0＜t≤m時，∴MN＝＝，∵，∴該二次函數(shù)圖象開口向上，又對稱軸是直線，∴當0＜t≤m時，MN的長隨t的增大而增大，∴當t＝m時，MN的長最大，此時MN＝，∵線段MN長的最大值為，∴，整理得：，由圖象可得：≤m≤∵m＞0，∴m的取值范圍是0＜m≤．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)、與x軸、y軸交點坐標、一次函數(shù)圖象性質(zhì)、原點對稱、線段最值、分類討論法等知識，是重要考點，綜合性較強，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2018·四川眉山·中考真題）如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點A作AC∥x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點，設(shè)其橫坐標為m.（1）求拋物線的解析式；（2）若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當m為何值時，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值；（3）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當m=時，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點的坐標為：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用對稱性可得點D的坐標，利用交點式可得拋物線的解析式；（2）設(shè)P（m，m2-4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示PG的長，根據(jù)面積和可得四邊形AOPE的面積，利用配方法可得其最大值；（3）存在四種情況：如圖3，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)OM=PN列方程可得點P的坐標；同理可得其他圖形中點P的坐標．詳解：（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PG∥y軸，交OE于點G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴當m=時，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐標為（，）或（，）；如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標為（，）或（，）；綜上所述，點P的坐標是：（，）或（，）或（，）或（，）．點睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時需要運用配方法，解第（3）問時需要運用分類討論思想和方程的思想解決問題．6．（2018·湖南懷化·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；直線AC的解析式為y=3x+3；（2）點M的坐標為（0，3）；（3）符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣），【解析】分析：（1）設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），展開得到-2a=2，然后求出a即可得到拋物線解析式；再確定C（0，3），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標為（1，4），作B點關(guān)于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（-3，0），利用兩點之間線段最短可判斷此時MB+MD的值最小，則此時△BDM的周長最小，然后求出直線DB′的解析式即可得到點M的坐標；（3）過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，利用兩直線垂直一次項系數(shù)互為負倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b，把C點坐標代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3，再解方程組得此時P點坐標；當過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P時，利用同樣的方法可求出此時P點坐標．詳解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4），作B點關(guān)于y軸的對稱點B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時MB+MD的值最小，而BD的值不變，∴此時△BDM的周長最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當x=0時，y=x+3=3，∴點M的坐標為（0，3）；（3）存在．過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，）；過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時P點坐標為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點P的坐標為（，）或（，﹣）.點睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解兩直線垂直時一次項系數(shù)的關(guān)系，通過解方程組求把兩函數(shù)的交點坐標；理解坐標與圖形性質(zhì)，會運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．7．（2020·四川中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點C的坐標，根據(jù)點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點的坐標，從而得G和H的坐標，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長，直接代入計算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設(shè)點P的縱坐標為m，當y=m時，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點P的坐標為（1﹣，m），點Q的坐標為（1+，m），∴點G的坐標為（1﹣，0），點H的坐標為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當四邊形PGHQ為正方形時，邊長為6+2或2﹣6；（3）如圖3，設(shè)點D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當x=2時，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點D運動過程中，3NE+NF為定值4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長，可解決問題．8．（2020·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過坐標原點，與x軸正半軸交于點A，該拋物線的頂點為M，直線經(jīng)過點A，與y軸交于點B，連接．（1）求b的值及點M的坐標；（2）將直線向下平移，得到過點M的直線，且與x軸負半軸交于點C，取點，連接，求證：：（3）點E是線段上一動點，點F是線段上一動點，連接，線段的延長線與線段交于點G．當時，是否存在點E，使得？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）詳見解析；（3）點E的坐標為（，）.【分析】（1）將配方后可得頂點M的坐標，利用求出點A的坐標后代入即可求出b的值；（2）先求出平移后的直線CM的解析式為y=-x，過點D作DH⊥直線y=-x，得到直線DH的解析式為y=2x-4，根據(jù)求出交點H（1，-2），分別求得DH=，DM=，根據(jù)sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系得到結(jié)論；（3）過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，先求出AB=，根據(jù)得到∠BAO=∠AFE，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，證明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再證△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，將x=代入中，得y=，即可得到點E的坐標.【詳解】（1）∵=，∴頂點M的坐標為（3，-3）.令中y=0，得x1=0，x2=6，∴A（6,0），將點A的坐標代入中，得-3+b=0，∴b=3；（2）∵由平移得來，∴m=-，∵過點M(3，-3),∴，解得n=，∴平移后的直線CM的解析式為y=-x.過點D作DH⊥直線y=-x，∴設(shè)直線DH的解析式為y=2x+k，將點D（2,0）的坐標代入，得4+k=0，∴k=-4，∴直線DH的解析式為y=2x-4.解方程組，得，∴H（1，-2）.∵D(2，0)，H(1，-2)，∴DH=，∵M(3，-3)，D（2,0）,∴DM=，∴sin∠DMH=，∴∠DMH=45°，∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，∴；（3）存在點E，過點G作GP⊥x軸，過點E作EQ⊥x軸，∵A(6，0)，B（0,3）,∴AB=.∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，∴∠BAO=∠AFE，∴AE=EF，∵，∴，設(shè)GF=4a，則AE=EF=3a，∵EQ⊥x軸，∴EQ∥OB，∴△AEQ∽△ABO，∴，∴，∴AQ=a，∴AF=a.∵∠AFE=∠PFG，∴△FGP∽△AEQ，∴,∴FP=a，∴OP=PG=，∴+a+a=6,解得a=，∴AQ=,∴OQ=，將x=代入中，得y=，∴當時，存在點E，使得，此時點E的坐標為（，）.【點睛】此題考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)平移的性質(zhì)，兩個一次函數(shù)交點坐標與方程組的關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)定理，是一道拋物線的綜合題，較難.9．（2020·福建廈門一中九年級其他模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD為平行四邊形，點A在y軸上且在B的下方，B(0，3)，且點C，點D在第一象限．（1）若點A(0，1)，點D(2，2)，求點C的坐標；（2）若點C在直線y＝0.5x+3上，①若CD＝BC，點D在拋物線y＝x2﹣x+3上，求點C的坐標；②若CD＝BC，拋物線y＝x2﹣ax+4﹣a經(jīng)過點D、E，與y軸交于點F，若點E在直線BD上，求的最大值．【答案】（1）D(2，4)；（2）①C(3+，)或(3﹣，)，②【分析】（1）由點A、B的坐標知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；（2）①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，則1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）由點A、B的坐標知，AB＝3﹣1＝2＝CD，故點D（2，4）；（2）如圖，設(shè)C（m，m+3），則D（m，m2﹣m+3），①作BH⊥CD于H，則D（m，m2﹣m+3），則CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，故C（3+，）或（3﹣，）；②∵y＝x+3，BH＝m，∴BC＝m．CD＝CB＝m，又CD∥y軸，∴D（m，m2﹣am+4﹣a），由點B、D的坐標得，直線DB解析式：y＝x+3，解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，解得：x＝m或x＝，即，而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，解得：m＝1或m＝1﹣a．（I）當m＝1時，C（1，），D（1，），F(xiàn)（0，4﹣a），xE＝1﹣a，則S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），而S?ABCD＝BH?CD＝1×＝，故S△DEF﹣S?ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故S△DEF﹣S?ABCD沒有最大值；（II）當m＝1﹣a時，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），則F（0，4﹣a），xE＝1，而S△DEF＝BF?（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S?ABCD＝BH?CD＝（1﹣a）?（1﹣a）＝（1﹣a）2，∴S△DEF﹣S?ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，∴S△DEF﹣S?ABCD的最大值為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2020·河南九年級二模）如圖①，在平面直角坐標系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點A在y軸上，坐標為（0，－1），另一頂點B坐標為（－2，0），已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過B、C兩點．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標系中，使直尺的邊A'D'∥y軸且經(jīng)過點B，直尺沿x軸正方向平移，當A'D'與y軸重合時運動停止．（1）求點C的坐標及二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）若運動過程中直尺的邊A'D'交邊BC于點M，交拋物線于點N，求線段MN長度的最大值；（3）如圖②，設(shè)點P為直尺的邊A'D'上的任一點，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點，試探究：在直尺平移的過程中，當PQ＝時，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點P與拋物線的位置關(guān)系．（說明：點與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點A在拋物線內(nèi)，點C在拋物線上，點D'在拋物線外．）【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．【詳解】試題分析：（1）求C點坐標，考慮作x，y軸垂線，表示橫縱坐標，易得△CDA≌△AOB，所以C點坐標易知．進而拋物線解析式易得．（2）橫坐標相同的兩點距離，可以用這兩點的縱坐標作差，因為兩點分別在直線BC與拋物線上，故可以利用解析式，設(shè)橫坐標為x，表示兩個縱坐標．作差記得關(guān)于x的二次函數(shù)，利用最值性質(zhì)，結(jié)果易求．（3）計算易得，BC=，因為Q為BC的中點，PQ=恰為半徑，則以作圓，P點必在圓上．此時連接PB，PC，PA，因為BC為直徑，故BP2+CP2=BC2為定值，而PA不固定，但不超過BC，所以易得結(jié)論BP2+CP2≥PA2，題目要求考慮三種情況，其中P在拋物線上時，P點只能與B或C重合，此時，PA，PB，PC可求具體值，則有等量關(guān)系．試題解析：（1）如圖1，過點C作CD⊥y軸于D，此時△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．將B（-2，0），C（-1，-3）代入拋物線y=x2+bx+c，解得b=，c=-3，∴拋物線的解析式為y=x2+x-3．（2）設(shè)lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴l(xiāng)BC：y=-3x-6，設(shè)M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（記為x），yM≥yN，∴線段MN長度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴當x=-時，線段MN長度為最大值．（3）答：P在拋物線外時，BP2+CP2≥PA2；P在拋物線上時，BP+CP=AP；P在拋物線內(nèi)，BP2+CP2≥PA2．分析如下：如圖2，以Q點為圓心，為半徑作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴點B、A、C都在⊙Q上．①P在拋物線外，如圖3，圓Q與BD′的交點即為點P，連接PB，PC，PA，延長PC交y軸于點D∵BC為直徑，∴∠BPC=90°∵BD′與y軸平行∴∠ADC=90°，且D點為拋物線與y軸交點∴PD∥x軸易得PC=1，PB=3，PA=2∴BP+CP=AP．②P在拋物線上，此時，P只能為B點或者C點，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．③P在拋物線內(nèi)，有兩種情況，如圖4，5，如圖4，在PC上取BP=PT，∵BC為直徑，∴∠BPC=90°∴△BPT為等腰直角三角形∴∠PBT=45°=∠1+∠2∵∠ABC=∠3+∠2=45°∴∠1=∠3∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）∴△BPA∽△BTC∴∵PC=PT+CT∴PC=PT+PA=PB+PA∴PC-PB=PA同理，如圖5，也可得PB-PC=PA．考點：二次函數(shù)綜合題．11．（2020·湖北武漢·九年級其他模擬）拋物線與軸交于點，，與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，直線交拋物線于另一點，過點作軸于點，過點作交于點．求證：軸；（3）如圖2，，為拋物線上兩點，直線，交軸于點，，，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最小值為1．【分析】（1）把點，代入解析式構(gòu)建方程組求解即可；（2）由題易得，設(shè)，則，，然后根據(jù)在平面直接坐標系里兩條直線平行時，進行求解即可；（3）設(shè)直線的解析式為：，直線的解析式為，直線的解析式為，由題意得，，進而可得，然后把三角形的面積表示出來利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵過，∴解得．∴拋物線的解析式為．（2）當時，．∴設(shè)，則，，∴，．∴，，∴，∵，∴設(shè)，則，．∴．設(shè)直線，∴，，∴．由得∵，∴軸．（3）設(shè)直線的解析式為：，由得，．∴，∴．設(shè)直線的解析式為，同理可得：，∴．設(shè)直線的解析式為，由得．∴，．∵，∴，，，，∴直線．不論為何值，當時，，∴直線過點．∵，，∴軸，，∴的最小值為1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到二次函數(shù)的表達式，然后利用一次函數(shù)的知識點進行求解問題即可．12．（2020·廣東深圳·九年級其他模擬）如下圖，拋物線與軸正半軸交于點，過點作直線軸，點是拋物線在第一象限部分上的一動點，連接并延長交直線于點，連接并延長交軸于點，過點作軸，垂足為，連接．設(shè)．（1）請直接寫出點坐標并求出的最大值；（2）如圖1，隨著點的運動，的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的值；（3）連接，如圖2，則當點位于何處時，點到直線的距離最大？請你求出此時點的坐標．【答案】（1）A點坐標為，4；（2）不會發(fā)生變化，理由見解析，；（3）點坐標為【分析】（1）根據(jù)P點的坐標得到，根據(jù)即可得到結(jié)果；（2）由（1）知：，，，根據(jù)計算即可；（3）取的中點，過作軸的垂線，垂足為，交直線于點，得矩形；連接，得到，在根據(jù)題意得，聯(lián)立方程計算即可；【詳解】解：（1）A點坐標為．∵，∴點坐標為∴．又，．∴．∴．∴的最大值為4．（2）的值不會發(fā)生變化理由如下：由（1）知：，，．所以，，，，．又，，．∴，∴．（3）如下左圖，取的中點，過作軸的垂線，垂足為，交直線于點，得矩形；連接．易得，∴．∴．由（2）知，．∴．又，∴點的坐標為．即，直線繞定點在旋轉(zhuǎn)．如上右圖，表示的任一位置，長是點到它的距離．則，∵，∴的最大值等于．顯然，獲得最大值的條件是．∵此時，易得，此時，，從而，得．∴此時，點坐標為∴直線的解析式為：．由得，（舍）．故，此時點坐標為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，準確計算是解題的關(guān)鍵．13．（2020·廣東九年級一模）如圖，拋物線與軸交于點，對稱軸為直線平行于軸的直線與拋物線交于兩點，點在對稱軸左側(cè)，．（1）求此拋物線和直線的解析式；（2）點在軸上，直線將三角形面積分成兩部分，求點的坐標．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)對稱軸直線求出b，把點代入拋物線解析式求出c，即可求出拋物線解析式，根據(jù)拋物線對稱性和搶救車點B坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）作出直線與交于點，過作軸，與軸交于點與軸交于點，得到進而得到，根據(jù)直線將面積分成兩部分，分別得到或兩種情況，分別求出Q橫坐標，進而求出Q坐標，直線CQ解析式，即可求出點P坐標．【詳解】解：由題意得：，解得：，則此拋物線的解析式為；拋物線對稱軸為直線，橫坐標為橫坐標為，把代入拋物線解析式得：，設(shè)直線解析式為，把坐標代入得：即直線解析式為（2）作出直線與交于點，過作軸，與軸交于點與軸交于點，可得，點在軸上，直線將面積分成兩部分，或，即或，或，當時，把代入直線解析式得：此時，直線解析式為，令，得到，即；當時，把代入直線解析式得：，此時，直線解析式為，令得到此時，綜上，的坐標為或．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，綜合性強，難度大．熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)，深刻理解坐標系內(nèi)求點的坐標方法，添加輔助線構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵．14．（2020·湖北九年級一模）如圖．拋物線交軸于兩點．其中點坐標為，與軸交于點．求拋物線的函數(shù)表達式；如圖①，連接．點在拋物線上﹐且滿足．求點的坐標；如圖②，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線分別交拋物線的對稱軸于點，求的值．【答案】（1）；（2）點的坐標為或；（3）8【分析】（1）把點A、C坐標代入拋物線解析式即求得b、c的值．（2）點P可以在x軸上方或下方，需分類討論．①若點P在x軸下方，延長AP到H，使AH＝AB構(gòu)造等腰△ABH，作BH中點G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函數(shù)值，求BG、BH的長，進而求得H的坐標，求得直線AH的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點P坐標．②若點P在x軸上方，根據(jù)對稱性，AP一定經(jīng)過點H關(guān)于x軸的對稱點H'，求得直線AH'的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點P坐標．（3）設(shè)點Q橫坐標為t，用t表示直線AQ、BN的解析式，把x＝?1分別代入即求得點M、N的縱坐標，再求DM、DN的長，即得到DM＋DN為定值．【詳解】解：拋物線經(jīng)過點解得拋物線的函數(shù)表達式為①若點在軸下方，如圖1延長到，使，過點作軸，連接，作中點，連接并延長交于點，過點作于點當，解得中，為中點，即在中，中，，即設(shè)直線解析式為解得直線解得（即點），②若點在軸上方，如圖2，在上截取，則于關(guān)于軸對稱設(shè)直線解析式為解得直線解得（即點），、綜上所述，點的坐標為或為定值拋物線的對稱軸為，直線設(shè)設(shè)直線解析式為解得直線當時，設(shè)直線解析式為解得直線當時，，為定值．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程、二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．第（2）題由于不確定點P位置需分類討論；（2）（3）計算量較大，應(yīng)認真理清線段之間的關(guān)系再進行計算．15．（2020·貴陽清鎮(zhèn)北大培文學校九年級其他模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝－x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標．【答案】（1）；（2），時有最大值；（3）或或或．【分析】（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用三點法求解函數(shù)解析式．（2）設(shè)出M點的坐標，利用S＝S△AOM＋S△OBM?S△AOB即可進行解答；（3）當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應(yīng)該重合．【詳解】解：（1）設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，將，，三點代入函數(shù)解析式得：，解得，所以此函數(shù)解析式為：；（2）∵點的橫坐標為，且點在這條拋物線上，∴點的坐標為：，∴∵，當時，有最大值為：．答：時有最大值．（3）設(shè)．當為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，∴的橫坐標等于的橫坐標，又∵直線的解析式為，則．由，得，解得，，．（不合題意，舍去）如圖，當為對角線時，知與應(yīng)該重合，．

四邊形為平行四邊形則，橫坐標為4，代入得出為．由此可得或或或．【點睛】本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．16．（2020·山東煙臺·九年級其他模擬）如圖，拋物線y=ax2+x+c的圖象與x軸交于A（-3，0），B兩點，與y軸交于點C（0，-2），連接AC．點P是x軸上的動點．（1）求拋物線的表達式；（2）過點P作x軸的垂線，交線段AC于點D，E為y軸上一點，連接AE，BE，當AD=BE時，求AD+AE的最小值；（3）點Q為拋物線上一動點，是否存在點P，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）4；（3）存在，點P的坐標為（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．【分析】（1）將A、C兩點代入，利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達式；（2）由AD=BE，將AD+AE轉(zhuǎn)化為BE+AE，通過兩點之間線段最短即可得解；（3）分情況討論，AC為平行四邊形的對角線、AQ為對角線、AP為對角線三種情況討論．【詳解】（1）將A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，，解得，∴拋物線的表達式為；（2）令，解得x=-3或1，∴點B的坐標為（1，0），當AD=BE時，AD+AE=BE+AE，∴當A、E、B三點共線時，BE+AE最小，最小值為AB的長，∴當AD=BE時，AD+AE的最小值為AB=1-(-3)=4；（3）存在．設(shè)點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，），①若AQ為平行四邊形的對角線，則PA=QC，QC∥x軸，如圖①，∴-3-m=0-n，，解得n=-2或0（舍去），∴m=-5，∴點P的坐標為（-5，0）；②若AP為對角線，則AC=PQ，如圖②所示，即m-n=3，，解得n=-1+或-1-，∴m=2+或2-，∴點P的坐標為（2+，0）或（2-，0）；③當AC是平行四邊形的對角線時，則AQ=PC，如圖③，即m-（-3）=0-n，，解得n=-2或0（舍去），∴m=-1，∴點P的坐標為（-1，0）．綜上所述，點P的坐標為（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．第(3)問需分類討論，以防遺漏．17．（2020·河南九年級二模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，且．（1）求，的值．（2）點為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，設(shè)點的橫坐標為，線段的長為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一動點，當時，是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）的值為，的值為；（2）與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3）存在滿足題意的點，點的橫坐標為或．【分析】（1）本題根據(jù)題意得出點B、點C坐標后，將點代入二次函數(shù)解析式即可求解．（2）本題首先利用函數(shù)解析式表示P點坐標，繼而分別求解PK、AK長度，進一步以正切三角函數(shù)作為中介求解OD，最后利用邊長關(guān)系即可求解本題．（3）本題首先根據(jù)已知求解△APQ的面積，繼而求解點D坐標與直線AP解析式，進一步分類討論點Q所在位置，求解手段是做輔助線并利用函數(shù)表示MQ