整式的乘法綜合復(fù)習(xí)講義(按知識(shí)點(diǎn))

整式的乘法綜合復(fù)習(xí)講義（按知識(shí)點(diǎn)）1．同底數(shù)冪的乘法(1)法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．(2)符號(hào)表示：am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))．(3)拓展：①當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有同樣的性質(zhì)，即am·an·…·ar＝am＋n＋…＋r(m，n，…，r都是正整數(shù))．②法則可逆用，即am＋n＝am·an(m，n都是正整數(shù))．談重點(diǎn)同底數(shù)冪的特征“同底數(shù)冪”是指底數(shù)相同的冪，等號(hào)左邊符合幾個(gè)同底數(shù)冪相乘，等號(hào)右邊，即結(jié)果為一個(gè)冪．注意不要忽視指數(shù)為1的因式．【例1】計(jì)算：(1)103×106；(2)(－2)5×(－2)2；(3)an＋2·an＋1·a；(4)(x＋y)2(x＋y)3.分析：(1)中的兩個(gè)冪的底數(shù)是10；(2)中的兩個(gè)底數(shù)都是－2；(3)中的三個(gè)冪的底數(shù)都是a；這三道題可以直接用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算．(4)要把x＋y看作一個(gè)整體，再運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則．解：(1)103×106＝103＋6＝109；(2)(－2)5×(－2)2＝(－2)5＋2＝－27；(3)an＋2·an＋1·a＝an＋2＋n＋1＋1＝a2n＋4；(4)(x＋y)2(x＋y)3＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5.2．冪的乘方(1)法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．(2)符號(hào)表示：(am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))．(3)拓展：①法則可推廣為[(am)n]p＝amnp(m，n，p都是正整數(shù))②法則可逆用：amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整數(shù))警誤區(qū)冪的乘方的理解不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆．冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法，是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)．【例2】計(jì)算：(1)(102)3；(2)(am)3；(3)[(－x)3]2；(4)[(y－x)4]2.分析：解決本題的關(guān)鍵是要分清底數(shù)、指數(shù)是什么，然后再運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，如(2)中的底數(shù)是a，(3)中的底數(shù)是－x，(4)中的底數(shù)是y－x.解：(1)(102)3＝102×3＝106；(2)(am)3＝a3m(3)[(－x)3]2＝(－x)3×2＝x6；(4)[(y－x)4]2＝(y－x)4×2＝(y－x)8.3.積的乘方(1)法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．(2)符號(hào)表示：(ab)n＝anbn(n為正整數(shù))．(3)拓展：①三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)的乘積，也適用這一法則，如：(abc)n＝anbncn.a，b，c可以是任意數(shù)，也可以是冪的形式．②法則可逆用：anbn＝(ab)n.(n為正整數(shù))．警誤區(qū)積的乘方的易錯(cuò)點(diǎn)運(yùn)用積的乘方法則易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：(1)漏乘因式；(2)當(dāng)每個(gè)因式再乘方時(shí)，應(yīng)該用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)相乘，而結(jié)果算式為指數(shù)相加；(3)系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤．【例3】計(jì)算：(1)(－xy)3；(2)(x2y)2；(3)(2×102)2；(4)(－eq\f(2,3)ab2)2.解：(1)(－xy)3＝(－1)3x3y3＝－x3y3；(2)(x2y)2＝(x2)2·y2＝x4y2；(3)(2×102)2＝22×(102)2＝4×104；(4)(－eq\f(2,3)ab2)2＝(－eq\f(2,3))2a2(b2)2＝eq\f(4,9)a2b4.4．單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．談重點(diǎn)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式要注意的三點(diǎn)運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時(shí)要注意：(1)在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先確定積的符號(hào)；(2)注意按運(yùn)算順序進(jìn)行；(3)不要丟掉只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母．【例4】下列計(jì)算正確的是()．A．3x3·2x2y＝6x5 B．2a2·3a3＝C．(2x)3·(－5x2y)＝－10x5y D．(－2xy)·(－3x2y)＝6x3y解析：A結(jié)果漏掉了字母“y”，C結(jié)果應(yīng)為－40x5y，D結(jié)果應(yīng)為6x3y2.答案：B5．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則的理解單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，其實(shí)質(zhì)就是乘法分配律的應(yīng)用，將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，再轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘．所以熟練掌握同底數(shù)冪乘法和單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，是學(xué)好單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，運(yùn)算時(shí)可以此來(lái)檢驗(yàn)運(yùn)算中是否漏乘．【例5】計(jì)算：(1)(－3ab)(2a2b－ab(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×＝－6a3b2＋3a2b2－6(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)＝－4x2＋11x.6．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．即(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn.警誤區(qū)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的注意點(diǎn)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；(2)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類(lèi)項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積；(3)相乘后，若有同類(lèi)項(xiàng)應(yīng)該合并．【例6】計(jì)算：(1)(5a－2b)(2a＋(2)(a2－a＋1)(a＋1)．解：(1)(5a－2b)(2a＋＝5a·2a＋5a·b－2b·2a＝10a2＋5ab－4ab－2b＝10a2＋ab－2b2(2)(a2－a＋1)(a＋1)＝a2·a＋a2·1－a·a－a·1＋1·a＋1＝a3＋a2－a2－a＋a＋1＝a3＋1.7.同底數(shù)冪的除法(1)法則同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．(2)符號(hào)表示am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m＞n)．(3)注意①應(yīng)用法則時(shí)，必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么，然后按同底數(shù)冪相除的法則計(jì)算；②運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算順序，同時(shí)還要注意指數(shù)為“1”的情況，如：m5÷m＝m5－1，而不是m5÷m＝m5－0(4)0次冪任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即a0＝1(a≠0)．談重點(diǎn)同底數(shù)冪的除法法則的理解運(yùn)用同底數(shù)冪相除應(yīng)注意：(1)適用范圍：兩個(gè)冪的底數(shù)相同，且是相除的關(guān)系，被除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底數(shù)不能為0；(2)底數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；(3)該法則對(duì)于三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪相除仍然成立．【例7】計(jì)算：(1)a4÷a2；(2)(－x)5÷x3；(3)xn＋3÷xn；(4)(x＋1)4÷(x＋1)．解：(1)a4÷a2＝a4－2＝a2；(2)(－x)5÷x3＝－x5÷x3＝－x5－3＝－x2；(3)xn＋3÷xn＝xn＋3－n＝x3；(4)(x＋1)4÷(x＋1)＝(x＋1)4－1＝(x＋1)3.8．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．(2)步驟①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對(duì)于只在被除式里含有的字母的處理(連同指數(shù)作為商的一個(gè)因式)．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式．【例8】計(jì)算：(1)(－0.5a2bc2)÷(－eq\f(2,5)ac2)；(2)(6×108)÷(3×105)；(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.解：(1)(－0.5a2bc2)÷(－eq\f(2,5)ac2)＝[(－eq\f(1,2))×(－eq\f(5,2))]a2－1bc2－2＝eq\f(5,4)ab；(2)(6×108)÷(3×105)＝(6÷3)×108－5＝2×103；(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2＝36x4y6÷9x2y4＝(36÷9)x4－2y6－4＝4x2y2.9．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．(2)注意①多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式來(lái)解決；②運(yùn)算時(shí)不能漏項(xiàng)；③運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的變化．警誤區(qū)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的注意點(diǎn)(1)要注意商的符號(hào)，應(yīng)弄清多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號(hào)，相除時(shí)要帶著符號(hào)與單項(xiàng)式相除；(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可以用其進(jìn)行檢驗(yàn)．【例9】計(jì)算：(1)(6c2d－c3d3)÷(－2c2(2)(24m3n－16m2n2＋mn解：(1)(6c2d－c3d3)÷(－2c2＝(6c2d)÷(－2c2d)－(c3d3)÷(－2c＝－3＋eq\f(1,2)cd2；(2)(24m3n－16m2n2＋mn＝(24m3n)÷(－8m)－(16m2n2)÷(－8m＝－3m2n＋2mn2－eq\f(1,8)n3.10．整式乘法中的化簡(jiǎn)求值整式乘法運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值題的主要步驟有：(1)按照題目規(guī)定的運(yùn)算順序，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)；(2)將對(duì)應(yīng)的字母數(shù)值代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算；(3)注意代入時(shí)，不要代錯(cuò)，在求值時(shí)，式子的運(yùn)算符號(hào)和順序都不變．11．冪的運(yùn)算法則的逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則是以等式形式出現(xiàn)的，受思維定勢(shì)的影響，習(xí)慣于從左邊到右邊運(yùn)用它，而忽視從右邊到左邊的應(yīng)用，即逆向運(yùn)用運(yùn)算法則．其實(shí)，有些問(wèn)題如果逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)，解題會(huì)更加簡(jiǎn)捷．(1)am＋n＝am·an(m，n都是正整數(shù))．(2)amn＝(am)n(m，n都是正整數(shù))．(3)anbn＝(ab)n(n為正整數(shù))．12．整式的混合運(yùn)算在學(xué)習(xí)了整式的加減、乘除，乘法公式以后，就可以進(jìn)行整式的混合運(yùn)算了．整式的混合運(yùn)算用到的知識(shí)點(diǎn)比較多，除了整式加減、乘除，乘法公式，還要用到去括號(hào)、乘法分配律等．談重點(diǎn)整式的混合運(yùn)算的認(rèn)識(shí)進(jìn)行整式的混合運(yùn)算首先要注意弄清運(yùn)算順序，先算什么再算什么，然后注意每一步運(yùn)算所用到的法則、公式等要準(zhǔn)確無(wú)誤．【例10】當(dāng)y＝－eq\f(1,6)時(shí)，求代數(shù)式y(tǒng)(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)的值．解：y(y2－6y＋9)－y(y2－8y－15)＋2y(3－y)＝y(tǒng)3－6y2＋9y－y3＋8y2＋15y＋6y－2y2＝30y，當(dāng)y＝－eq\f(1,6)時(shí)，原式＝30y＝30×(－eq\f(1,6))＝－5.【例11－1】計(jì)算：(－eq\f(3,10))2014·(3eq\f(1,3))2014.解：(－eq\f(3,10))2014·(3eq\f(1,3))2014＝(－eq\f(3,10)×eq\f(10,3))2014＝(－1)2014＝1.【例11－2】已知：3m＝6,9n＝2，求32m解：32m＋4n＝32m·34n＝(3m)2＝(3m)2·(9n)＝62×22＝36×4＝144.【例12】先化簡(jiǎn)，再求值：[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中，x＝－eq\f(1,2)，y＝2.解：原式＝[x2－y2－(x2－2xy＋y2)＋2xy－2y2]÷(－2y)＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y)＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x，當(dāng)x＝－eq\f(1,2)，y＝2時(shí)，原式＝2y－2x＝2×2－2×(－eq\f(1,2))＝4－(－1)＝5.13．整式乘法中的開(kāi)放型問(wèn)題結(jié)論開(kāi)放與探索：給出問(wèn)題的條件，根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，或者相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”需要進(jìn)行推斷，甚至探求條件在變化中的結(jié)論，這些問(wèn)題都是結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題．它要求充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，這類(lèi)題主要考查我們的發(fā)散性思維和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力．14．與整式除法有關(guān)的求值問(wèn)題這類(lèi)與整式的除法有關(guān)的求值問(wèn)題，采用傳統(tǒng)的方法很難求解，此時(shí)需根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活變形采用整體代入法求解．首先應(yīng)認(rèn)真觀察題目的特點(diǎn)，或者先將求值的式子化簡(jiǎn)再求值，或者同時(shí)將已知式和求值式化簡(jiǎn)．【例13】若a，b，k均為整數(shù)且滿(mǎn)足等式(x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，寫(xiě)出兩個(gè)符合條件的k的值．解：因?yàn)?x＋a)(x＋b)＝x2＋kx＋36，所以x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋kx＋36，根據(jù)等式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝a＋b，,ab＝36.))又因?yàn)閍，b，k均為整數(shù)，36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6＝(－1)×(－36)＝(－2)×(－18)＝(－3)×(－12)＝(－4)×(－9)＝(－6)×(－6)，所以a，b對(duì)應(yīng)的值共有10對(duì)，從而求出a＋b的值，即k的值有10個(gè)，分別為±37，±20，±15，±13，±12.只要寫(xiě)出其中的兩個(gè)即可．【例14】已知x2－5x＋1＝0，求x2＋eq\f(1,x2)的值．解：將x＝0代入x2－5x＋1得該式子的值不等于0，故x2－5x＋1＝0中的x≠0，則x2－5x＋1＝0兩邊都除以x得，x＋eq\f(1,x)－5＝0，即x＋eq\f(1,x)＝5，又x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2，將x＋eq\f(1,x)＝5代入可得x2＋eq\f(1,x2)＝52－2＝23.整式乘法全章綜合練習(xí)一、選擇題1、計(jì)算下列各式結(jié)果等于5的是（）A、B、Ｃ、Ｄ、2、下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()．A．(－2x)3＝－2x3B．－a2·a＝－a3C．(－x)9＋(－x)9＝－2x9D．(－2a3)23、下面是某同學(xué)的作業(yè)題：eq\o\ac(○,1)3a+2b=5abeq\o\ac(○,2)4m3n-5mn3=-m3neq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,4)4a3b÷(-2a2b)=-2aeq\o\ac(○,5)(a3)2=a5eq\o\ac(○,6)(-a)3÷(-a)=-a2其中正確的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、3D、44、若(2x－1)0＝1，則()．A．x≥ B．x≠C．x≤ D．x≠5、若（＋m）（x－8）中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為（）A、8B、－8C、0D、8或－6、化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．0B．C．D．7、下列各式的積結(jié)果是－3x4y6的是()．A．·(－3xy2)3B．·(－3xy2)3C．·(－3x2y3)2D．·(－3xy3)28、如果a2m－1·am＋2＝a7，則m的值是()．A．2 B．3 C．4 D．59、210＋(－2)10所得的結(jié)果是()．A．211 B．－211 C．－210、計(jì)算()2003×1.52002×(-1)2004的結(jié)果是()A、 B、 C、- D、-11、(－5x)2·xy的運(yùn)算結(jié)果是()．A、10B、－10C、－2x2yD、2x2y12、(x－4)(x＋8)＝x2＋mx＋n則m，n的值分別是()．A．4,32 B．4，－32 C．－4,32 13、當(dāng)成立，則（）A、m、n必須同時(shí)為正奇數(shù)B、m、n必須同時(shí)為正偶數(shù)C、m為奇數(shù)D、m為偶數(shù)。14、的值是（）A、1B、－1C、0D、15、若，，則等于（）A、－5B、－3C、－1D、116、如果，，，那么（）A、＞＞B、＞＞C、＞＞D、＞＞17、若，則有（）A、B、C、