2023屆廣東省南海中學(xué)等七校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓C的半徑為2，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點P，并以P為中點作弦AB，則弦長的概率為A． B． C． D．2．下列命題中正確的是（）A． B．C． D．3．在中，設(shè)角，，的對邊分別是，，，且，則一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對于函數(shù)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則稱函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：①，②，③；④，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④6．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．7．若直線與直線互相平行，則的值為（）A．4 B． C．5 D．8．已知是非零向量，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．9．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人，高三學(xué)生人，現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，則下列判斷正確的是（）A．高一學(xué)生被抽到的可能性最大 B．高二學(xué)生被抽到的可能性最大C．高三學(xué)生被抽到的可能性最大 D．每位學(xué)生被抽到的可能性相等10．直線l：x+y﹣1＝0與圓C：x2+y2＝1交于兩點A、B，則弦AB的長度為（）A．2 B． C．1 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則與的夾角等于____.12．已知數(shù)列滿足，，則_______；_______.13．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結(jié)構(gòu)解決如下問題:若三個正實數(shù)，滿足,，，則_______.14．已知，，且，則__________．15．如果事件A與事件B互斥，且，，則＝．16．在中，，，面積為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區(qū)開設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù)，該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設(shè)分店的個數(shù)，y表示這個x個分店的年收入之和.(1)該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關(guān)系為，請結(jié)合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開設(shè)多少個分店時，才能使A區(qū)平均每個分店的年利潤最大?(參考公式:，其中，)18．如圖，直三棱柱中，，，，，為垂足.（1）求證：（2）求三棱錐的體積.19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）當(dāng)時，判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.20．在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．21．（1）若關(guān)于x的不等式2x＞m（x2+6）的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求不等式5mx2+x+3＞0的解集．（2）若2kx＜x2+4對于一切的x＞0恒成立，求k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

先求出臨界狀態(tài)時點P的位置，若，則點P與點C的距離必須大于或等于臨界狀態(tài)時與點C的距離，再根據(jù)幾何概型的概率計算公式求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)時，此時,若，則點P必須位于以點C為圓心，半徑為1和半徑為2的圓環(huán)內(nèi)，所以弦長的概率為：.故選B.【點睛】本題主要考查幾何概型與圓的垂徑定理，此類題型首先要求出臨界狀態(tài)時的情況，再判斷滿足條件的區(qū)域.2、D【解析】

根據(jù)向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義即可判斷．【詳解】，，，，故選D．【點睛】本題主要考查向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義的應(yīng)用．3、C【解析】

利用二倍角公式化簡已知表達(dá)式，利用余弦定理化角為邊的關(guān)系，即可推出三角形的形狀．【詳解】解：因為，所以，即，由余弦定理可知：，所以．所以三角形是直角三角形．故選：．【點睛】本題考查三角形的形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．4、B【解析】

分別解和時條件對應(yīng)的不等式即可.【詳解】①當(dāng)時，，此時，不合題意；②當(dāng)時，，可化為即，解得.綜上，的x的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查了分段函數(shù)不等式的解法，考查了分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，逐項驗證數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，即可得到結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴l(xiāng)nf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（an）}為等差數(shù)列，滿足題意；綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號為①②④故選：B．【點睛】本題考查新定義，考查對數(shù)的運算性質(zhì)，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．6、A【解析】

由,得，,故選A.7、C【解析】

根據(jù)兩條存在斜率的直線平行，斜率相等且在縱軸上的截距不相等這一性質(zhì)，可以求出的值.【詳解】直線的斜率為，在縱軸的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸的截距不等于，于是有且，解得，故本題選C.【點睛】本題考查了已知兩直線平行求參數(shù)問題.其時本題也可以運用下列性質(zhì)解題：若直線與直線平行，則有且.8、D【解析】

由得，這樣可把且表示出來．【詳解】∵，∴，，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，掌握數(shù)量積的定義是解題關(guān)鍵．9、D【解析】

根據(jù)分層抽樣是等可能的選出正確答案.【詳解】由于分層抽樣是等可能的，所以每位學(xué)生被抽到的可能性相等，故選D.【點睛】本小題主要考查隨機(jī)抽樣的公平性，考查分層抽樣的知識，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

利用直線和圓相交所得弦長公式，計算出弦長.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查直線和圓相交所得弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)即可求出，根據(jù)向量夾角的公式即可求出．【詳解】∵，，，，∴，又，∴．故答案為：．【點睛】考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算，向量坐標(biāo)求向量長度的方法，以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

令代入可求得；方程兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造出等差數(shù)列，即可得答案.【詳解】令，則；∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：；.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造新等差數(shù)列的方法.13、【解析】

設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來進(jìn)行計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.14、【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.15、0.5【解析】

表示事件A與事件B滿足其中之一占整體的占比．所以根據(jù)互斥事件概率公式求解．【詳解】【點睛】此題考查互斥事件概率公式，關(guān)鍵點在于理解清楚題目概率表示的實際含義，屬于簡單題目．16、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)該公司應(yīng)開設(shè)4個分店時，在該區(qū)的每個分店的平均利潤最大【解析】

（1）由表中數(shù)據(jù)先求得.再結(jié)合公式分別求得,即可得y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）將（1）中所得結(jié)果代入中,進(jìn)而表示出每個分店的平均利潤,結(jié)合基本不等式即可求得最值及取最值時自變量的值.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得:,,因而可得,,再代入公式計算可知,∴,∴.（2）由題意,可知總收入的預(yù)報值與x之間的關(guān)系為:,設(shè)該區(qū)每個分店的平均利潤為t,則,故t的預(yù)報值與x之間的關(guān)系為,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,即或（舍）則當(dāng)時,取到最大值,故該公司應(yīng)開設(shè)4個分店時,在該區(qū)的每個分店的平均利潤最大.【點睛】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數(shù)的最值及等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）先證得平面，由此證得，結(jié)合題意所給已知條件，證得平面，從而證得.（2）首先證得平面，由計算出三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：，∴，又，從而平面∵//，∴平面，平面，∴又，∴平面，于是（2）解：，∴平面∴【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查線面垂直的判定定理的運用，考查三棱錐體積的求法，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性定義來證明出函數(shù)的奇偶性；（2）將函數(shù)的解析式化為，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明出函數(shù)在上的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時，，函數(shù)為上的奇函數(shù).證明如下：，其定義域為，則，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明如下：，任取，則，又由，則，則有，即.因此，函數(shù)為上的減函數(shù)．【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判定與證明，在利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時，要熟悉定義法證明函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的基本步驟，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）.【解析】

(1)先根據(jù)已知求出公差d,即得的通項公式；（2）先證明數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得，則，將代入并化簡得，解得，（舍去）．所以．（2）由（1）知，所以，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列．所以．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項的求法，考查等比數(shù)列性質(zhì)的證