2023屆北京市順義區(qū)第九中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某學(xué)校禮堂有30排座位，每排有20個座位，一次心理講座時禮堂中坐滿了學(xué)生，會后為了了解有關(guān)情況，留下座位號是15的30名學(xué)生，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣 D．分層抽樣2．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．3．為了得到函數(shù)y=sin（2x+）的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x圖象上所有的點()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度4．設(shè)，若3是與的等比中項，則的最小值為（）.A． B． C． D．5．如圖，正方形中，分別是的中點，若則（）A． B． C． D．6．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．7．下圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖，這個圓的圓拱跨度米，拱高米，建造時每隔8米需要用一根支柱支撐，則支柱的高度大約是（）A．9.7米 B．9.1米 C．8.7米 D．8.1米8．從裝有4個紅球和3個白球的袋中任取2個球，那么下列事件中，是對立事件的是（）A．至少有1個白球；都是紅球 B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰好有1個白球；恰好有2個白球 D．至少有1個白球；都是白球9．在△ABC中，若a=2bsinA,則B為A． B． C．或 D．或10．下面的程序運行后，輸出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．54二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點為圓的弦的中點，則弦所在的直線的方程為___________.12．在中，，，是的中點.若，則________.13．已知，且，則的值是_______.14．已知數(shù)列滿足，，，則__________．15．已知數(shù)列中，，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．16．已知，，若，則的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S＝（a2+c2﹣b2）．（1）求角B的大小；（2）若邊b＝，求a+c的取值范圍．18．已知兩點，.（1）求直線AB的方程；（2）直線l經(jīng)過，且傾斜角為，求直線l與AB的交點坐標(biāo).19．在平面直角坐標(biāo)中，圓與圓相交與兩點．（I）求線段的長．（II）記圓與軸正半軸交于點，點在圓C上滑動，求面積最大時的直線的方程．20．如圖所示，是正三角形，線段和都垂直于平面，設(shè)，，且為的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的較小二面角的大小21．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面是的中點.（1）求證：平面；（2）若，證明：

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】抽名學(xué)生分了組（每排為一組），每組抽一個，符合系統(tǒng)抽樣的定義故選2、B【解析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設(shè)出圓心，由點到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【詳解】因為兩條直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設(shè)圓心坐標(biāo)為,則點到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：.【點睛】本題主要考查求解圓的方程,同時又進(jìn)一步考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線性質(zhì)等.本題也注重考查審題能力,分析問題和解決問題的能力.難度較易.3、A【解析】

由條件根據(jù)函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【詳解】∵，故要得到的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x，x∈R的圖象向左平移個單位長度即可，故選:A．【點睛】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

由3是與的等比中項，可得，再利用不等式知識可得的最小值.【詳解】解：3是與的等比中項，，，=，故選C.【點睛】本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，及均值不等式求最值的運用，考查了計算變通能力.5、D【解析】試題分析：取向量作為一組基底，則有，所以又，所以，即.6、B【解析】

根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

以為原點、以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出圓心坐標(biāo)與半徑，可得圓拱所在圓的方程，將代入圓的方程，可求出支柱的高度【詳解】由圖以為原點、以為軸，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，，，則圓拱所在圓的方程為，，解得，，圓的方程為，將代入圓的方程，得.故選：A【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在生活中的應(yīng)用，需熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)對立事件的定義判斷．【詳解】從裝有4個紅球和3個白球的袋內(nèi)任取2個球，在A中，“至少有1個白球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生且必有一個事件會發(fā)生，是對立事件.在B中，“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1個白球”與“恰好有2個白球”是互斥事件，但不是對立事件.在D中，“至少有1個白球”與“都是白球”不是互斥事件.故選：A.9、C【解析】，，則或，選C.10、D【解析】

根據(jù)程序語言的作用，模擬程序的運行結(jié)果，即可得到答案．【詳解】模擬程序的運行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，退出循環(huán)，輸出的值為1．故選：D．【點睛】本題考查利用模擬程序執(zhí)行過程求輸出結(jié)果，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解析】

利用垂徑定理，即圓心與弦中點連線垂直于弦．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，，∵是中點，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【點睛】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，常常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．12、【解析】

在中，由已知利用余弦定理可得，結(jié)合，解得，可求，在中，由余弦定理可得的值．【詳解】由題意，在中，由余弦定理可得：可得：所以：…………①又……………②所以聯(lián)立①②，解得.所以在中，由余弦定理得：即故答案為：【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.13、【解析】

計算出的值，然后利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、-2【解析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點睛】這個題目考查了求數(shù)列中的某些項，一般方法是求出數(shù)列通項，對于數(shù)列通項不容易求的題目，可以列出數(shù)列的一些項，得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律，進(jìn)而得到數(shù)列中的項.15、【解析】∵，（，），當(dāng)時，，，…，，并項相加，得：，

∴，又∵當(dāng)時，也滿足上式，

∴數(shù)列的通項公式為，∴

，令（），則，∵當(dāng)時，恒成立，∴在上是增函數(shù)，

故當(dāng)時，，即當(dāng)時，，對任意的正整數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則須使，即對恒成立，即的最小值，可得，∴實數(shù)的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查數(shù)列的通項及前項和，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當(dāng)時，進(jìn)而可得數(shù)列的通項公式，裂項、并項相加可知，通過求導(dǎo)可知是增函數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為，由恒成立思想，即可得結(jié)論.16、【解析】數(shù)形結(jié)合法，注意y＝，y≠0等價于x2＋y2＝9(y＞0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的部分(如圖所示)．結(jié)合圖形不難求得，當(dāng)－3＜b≤3時，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y＞0)有公共點．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）B=60°（2）【解析】

（1）由三角形的面積公式，余弦定理化簡已知等式可求tanB的值，結(jié)合B的范圍可求B的值．（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求a+csin（A），由題意可求范圍A∈（，），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）在△ABC中，∵S（a2+c2﹣b2）acsinB，cosB．∴tanB，∵B∈（0，π），∴B．（2）∵B，b，∴由正弦定理可得1，可得：a＝sinA，c＝sinC，∴a+c＝sinA+sinC＝sinA+sin（A）＝sinAcosAsinAsin（A），∵A∈（0，），A∈（，），∴sin（A）∈（，1]，∴a+csin（A）∈（，]．【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)、兩點的坐標(biāo)，得到斜率，再由點斜式得到直線方程；（2）根據(jù)的傾斜角和過點，得到的方程，再與直線聯(lián)立，得到交點坐標(biāo).【詳解】（1）因為點，，所以，所以方程為，整理得；（2）因為直線l經(jīng)過，且傾斜角為，所以直線的斜率為，所以的方程為，整理得，所以直線與直線的交點為，解得，所以交點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查點斜式求直線方程，求直線的交點坐標(biāo)，屬于簡單題.19、（I）；（II）或．【解析】

（I）先求得相交弦所在的直線方程，再求得圓的圓心到相交弦所在直線的距離，然后利用直線和圓相交所得弦長公式，計算出弦長.（II）先求得當(dāng)時，取得最大值，根據(jù)兩直線垂直時斜率的關(guān)系，求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和圓的方程，求得點的坐標(biāo)，由此求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】（I）由圓O與圓C方程相減可知，相交弦PQ的方程為．點（0，0）到直線PQ的距離，（Ⅱ），.當(dāng)時，取得最大值．此時，又則直線NC為．由，或當(dāng)點時，，此時MN的方程為．當(dāng)點時，，此時MN的方程為．∴MN的方程為或．【點睛】本小題主要考查圓與圓相交所得弦長的求法，考查三角形面積公式，考查直線與圓相交交點坐標(biāo)的求法，考查直線方程的求法，考查兩直線垂直時斜率的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接，先證即說明，再由線面平行的判定定理說明平面．（2）延長交的延長線于，連.說明為所求二面角的平面角．再計算即可．【詳解】解：（1）如圖所示，取的中點，連接.∵，∴.又，∴.∴四邊形為平行四邊形．故.∵平面，平面，∴平面.（2）延長交的延長線于，連.由，知，為的中點，又為的中點，∴.又平面，，∴平面.∴為所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小為.【點睛】本題考查線面平行、二面角的平面角，屬于中檔題．21、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】

（1）首先取的中點，