高中 1.1空間向量及其運(yùn)算（2課時(shí)）

.1空間向量及其運(yùn)算（2課時(shí)，單元教學(xué)設(shè)計(jì)）安徽省蕪湖市第一中學(xué)吳海燕單元學(xué)習(xí)基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)實(shí)施年級(jí)高二使用教材版本人民教育出版社A版（2019年）選修第一冊(cè)單元主題名稱空間向量及其運(yùn)算單元課時(shí)2課時(shí)一、總體設(shè)計(jì)1.本章所處教材位置如下在必修課程學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，本章將平面向量推廣到空間，學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理及空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并運(yùn)用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題，包括用空間向量描述空間直線、平面間的平行、垂直關(guān)系，用空間向量解決空間距離、夾角問(wèn)題等.本章的研究對(duì)象是幾何圖形，所用的研究方法是向量方法.通過(guò)本章學(xué)習(xí)，側(cè)重提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).2.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖如下3.本章課時(shí)安排如下二、單元內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容空間向量及其線性運(yùn)算、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.空間向量的研究是類比平面向量的研究方法進(jìn)行的.本單元內(nèi)容框圖如下：2.內(nèi)容解析內(nèi)容的本質(zhì)：向量是既有大小也有方向的量，即用有向線段表示空間中具體存在的矢量；空間向量是平面向量的延伸，基本具有平行向量的性質(zhì)，具有加法、減法和數(shù)乘等線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，并且空間向量的加法運(yùn)算也滿足交換律、結(jié)合律，數(shù)乘運(yùn)算也滿足結(jié)合律、分配律.向量在數(shù)學(xué)、物理以及現(xiàn)代科技中有著廣泛應(yīng)用.蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：在教學(xué)時(shí)，最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的是類比思想，將空間向量類比比較平面向量，得出向量的性質(zhì)與運(yùn)算.在解題時(shí)，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想則是方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.知識(shí)的上下位關(guān)系：“平行向量的延伸——空間向量的含義——空間向量線性運(yùn)算——空間向量數(shù)量積運(yùn)算”,其中，空間向量是平面向量的延伸，空間向量的線性運(yùn)算表示向量與向量間的加法、減法和數(shù)乘，并且在學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算前要學(xué)會(huì)向量間的關(guān)系（平行或相交或異面、有夾角與無(wú)夾角）.就本課時(shí)而言也非常符合我們的認(rèn)知規(guī)律，引進(jìn)一種量之后，自然就要研究它們的運(yùn)算，學(xué)習(xí)了運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律.育人價(jià)值：從我們對(duì)向量知識(shí)的認(rèn)識(shí)可知，向量的教學(xué)可以有效地將幾何與代數(shù)知識(shí)相聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)各類知識(shí)之間的聯(lián)系性教學(xué)幫助學(xué)生掌握其中的數(shù)學(xué)方法.向量作為聯(lián)系代數(shù)與幾何的媒介，很多向量問(wèn)題可以利用代數(shù)與幾何的知識(shí)來(lái)綜合解決，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想.在數(shù)字與字母的組合下，數(shù)運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算為AA=A的形式，數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算為AB=B的形式.向量運(yùn)算除了以上的類型，還包括較為特殊的數(shù)量積運(yùn)算，即是AA=B的形式.在向量運(yùn)算背景下，我們得以實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)度、面積和體積等度量單位的計(jì)算問(wèn)題，向?qū)W生們展現(xiàn)了不一樣的計(jì)算類型.通過(guò)幾何體，鞏固學(xué)習(xí)空間向量的含義與運(yùn)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).三、單元目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解空間向量的含義，能夠區(qū)別于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和單位向量.理解相等向量和相反向量，后續(xù)進(jìn)一步理解向量共面.（2）掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘等線性法則、以及結(jié)合律和交換律等運(yùn)算律，并通過(guò)空間幾何體加深對(duì)運(yùn)算的理解.培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).（3）掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法,并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是:（1）能夠說(shuō)出什么是空間向量即空間中有大小與方向的量，能夠用符號(hào)或以及或表示向量及其向量模.知道零向量與單位向量的模長(zhǎng)分別為0和1，方向無(wú)規(guī)定的話就是任意方向.能夠區(qū)別相等向量與相反向量：模長(zhǎng)一致，但相等向量方向相同，相反向量方向相反.能夠理解共線向量表示向量所在的直線平行或重合.知道任意兩個(gè)空間向量總是共面的.（2）理解空間兩個(gè)向量可以移動(dòng)到同一起點(diǎn)上利用平面向量的三角形法則和平行四邊形法則計(jì)算空間向量的加法與減法以及數(shù)乘，掌握這幾個(gè)線性運(yùn)算的運(yùn)算律.能計(jì)算幾何體中的向量計(jì)算問(wèn)題.（3）知道向量與的夾角表示為,會(huì)通過(guò)試子計(jì)算向量的乘積以及夾角.能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.四、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1.問(wèn)題診斷（1）在研究的范圍已由平面拓展到空間，一個(gè)向量可以確定空間的一個(gè)平移，兩個(gè)不平行向量確定的平面已經(jīng)不只是一個(gè)平面，而是互相平行的“平面集”，這需要學(xué)生對(duì)向量有新的理解.另外，盡管在形式上空間向量的運(yùn)算、運(yùn)算律和平面向量一致，但因?yàn)榫S數(shù)發(fā)生了變化，所以它們的幾何表示是不同的，這些是本單元學(xué)習(xí)的難點(diǎn).（2）在說(shuō)明共面向量和不共面向量時(shí)，學(xué)生可能會(huì)疑惑：既然任意兩個(gè)向量總是共面的，那么空間中的所有向量都是共面的嗎？所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意這兩點(diǎn)：在進(jìn)行空間線性運(yùn)算時(shí)，可以將兩個(gè)向量平移至同一個(gè)平面內(nèi)類比平面向量的計(jì)算來(lái)進(jìn)行空間向量的運(yùn)算，但空間中三個(gè)或三個(gè)以上的向量可能共面，可能不共面.（3）對(duì)于空間向量的數(shù)量積，計(jì)算上學(xué)生可能沒有多大的問(wèn)題，但利用這個(gè)數(shù)量積進(jìn)行空間幾何體的應(yīng)用或判斷向量的共線與垂直學(xué)生可能存在困難.這就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)后多做練習(xí)加以鞏固，教師在教學(xué)時(shí)要講解清楚.2.教學(xué)難點(diǎn)（1）空間向量加法結(jié)合律的驗(yàn)證.（2）作出一個(gè)向量在另一個(gè)向量、一條直線上或者一個(gè)平面上的投影.（3）空間向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用.五、單元教學(xué)支持條件分析1.學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容前已經(jīng)接觸到了平面向量的學(xué)習(xí)，平面向量的一些性質(zhì)（如零向量和單位向量、平行向量和相反向量等）和計(jì)算（三角形法則和平行四邊形法則）都可以套用到空間向量的學(xué)習(xí)中.2.利用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)展示空間向量，學(xué)生閱讀課本后交流認(rèn)識(shí)、課堂檢測(cè)等環(huán)節(jié)中，由教師給出問(wèn)題或者測(cè)試題，讓學(xué)生回答或者解答，再由教師給出評(píng)價(jià).六、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第一課時(shí)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容空間向量及其線性運(yùn)算（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)平行向量的類比，理解并學(xué)習(xí)空間向量的有關(guān)概念培養(yǎng)學(xué)生類比思想的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.同樣通過(guò)類比平面向量學(xué)習(xí)并掌握空間向量的線性運(yùn)算：加法、減法以及數(shù)乘；掌握線性運(yùn)算的運(yùn)算律：結(jié)合律、交換律和分配律.3.能根據(jù)一些條件，在簡(jiǎn)單的幾何體中解決一些向量的運(yùn)算，即空間向量的應(yīng)用.（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：空間向量的概念及其線性運(yùn)算難點(diǎn)：空間向量在幾何體的應(yīng)用（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.情境導(dǎo)入，強(qiáng)化思想師生活動(dòng)：觀看視頻《魯班和鋸子的發(fā)明》問(wèn)題1：在這個(gè)故事中魯班運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想發(fā)明了鋸子？【設(shè)計(jì)意圖】引出本節(jié)課研究問(wèn)題的核心方法：類比思想，教師強(qiáng)調(diào)這節(jié)課將用類比思想去學(xué)習(xí)新的知識(shí).師生活動(dòng)：平面向量及其應(yīng)用“的章前圖中帆船在湖面上行駛的位移可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示？”空間向量與立體幾何“的章前圖，滑翔傘飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向的力，這些力又可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示？【設(shè)計(jì)意圖】從貼近學(xué)生的情境引入，既揭示了學(xué)習(xí)空間向量的必要性，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為后續(xù)空間向量的加法運(yùn)算做了鋪墊.從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.2.回顧舊知，明確路徑問(wèn)題2：我們?cè)诟咭幌到y(tǒng)地學(xué)習(xí)過(guò)平面向量，平面向量是如何定義的？基本的研究思路是什么？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回憶平面向量的研究思路，使學(xué)生形成整體思維，明確研究空間向量的路徑.思考：能否類比平面向量，寫出空間向量的相關(guān)概念師生活動(dòng)：探究空間向量的概念平面向量空間向量概念平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或.空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作或.表示法（1）有向線段（2）字母,…（3）坐標(biāo)表示：（1）有向線段（2）字母,…（3）坐標(biāo)表示：相關(guān)概念零向量：模為0的向量，記作0，零向量的方向任意；單位向量：模為1的向量；相等向量：模和方向都相同的兩個(gè)向量，記作；相反向量：模相同，方向相反的兩個(gè)向量，記作；共線向量：方向相同或相反的兩個(gè)非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作;規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作;規(guī)定，零向量和任意向量共線.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比，提高學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和意識(shí).類比平面，提煉概括問(wèn)題3：空間中兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、異面，空間中任意兩個(gè)向量是否可能異面？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】空間兩向量的異面問(wèn)題容易與空間中兩直線異面混淆，通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中自主辨別，比較，感悟，體會(huì)向量的重要特征：平移，由此可以將所有空間兩向量問(wèn)題歸結(jié)為平面中兩向量問(wèn)題，為后面空間向量的運(yùn)算提供類比基礎(chǔ).交流合作，運(yùn)算類比師生活動(dòng)：探究空間向量的線性運(yùn)算與運(yùn)算律問(wèn)題4：學(xué)習(xí)完概念后就要研究它的運(yùn)算法則，平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則仍然適用于空間向量嗎？為什么？師生活動(dòng)：平面向量的運(yùn)算律是否適合空間向量？證明方法是否相同？平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加減運(yùn)算求兩個(gè)平面向量的和與差的運(yùn)算.法則：三角形和平行四邊形法則；求兩個(gè)空間向量的和與差的運(yùn)算.法則：三角形和平行四邊形法則；數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)與平面向量的積是一個(gè)向量，記作，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)，與的方向相同；當(dāng)，與的方向相反；當(dāng)，.實(shí)數(shù)與平面向量的積是一個(gè)向量，記作，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①；②當(dāng)，與的方向相同；當(dāng)，與的方向相反；當(dāng)，.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)重點(diǎn)研究加法結(jié)合律，讓學(xué)生體會(huì)由于空間中三個(gè)向量可能不共面，在證明方法上與平面向量有所區(qū)別，而對(duì)于線性運(yùn)算的其他運(yùn)算律它們只涉及同一個(gè)平面內(nèi)的向量，證明方法與平面向量相同；進(jìn)一步深化對(duì)加法運(yùn)算法則的選擇與應(yīng)用.類比提升，定理推廣師生活動(dòng)：探究共線與共面定理問(wèn)題5：我們已經(jīng)把知識(shí)從平面推廣到空間，平面中的特殊關(guān)系共線（平行）向量能否推廣到空間？空間中兩向量共線的充要條件是什么？追問(wèn)1：對(duì)任意兩個(gè)空間向量與，如果，與有什么位置關(guān)系？追問(wèn)2：反過(guò)來(lái)與有什么位置關(guān)系時(shí)，？追問(wèn)3：空間中確定一條直線的要素是什么？【設(shè)計(jì)意圖】體會(huì)平面向量與空間向量共線定理的本質(zhì)一致性；追問(wèn)3引出方向向量的概念，以及如何用向量表示直線，為用空間向量解決立體幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).問(wèn)題6：情境二告訴我們空間中任意三個(gè)向量不一定共面，那么三個(gè)向量共面的充要條件是什么？追問(wèn)1：兩個(gè)不共線的空間向量，，如果，那么向量與向量，有什么位置關(guān)系？為什么？追問(wèn)2：反過(guò)來(lái)，向量與向量，有什么位置關(guān)系時(shí)？你能證明嗎？追問(wèn)3：空間中確定一個(gè)平面的要素是什么？【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，追問(wèn)3為用空間向量解決立體幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).典例分析，數(shù)學(xué)應(yīng)用例1：如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線OA,OB,OC,OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使，求證：EFGH四點(diǎn)共面.證明：因?yàn)?，所以因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以由向量共面的充要條件可知，共面，又過(guò)同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.追問(wèn)1：如何將“四點(diǎn)共面”這個(gè)幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題？追問(wèn)2：平行四邊形ABCD中是否隱藏著向量關(guān)系？追問(wèn)3：條件中的比例關(guān)系如何使用？追問(wèn)4：如何建立條件與目標(biāo)的的關(guān)系？追問(wèn)5：你能否總結(jié)出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般方法？追問(wèn)6：有沒有體會(huì)到空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的作用？【設(shè)計(jì)意圖】在給出共線、共面向量的充要條件之后，安排了證明立體幾何中四點(diǎn)共面的問(wèn)題，例1的解決體現(xiàn)了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的一般方法，即選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締?wèn)題中的幾何元素，通過(guò)向量的運(yùn)算得到幾何元素間的關(guān)系.有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).課堂小結(jié)，布置作業(yè)課堂小結(jié)：【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生小結(jié)，不僅是單純的知識(shí)羅列，而是提煉出在知識(shí)形成過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法以及研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方式;培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣.布置作業(yè)：必做題：習(xí)題1.1第1,2,3題.選做題：寫一篇開放性的“小說(shuō)”：當(dāng)平面向量邂逅空間向量【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生可以根據(jù)自己的實(shí)際學(xué)習(xí)情況完成作業(yè)，盡量做到讓不同層次的學(xué)生都能有所收獲.選做題的設(shè)計(jì)是對(duì)本節(jié)課知識(shí)的進(jìn)一步反思，加深對(duì)本節(jié)課的理解.板書設(shè)計(jì)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算1.空間向量的概念2.空間向量的運(yùn)算律3.共線共面定理多媒體演示區(qū)靈活板演區(qū)（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.已知非零向量，，則“”是“與共線”的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.空間四邊形的各邊和對(duì)角線均相等，是的中點(diǎn)，那么（

）.A.

B.

C. D.

與的大小不能比較3.給出下列命題：①若將空間中所有的單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓；②若空間向量,滿足，則；③若空間向量滿足，，則；④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；⑤零向量沒有方向.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）.A.1 B.2 C.3 D.4【設(shè)計(jì)意圖】考查空間向量的概念及其線性運(yùn)算的掌握情況.第二課時(shí)1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，向量投影（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1．掌握空間向量夾角的概念及表示方法；2．掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算律；3．掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其運(yùn)算律、幾何意義；2．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其變形在空間幾何體中的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：1．空間想象能力的培養(yǎng)，思想方法的理解和應(yīng)用；2．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其幾何應(yīng)用和理解.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.提出問(wèn)題、引入新課問(wèn)題1：平面向量的夾角問(wèn)題是如何求得的？是否可將平面內(nèi)求得兩向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式是否會(huì)有所變化？學(xué)生活動(dòng)：回顧平面向量數(shù)量積、向量夾角公式；類比猜想空間向量夾角公式的形式．【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題的給出，一時(shí)之間可能會(huì)使學(xué)生感到突然，但預(yù)計(jì)應(yīng)該會(huì)聯(lián)想到平面向量的夾角公式，由此作一番類比猜想，起到溫故知新的作用.2.方法建構(gòu)，探尋新知問(wèn)題2：空間向量的夾角應(yīng)該怎樣定義和表示？夾角的取值范圍是什么，怎樣定義向量垂直？師生活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生回憶平面向量夾角的定義、表示方法和取值范圍，并進(jìn)行類比；學(xué)生回憶平面向量夾角的定義、表示方法和取值范圍，并進(jìn)行類比得到結(jié)論．1．空間向量，的夾角：已知兩個(gè)非零向量，，在空間中任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB叫做向量，的夾角，記作〈，〉．2．空間向量，的夾角的取值范圍：0≤〈，〉≤π，且〈，〉＝〈，〉．當(dāng)，同向共線時(shí)〈，〉＝0，當(dāng)，反向共線時(shí)〈，〉＝π．3．兩個(gè)向量垂直的定義：若〈，〉＝eq\f(π,2)，則稱與互相垂直，記作：⊥.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)平面向量夾角的定義和取值范圍類比得出空間向量夾角的定義和取值范圍．問(wèn)題3：平面向量的數(shù)量積是什么？你能類比平面向量，給出空間向量數(shù)量積的運(yùn)算嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，教師板書并請(qǐng)不同的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充．1．已知兩個(gè)非零向量，，則cos〈，〉叫做，的數(shù)量積，記作·，即·＝cos〈，〉；2．規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0；問(wèn)題4：在平面向量中我們學(xué)習(xí)過(guò)投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推廣到空間向量中嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，類比平面向量得出投影向量的概念.將空間向量，，平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影,得到與向量共線的向量，即：=cos〈，〉，向量稱為向量在向量上的投影向量．師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，類比得出向量在直線上的投影向量，和平面上的投影向量．問(wèn)題5：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有哪些運(yùn)算律？如何證明？?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：（1）（λ）·＝λ（·）；（2）·＝·；（3）（＋）·＝·＋·．【設(shè)計(jì)意圖】由平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律引導(dǎo)學(xué)生類比得出空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律.3.類比深化，層層遞進(jìn)思考：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算推廣而來(lái)，與平面向量數(shù)量積運(yùn)算一樣，要注意它與向量的線性運(yùn)算、實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算的區(qū)別．你能回答以下問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生先自己思考，然后小組討論；教師巡視并和學(xué)生交流．1.對(duì)于三個(gè)均不為零的實(shí)數(shù)a，b，c，若ab＝ac，則b＝c．對(duì)于非零向量，，，由·＝·，能得到＝嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.2.對(duì)于三個(gè)均不為零的數(shù)a，b，c，若ab＝c，則或那么對(duì)于向量，，若·＝k，能不能寫成或的形式？3.對(duì)于三個(gè)均不為零的實(shí)數(shù)a，b，c，有（ab）c＝a（bc）成立，那么對(duì)于三個(gè)非零向量，，，有(·)＝(·)成立嗎？為什么？【設(shè)計(jì)意圖】深化對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算的理解和對(duì)運(yùn)算律的熟悉.問(wèn)題6：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可以解決哪些問(wèn)題？師生活動(dòng)：學(xué)生先自己思考，然后小組討論；教師巡視并和學(xué)生交流．1．若·＝，則，同向；若·＝－，則，反向；特別的＝，∴＝．2．若，為非零向量，則·＝0，⊥．3．cos〈，〉＝．【設(shè)計(jì)意圖】由用數(shù)量積判斷向量的關(guān)系引出空間向量數(shù)量積運(yùn)算的變形，更好地理解數(shù)量積運(yùn)算的定義.4.例題解析，鞏固新知例2如右圖，在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°，求：(1)；(2)AC'的長(zhǎng)（精確到0.1）．例3用向量方法證明：直線和平面垂直的判定定理． 已知：，是平面α內(nèi)的兩條相交直線，如果⊥，⊥．求證：⊥α．分析：要證明⊥α，就要證明垂直于α內(nèi)的任一條直線（直線和平面垂直的定義）．如果我們能在和，之間建立某種聯(lián)系，并由⊥，⊥得到⊥，就能解決此問(wèn)題．證明：在α內(nèi)作不與，重合的任一直線g，在，，，上取非零向量，，，．∵，n相交，∴向量，不平行．由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使＝x＋y，∴·＝x·＋y·．又∵·＝0，·＝0，∴·＝0．∴⊥．∴⊥．∴直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，即得⊥α．【點(diǎn)評(píng)】用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為用向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量運(yùn)算取計(jì)算結(jié)果或證明結(jié)論．【設(shè)計(jì)意圖】發(fā)散學(xué)生思維，提高學(xué)生整合知識(shí)的能力.課堂小結(jié)，布置作業(yè)課堂小結(jié)：1．知識(shí)收獲：空間向量的夾角的定義、表示方法、取值范圍；兩個(gè)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)算法則；利用空間向量的數(shù)量積證明共線和垂直以及求夾角和距離．2．方法收獲：類比方法、數(shù)形結(jié)合方法