2019年北京中考數(shù)學習題精選：新定義型問題

一、選擇題1、(2018北京昌平區(qū)初一第一學期期末)用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b=ab2+a.如：1☆3=1×32+1=10.則（-2）☆3的值為A．10B．-15C.-16D．-20答案：D二、填空題3、（2018北京西城區(qū)七年級第一學期期末附加題）1．用“△”定義新運算：對于任意有理數(shù)a，b，當a≤b時，都有；當a＞b時，都有．那么，2△6=，△=．答案：24，-64．（2018北京海淀區(qū)第二學期練習）定義：圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，和組成圓的折弦，，是弧的中點，于，則．如圖2，△中，，，，是上一點，，作交△的外接圓于，連接，則=________°．答案605、(2018北京交大附中初一第一學期期末)如圖,在平面內(nèi)，兩條直線l1，l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，若p、q分別是點M到直線l1，l2的距離，則稱(p，q)為點M的“距離坐標”．根據(jù)上述規(guī)定，“距離坐標”是(2，1)的點共有______個．三、解答題6、（2018北京平谷區(qū)初一第一學期期末）閱讀材料：規(guī)定一種新的運算：．例如：（1）按照這個規(guī)定，請你計算的值．（2）按照這個規(guī)定，當時求的值．答案（1）=20-12=8………………………2（2）由得………4解得，x=1……………………57、（2018北京海淀區(qū)七年級第一學期期末）對于任意四個有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個有理數(shù)對（a，b）與（c，d）.我們規(guī)定：（a，b）★（c，d）=bc－ad.例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．根據(jù)上述規(guī)定解決下列問題：（1）有理數(shù)對（2，－3）★（3，－2）=;（2）若有理數(shù)對（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，則x=;（3）當滿足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整數(shù)時，求整數(shù)k的值．答案. 解：（1）﹣5……..２分（2）1……..４分（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整數(shù)∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k∴（2k﹢3）x=5∴∵k是整數(shù)∴2k+3=±1或±5∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……..７分8、(2018北京朝陽區(qū)七年級第一學期期末)對于任意有理數(shù)a，b，定義運算：a⊙b=，等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；⊙＝．（1）求⊙的值；（2）對于任意有理數(shù)m，n，請你重新定義一種運算“⊕”，使得5⊕3＝20，寫出你定義的運算：m⊕n＝（用含m，n的式子表示）．答案解：（1）⊙.（2）答案不唯一，例如：.9．（2018北京石景山區(qū)初三畢業(yè)考試）對于平面上兩點A，B，給出如下定義：以點A或B為圓心，AB長為半徑的圓稱為點A，B的“確定圓”．如圖為點A，B的“確定圓”的示意圖．（1）已知點A的坐標為，點的坐標為，則點A，B的“確定圓”的面積為_________；（2）已知點A的坐標為，若直線上只存在一個點B，使得點A，B的“確定圓”的面積為，求點B的坐標；（3）已知點A在以為圓心，以1為半徑的圓上，點B在直線上，若要使所有點A，B的“確定圓”的面積都不小于，直接寫出的取值范圍．解：（1）；…2分（2）∵直線上只存在一個點，使得點的“確定圓”的面積為，∴⊙的半徑且直線與⊙相切于點，如圖，∴，．①當時，則點在第二象限．過點作軸于點，∵在中，，，∴．∴．②當時，則點在第四象限．同理可得．綜上所述，點的坐標為或．…6分（3）或．10．（2018北京延慶區(qū)初三統(tǒng)一練習）平面直角坐標系xOy中，點，與，，如果滿足，，其中，則稱點A與點B互為反等點．已知：點C(3，4)（1）下列各點中，與點C互為反等點；D(3，4)，E（3，4），F(xiàn)（3，4）（2）已知點G（5，4），連接線段CG，若在線段CG上存在兩點P，Q互為反等點，求點P的橫坐標的取值范圍；（3）已知⊙O的半徑為r，若⊙O與（2）中線段CG的兩個交點互為反等點，求r的取值范圍．解：(1)F……1分(2)-3≤≤3且≠0……4分(3)4<r≤5……7分11.（2018北京市朝陽區(qū)綜合練習（一））對于平面直角坐標系中的點P和線段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)兩點，給出如下定義：若在線段AB上存在一點Q，使得P，Q兩點間的距離小于或等于1，則稱P為線段AB的伴隨點．（1）當t=3時，①在點P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，線段AB的伴隨點是；②在直線y=2x+b上存在線段AB的伴隨點M、N，且MN，求b的取值范圍；（2）線段AB的中點關于點（2，0）的對稱點是C，將射線CO以點C為中心，順時針旋轉(zhuǎn)30°得到射線l，若射線l上存在線段AB的伴隨點，直接寫出t的取值范圍．解：（1）①線段AB的伴隨點是:.………………2分②如圖1，當直線y=2x+b經(jīng)過點（3，1）時，b=5，此時b取得最大值.…………4分如圖2，當直線y=2x+b經(jīng)過點（1，1）時，b=3，此時b取得最小值.………5分∴b的取值范圍是3≤b≤5.………6分圖2圖1圖2圖1（2）t的取值范圍是……8分12．對于平面直角坐標系xOy中的點M和圖形點P為圖形上一點，點Q為圖形上一點，當Q(x2，y2)，那么“中立點”M的坐標為．已知，點A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．（1）連接BC，在點D(，0)，E(0，1)，F(xiàn)(0，)中，可以成為點A和線段BC的“中立點”的是____________；（2）已知點G(3，0)，⊙G的半徑為2．如果直線y=-x+1上存在點K可以成為點A和⊙G的“中立點”，求點K的坐標；（3）以點C為圓心，半徑為2作圓．點N為直線y=2x+4上的一點，如果存在點N，使得軸上的一點可以成為點N與⊙C的“中立點”，直接寫出點N的橫坐標的取值范圍．解：（1）點和線段的“中立點”的是點D，點F；………2分（2）點A和⊙G的“中立點”在以點O為圓心、半徑為1的圓上運動.因為點K在直線y=-x+1上，設點K的坐標為（x，-x+1），則x2+（-x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.所以點K的坐標為（0，1）或（1，0）.………5分（3）（說明：點與⊙C的“中立點”在以線段NC的中點P為圓心、半徑為1的圓上運動.圓P與y軸相切時，符合題意.）所以點N的橫坐標的取值范圍為-6≤xN≤-2.………8分13．（2018北京海淀區(qū)第二學期練習）在平面直角坐標系中，對于點和，給出如下定義：若上存在一點不與重合，使點關于直線的對稱點在上，則稱為的反射點．下圖為的反射點的示意圖．（1）已知點的坐標為，的半徑為，①在點，，中，的反射點是____________；②點在直線上，若為的反射點，求點的橫坐標的取值范圍；的圓心在軸上，半徑為，軸上存在點是的反射點，直接寫出圓心的橫坐標的取值范圍．解（1）①的反射點是，．………………1分②設直線與以原點為圓心，半徑為1和3的兩個圓的交點從左至右依次為，，，，過點作軸于點，如圖．可求得點的橫坐標為．同理可求得點，，的橫坐標分別為，，．點是的反射點，則上存在一點，使點關于直線的對稱點在上，則.∵，∴．反之，若，上存在點，使得，故線段的垂直平分線經(jīng)過原點，且與相交．因此點是的反射點．∴點的橫坐標的取值范圍是，或．………………4分（2）圓心的橫坐標的取值范圍是．………………7分14、．（2018北京西城區(qū)九年級統(tǒng)一測試）對于平面內(nèi)的⊙和⊙外一點，給出如下定義：若過點的直線與⊙存在公共點，記為點，，設，則稱點（或點）是⊙的“相關依附點”，特別地，當點和點重合時，規(guī)定，（或）．已知在平面直角坐標系中，，，⊙的半徑為．（1）如圖，當時，①若是⊙的“相關依附點”，則的值為__________．②是否為⊙的“相關依附點”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙上存在“相關依附點”點，①當，直線與⊙相切時，求的值．②當時，求的取值范圍．（3）若存在的值使得直線與⊙有公共點，且公共點時⊙的“相關依附點”，直接寫出的取值范圍．解：（1）①．…………1分②是．……………2分（2）①如圖9，當r=1時，不妨設直線QM與⊙C相切的切點M在x軸上方（切點M在x軸下方時同理），連接CM，則QM⊥CM．∵，，r=1，∴，．∴．此時．……………………3分圖圖9圖10②如圖10，若直線QM與⊙C不相切，設直線QM與⊙C的另一個交點為N（不妨設QN＜QM，點N，M在x軸下方時同理）．作CD⊥QM于點D，則MD=ND．∴．∵，∴．∴當k=時，．此時．假設⊙C經(jīng)過點Q，此時r=2．∵點Q在⊙C外，∴r的取值范圍是1≤r＜2．……………5分（3）＜b＜．………………7分15.（2018北京懷柔區(qū)一模）P是⊙C外一點，若射線PC交⊙C于點A，B兩點，則給出如下定義：若0＜PAPB≤3，則點P為⊙C的“特征點”．(1)當⊙O的半徑為1時．①在點P1（,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征點”是；②點P在直線y=x+b上，若點P為⊙O的“特征點”．求b的取值范圍；(2)⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=x+1與x軸，y軸分別交于點M，N，若線段MN上的所有點都不是⊙C的“特征點”，直接寫出點C的橫坐標的取值范圍．解：(1)①P1（,0）、P2（0,2）…………………2分②如圖，在y=x+b上，若存在⊙O的“特征點”點P，點O到直線y=x+b的距離m≤2.直線y=x+b1交y軸于點E，過O作OH⊥直線y=x+b1于點H.因為OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=2.可得b1=2.同理可得b2=-2.∴b的取值范圍是:≤b≤.…………………6分(2)x>或.…………8分16.（2018北京平谷區(qū)中考統(tǒng)一練習）在平面直角坐標系xOy中，點M的坐標為，點N的坐標為，且，，以MN為邊構(gòu)造菱形，若該菱形的兩條對角線分別平行于x軸，y軸，則稱該菱形為邊的“坐標菱形”.（1）已知點A（2,0），B（0,2），則以AB為邊的“坐標菱形”的最小內(nèi)角為_______；（2）若點C（1,2），點D在直線y=5上，以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，求直線CD表達式；（3）⊙O的半徑為，點P的坐標為(3,m).若在⊙O上存在一點Q，使得以QP為邊的“坐標菱形”為正方形，求m的取值范圍．解：（1）60； 1（2）∵以CD為邊的“坐標菱形”為正方形，∴直線CD與直線y=5的夾角是45°．過點C作CE⊥DE于E．∴D（4,5）或． 3∴直線CD的表達式為或． 5（3）或． 717．（2018北京順義區(qū)初三練習）如圖1，對于平面內(nèi)的點P和兩條曲線、給出如下定義：若從點P任意引出一條射線分別與、交于、，總有是定值，我們稱曲線與“曲似”，定值為“曲似比”，點P為“曲心”．例如：如圖2，以點O'為圓心，半徑分別為、（都是常數(shù)）的兩個同心圓、，從點O'任意引出一條射線分別與兩圓交于點M、N，因為總有是定值，所以同心圓與曲似，曲似比為，“曲心”為O'．（1）在平面直角坐標系xOy中，直線與拋物線、分別交于點A、B，如圖3所示，試判斷兩拋物線是否曲似，并說明理由；（2）在（1）的條件下，以O為圓心，OA為半徑作圓，過點B作x軸的垂線，垂足為C，是否存在k值，使⊙O與直線BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，若將“”改為“”，其他條件不變，當存在⊙O與直線BC相切時，直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關系式．解：（1）是．過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，C．依題意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．………………2分因此D（k,0），C（2k,0）．∵AD⊥x軸，BC⊥x軸，∴AD∥BC．∴．∴兩拋物線曲似，曲似比是．…………3分（2）假設存在k值，使⊙O與直線BC相切．則OA=OC=2k，又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，∴k2+（k2）2=（2k）2．∴．（舍負）由對稱性可?。C上，．…………6分（3）m的取值范圍是m＞1，k與m之間的關系式為k2=m2-1．………8分18、（2018年北京昌平區(qū)第一學期期末質(zhì)量抽測）對于平面直角坐標系xOy中的點P，給出如下定義：記點P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為，若，則稱為點P的最大距離；若，則稱為點P的最大距離.例如：點P（，）到到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，因為3<4，所以點P的最大距離為.（1）①點A（2，）的最大距離為；②若點B（，）的最大距離為，則的值為；（2）若點C在直線上，且點C的最大距離為，求點C的坐標；（3）若⊙O上存在點M，使點M的最大距離為，直接寫出⊙O的半徑r的取值范圍.解：（1）①5………1分②………3分（2）∵點C的最大距離為5，∴當時，，或者當時，.………………4分分別把，代入得：當時，，當時，，當時，，當時，，∴點C（，）或（，）.………5分.…………………7分19、（2018北京朝陽區(qū)第一學期期末檢測）在平面直角坐標系xOy中，點A（0,6），點B在x軸的正半軸上.若點P,Q在線段AB上，且PQ為某個一邊與x軸平行的矩形的對角線，則稱這個矩形為點P,Q的“X矩形”.下圖為點P,Q的“X矩形”的示意圖.（1）若點B（4,0），點C的橫坐標為2，則點B,C的“X矩形”的面積為.（2）點M，N的“X矩形”是正方形，①當此正方形面積為4，且點M到y(tǒng)軸的距離為3時，寫出點B的坐標，點N的坐標及經(jīng)過點N的反比例函數(shù)的表達式；②當此正方形的對角線長度為3，且半徑為r的⊙O與它沒有交點，直接寫出r的取值范圍. 備用圖答案：（1）6；…………1分（2）①B（6,0）………………………2分N（1,5）或N（5,1）…………4分；……………5分②或.…………………8分20、（2018北京東城第一學期期末）對于平面直角坐標系xOy中的點M和圖形G，若在圖形G上存在一點N，使M，N兩點間的距離等于1，則稱M為圖形G的和睦點．（1）當⊙O的半徑為3時，在點P1（1,0），P2（,），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦點是________；（2）若點P（4,3）為⊙O的和睦點，求⊙O的半徑r的取值范圍；（3）點A在直線y=﹣1上，將點A向上平移4個單位長度得到點B，以AB為邊構(gòu)造正方形ABCD，且C，D兩點都在AB右側(cè)．已知點E（,），若線段OE上的所有點都是正方形ABCD的和睦點，直接寫出點A的橫坐標的取值范圍．答案：解：（1）P2，P3；………………2分（2）由勾股定理可知，OP=5，以點O為圓心，分別作半徑為4和6的圓，分別交射線OP于點Q，R，可知PQ=PR=1，此時P是⊙O的和睦點；若⊙O半徑r滿足0<r<4時，點OP-r>1，此時，P不是⊙O的和睦點；若⊙O半徑r滿r>6時，r-OP>1，此時，P也不是⊙O的和睦點；若⊙O半徑r滿足4<r<6時，設⊙O與射線OP交于點T即PT<1時，可在⊙O上找一點S，使PS=1，此時P是⊙O的和睦點；綜上所述，．………………4分，或．………………8分21、（2018北京豐臺區(qū)第一學期期末）28．對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下定義：如果⊙C的半徑為r，⊙C外一點P到⊙C的切線長小于或等于2r，那么點P叫做⊙C的“離心點”.（1）當⊙O的半徑為1時，①在點P1（，），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O的“離心點”是；②點P（m，n）在直線上，且點P是⊙O的“離心點”，求點P橫坐標m的取值范圍；（2）⊙C的圓心C在y軸上，半徑為2，直線與x軸、y軸分別交于點A，B.如果線段AB上的所有點都是⊙C的“離心點”，請直接寫出圓心C縱坐標的取值范圍.解：（1）①，；……2分②設P（m,－m＋3），則.…3分解得，.……4分故1≤m≤2.……6分（2）圓心C縱坐標的取值范圍為：≤＜或＜≤.……8分22、（2018年北京海淀區(qū)第一學期期末）對于⊙C與⊙C上的一點A，若平面內(nèi)的點P滿足：射線AP與⊙C交于點Q（點Q可以與點P重合），且，則點P稱為點A關于⊙C的“生長點”．已知點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（-1，0）．（1）若點P是點A關于⊙O的“生長點”，且點P在x軸上，請寫出一個符合條件的點P的坐標________；（2）若點B是點A關于⊙O的“生長點”，且滿足，求點B的縱坐標t的取值范圍；（3）直線與x軸交于點M，與y軸交于點N，若線段MN上存在點A關于⊙O的“生長點”，直接寫出b的取值范圍是_____________________________．解：（1）（2，0）(答案不唯一).………………1分（2）如圖，在x軸上方作射線AM，與⊙O交于M，且使得，并在AM上取點N，使AM=MN，并由對稱性，將MN關于x軸對稱，得，則由題意，線段MN和上的點是滿足條件的點B.作MH⊥x軸于H，連接MC，∴∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.∵AC是⊙O的直徑，∴∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.∴∠OAM=∠HMC.∴.∴.設，則，，∴，解得，即點M的縱坐標為.又由，A為（-1，0），可得點N的縱坐標為，故在線段MN上，點B的縱坐標t滿足：.……………3分由對稱性，在線段上，點B的縱坐標t滿足：.……………4分∴點B的縱坐標t的取值范圍是或.（3）或.………………7分23、（2018北京懷柔區(qū)第一學期期末）在平面直角坐標系xOy中，點P的橫坐標為x，縱坐標為2x，滿足這樣條件的點稱為“關系點”.(1)在點A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“關系點”的；(2)⊙O的半徑為1，若在⊙O上存在“關系點”P，求點P坐標；(3)點C的坐標為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個“關系點”P，且“關系點”P的橫坐標滿足-2≤x≤2.請直接寫出⊙C的半徑r的取值范圍．解：(1)A、M.……………………2分(2)過點P作PG⊥x軸于點G…………………3分設P（x，2x）∵OG2+PG2=OP2………………4分∴x2+4x2=1∴5x2=1∴x2=∴x=∴P(，)或P(，)……………………5分(3)r=或…………7分24、（2018北京門頭溝區(qū)第一學期期末調(diào)研試卷）以點為端點豎直向下的一條射線，以它為對稱軸向左右對稱擺動形成了射線，，我們規(guī)定：為點的“搖擺角”，射線搖擺掃過的區(qū)域叫作點的“搖擺區(qū)域”（含，）.在平面直角坐標系xOy中，點.（1）當點的搖擺角為時，請判斷、、、屬于點的搖擺區(qū)域內(nèi)的點是______________________（填寫字母即可）；（2）如果過點，點的線段完全在點的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點的搖擺角至少為_________°；（3）⊙的圓心坐標為，半徑為，如果⊙上的所有點都在點的搖擺角為時的搖擺區(qū)域內(nèi)，求的取值范圍．備用圖解：（1）點B，點C；…………2分（2）90°………3分（3）當⊙運動到搖擺角的內(nèi)部，與PF左邊的射線相切時如圖28-1∵點的搖擺角為60°∴，在Rt△PFK中，在可求得∵，∴在Rt△PFK中，，可求得∴當⊙運動到搖擺角的內(nèi)部，與PF右邊的射線相切時如圖28-2同理可求得∴25、（2018北京密云區(qū)初三（上）期末）已知在平面直角坐標系中的點P和圖形G,給出如下的定義：若在圖形G上存在一點,使得之間的距離等于1，則稱P為圖形G的關聯(lián)點.（1）當?shù)陌霃綖?時，①點,,中，的關聯(lián)點有_____________________.②直線經(jīng)過（0，1）點，且與軸垂直，點P在直線上.若P是的關聯(lián)點，求點P的橫坐標的取值范圍.（2）已知正方形ABCD的邊長為4，中心為原點，正方形各邊都與坐標軸垂直.若正方形各邊上的點都是某個圓的關聯(lián)點，求圓的半徑的取值范圍.備用圖備用圖答案：（1）………2分（2）如圖，以O為圓心，2為半徑的圓與直線y=1交于兩點.線段上的動點P（含端點）都是以O為圓心，1為半徑的圓的關聯(lián)點.故此.…………6分（3）由已知，若P為圖形G的關聯(lián)點，圖形G必與以P為圓心1為半徑的圓有交點.正方形ABCD邊界上的點都是某圓的關聯(lián)點該圓與以正方形邊界上的各點為圓心1為半徑的圓都有交點故此，符合題意的半徑最大的圓是以O為圓心，3為半徑的圓；符合題意的半徑最小的圓是以O為圓心，為半徑的圓.綜上所述，.………..8分26、（2018北京平谷區(qū)第一學期期末）在平面直角坐標系中，將某點（橫坐標與縱坐標不相等）的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這個點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”．（1）以O為圓心，半徑為5的圓上有無數(shù)對“互換點”，請寫出一對符合條件的“互換點”；（2）點M,N是一對“互換點”，點M的坐標為(m,n)，且(m＞n)，⊙P經(jīng)過點M,N．①點M的坐標為(4,0)，求圓心P所在直線的表達式；②⊙P的半徑為5，求m－n的取值范圍．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； 2（2）①連結(jié)MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．過O作OA⊥MN于點A，∴點M,N關于直線OA對稱． 3由圓的對稱性可知，圓心P在直線OA上． 4∴圓心P所在直線的表達式為y=x． 5②當MN為⊙P直徑時，由等腰直角三角形性質(zhì)，可知m－n=； 6當點M,N重合時，即點M,N橫縱坐標相等，所以m－n=0； 7∴m－n的取值范圍是0＜m－n≤． 827、（2018北京石景山區(qū)第一學期期末）在平面直角坐標系中，點P的坐標為，點Q的坐標為，且，，若為某個等腰三角形的腰，且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點P，Q的“相關等腰三角形”．下圖為點P，Q的“相關等腰三角形”的示意圖．（1）已知點A的坐標為，點B的坐標為，則點A，B的“相關等腰三角形”的頂角為_________°；（2）若點C的坐標為，點D在直線上，且C，D的“相關等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達式；（3）⊙O的半徑為，點N在雙曲線上．若在⊙O上存在一點M，使得點M、N的“相關等腰三角形”為直角三角形，直接寫出點N的橫坐標的取值范圍．解：（1）120o；……………2分（2）∵C,D的“相關等腰三角形”為等邊三角形，底角為60°，底邊與軸平行，∴直線CD與軸成60°角，與軸成30°角，通過解直角三角形可得的坐標為或，進一步得直線CD的表達式為或.…………5分（3）或.……8分28、（2018北京通州區(qū)第一學期期末）點的“值”定義如下：若點為圓上任意一點，線段長度的最大值與最小值之差即為點的“值”，記為.特別的，當點，重合時，線段的長度為0.當⊙的半徑為2時：（1）若點，，則_________，_________；（2）若在直線上存在點，使得，求出點的橫坐標；（3）直線與軸，軸分別交于點，.若線段上存在點，使得，請你直接寫出的取值范圍.答案：29、（2018北京西城區(qū)第一學期期末）在平面直角坐標系xOy中，A，B兩點的坐標分別為，．對于給定的線段AB及點P，Q，給出如下定義：若點Q關于AB所在直線的對稱點落在△ABP的內(nèi)部（不含邊界），則稱點Q是點P關于線段AB的內(nèi)稱點．（1）已知點．①在，兩點中，是點P關于線段AB的內(nèi)稱點的是____________；②若點M在直線上，且點M是點P關于線段AB的內(nèi)稱點，求點M的橫坐標的取值范圍；（2）已知點，⊙C的半徑為r，點，若點E是點D關于線段AB的內(nèi)稱點，且滿足直線DE與⊙C相切，求半徑r的取值范圍．答案：30、（2018北京昌平區(qū)二模）在平面直角坐標系中，對于任意三點A、B、C我們給出如下定義：“橫長”a：三點中橫坐標的最大值與最小值的差，“縱長”b：三點中縱坐標的最大值與最小值的差，若三點的橫長與縱長相等，我們稱這三點為正方點.例如：點(,0)，點(1,1)，點(,)，則、、三點的“橫長”=||=3，、、三點的“縱長”=||=3.因為=，所以、、三點為正方點.（1）在點(3，5)，(3，)，(，)中，與點、為正方點的是；（2）點P(0，t)為軸上一動點，若，，三點為正方點，的值為；（3）已知點(1，0).①平面直角坐標系中的點滿足以下條件：點，，三點為正方點，在圖中畫出所有符合條件的點組成的圖形；②若直線：上存在點，使得，，三點為正方點，直接寫出m的取值范圍．（備用圖）解：（1）點………1分（2）?2或3………3分（3）①畫出如圖所示的圖像………5分②或………7分31、（2018北京朝陽區(qū)二模）對于平面直角坐標系xOy中的點P和直線m，給出如下定義：若存在一點P，使得點P到直線m的距離等于1，則稱P為直線m的平行點．（1）當直線m的表達式為y=x時， ①在點P1（1，1），P2（0，），P3（，）中，直線m的平行點是；②⊙O的半徑為，點Q在⊙O上，若點Q為直線m的平行點，求點Q的坐標.（2）點A的坐標為（n，0），⊙A半徑等于1，若⊙A上存在直線的平行點，直接寫出n的取值范圍．答案：（1）①P2，P3……………………2分②解：由題意可知，直線m的所有平行點組成平行于直線m，且到直線m的距離為1的直線.設該直線與x軸交于點A，與y軸交于點B.如圖1，當點B在原點上方時，作OH⊥AB于點H，可知OH=1.由直線m的表達式為y=x，可知∠OAB=∠OBA=45°.所以OB=.直線AB與⊙O的交點即為滿足條件的點Q.連接OQ1，作Q1N⊥y軸于點N，可知OQ1=.在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3.所以BQ1=2.在Rt△BHQ1中，可求NQ1=NB=.所以ON=.所以點Q1的坐標為（，）.同理可求點Q2的坐標為（，）.……………4分如圖2，當點B在原點下方時，可求點Q3的坐標為（，）點Q4的坐標為（，）.………6分綜上所述，點Q的坐標為（，），（，），（，），（，）.（2）≤n≤.……………8分32、（2018北京東城區(qū)二模）研究發(fā)現(xiàn)，拋物線上的點到點F(0，1)的距離與到直線l：的距離相等.如圖1所示，若點P是拋物線上任意一點，PH⊥l于點H，則.基于上述發(fā)現(xiàn)，對于平面直角坐標系xOy中的點M，記點到點的距離與點到點的距離之和的最小值為d，稱d為點M關于拋物線的關聯(lián)距離；當時，稱點M為拋物線的關聯(lián)點.（1）在點，，，中，拋物線的關聯(lián)點是______；（2）如圖2，在矩形ABCD中，點，點C(t.①若t=4，點M在矩形ABCD上，求點M關于拋物線的關聯(lián)距離d的取值范圍；②若矩形ABCD上的所有點都是拋物線的關聯(lián)點，則t的取值范圍是__________.(1)-----------------------------------------------------------------2分（2）①當時，，，，，此時矩形上的所有點都在拋物線的下方，∴∴∵∴----------------------------------------------------------------------------------5分②------------------------------------------------------------------------8分33、（2018北京房山區(qū)二模）已知點P，Q為平面直角坐標系xOy中不重合的兩點，以點P為圓心且經(jīng)過點Q作⊙P，則稱點Q為⊙P的“關聯(lián)點”，⊙P為點Q的“關聯(lián)圓”.（1）已知⊙O的半徑為1，在點E（1，1），F(xiàn)（eq－\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)），M（0，－1）中，⊙O的“關聯(lián)點”為；（2）若點P（2，0），點Q（3，n），⊙Q為點P的“關聯(lián)圓”，且⊙Q的半徑為eq\r(5)，求n的值；（3）已知點D（0，2），點H（m，2），⊙D是點H的“關聯(lián)圓”，直線與x軸，y軸分別交于點A，B.若線段AB上存在⊙D的“關聯(lián)點”，求m的取值范圍.解：（1）①F，M.………………………2′（注：每正確1個得1分）（2）如圖1，過點Q作QH⊥x軸于H.∵PH=1，QH=n，PQ=eq\r(5)∴由勾股定理得，PH2+QH2=PQ2即解得，或－2.………4′（3）由，知A（3，0），B（0，4）∴可得AB=5I.如圖2（1），當⊙D與線段AB相切于點T時，連接DT.則DT⊥AB，∠DTB=90°∵∴可得DT=DH1=eq\f(6,5)∴…………………5′II.如圖2（2）,當⊙D過點A時，連接AD.由勾股定理得DA=eq\r(OD2+OA2)=DH2=EQ\R(13)……6′綜合I，II可得：或………………8′在平面直角坐標系xOy中，將任意兩點與之間的“直距”定義為：.例如：點M（1，），點N（3，），則.已知點A(1，0)、點B(-1，4).（1）則，；（2）如果直線AB上存在點C，使得為2，請你求出點C的坐標；（3）答案.（1），；………………2分（2）如圖：解法1：由點A和點B坐標可得，直線AB的解析式為y=-2x+2.設點C的坐標為（x，-2x+2），則，則點C的坐標為（0，2）或.解法2：由點A和點B坐標可得，直線AB的解析式為y=-2x+2.點C與點O之間的“直距”為2的運動軌跡為以點O為中心、對角線分別位于坐標軸上、對角線長度為4的正方形.設點C的坐標為（x，-2x+2），則利用直線解析式可求得，點C的坐標為（0，2）或.………………5分（3）的取值范圍為………………7分對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)，對于函數(shù)圖象上橫坐標之差為1的任意兩點，，都成立，則稱這個函數(shù)是限減函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個函數(shù)的限減系數(shù)．例如，函數(shù)，當取值和時，函數(shù)值分別為，，故，因此函數(shù)是限減函數(shù)，它的限減系數(shù)為．（1）寫出函數(shù)的限減系數(shù)；（2），已知（）是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，求的取值范圍．（3）已知函數(shù)的圖象上一點，過點作直線垂直于軸，將函數(shù)的圖象在點右側(cè)的部分關于直線翻折，其余部分保持不變，得到一個新函數(shù)的圖象，如果這個新函數(shù)是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，直接寫出點橫坐標的取值范圍．答案28．解：（1）函數(shù)的限減系數(shù)是2；（2）若，則，（，）和（，）是函數(shù)圖象上兩點，，與函數(shù)的限減系數(shù)不符，∴．若，（，）和（，）是函數(shù)圖象上橫坐標之差為1的任意兩點，則，，∵，且，∴，與函數(shù)的限減系數(shù)不符.∴．若，（，）和（，）是函數(shù)圖象上橫坐標之差為1的任意兩點，則，，∵，且，∴，當時，等號成立，故函數(shù)的限減系數(shù)．∴的取值范圍是．（3）．36．（2018北京市東城區(qū)初二期末）定義：任意兩個數(shù)，按規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，稱所得的新數(shù)為“如意數(shù)”.若直接寫出的“如意數(shù)”；如果,求的“如意數(shù)”，并證明“如意數(shù)”（3）已知，且的“如意數(shù)”，則(用含的式子表示).解：（1）37.（20