高中數(shù)學(xué)第4章1定積分的概念課時(shí)作業(yè)北師大版選修

PAGE1PAGE6【成才之路】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章1定積分的概念課時(shí)作業(yè)北師大版選修2-2一、選擇題1．一輛汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，汽車的速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)之間具有如下函數(shù)關(guān)系：v(t)＝eq\f(t2,2)＋6t.求汽車在0≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s時(shí)，將行駛時(shí)間等分成n段，下列關(guān)于n的取值中，所得估計(jì)值最精確的是()A．5 B．10C．20 D．50[答案]D[解析]將行駛時(shí)間等分得越細(xì)，得到的估計(jì)值越精確，故選D.2．已知曲線y＝f(x)在x軸下方，則由y＝f(x)，y＝0，x＝－1和x＝3所圍成的曲線梯形的面積S可表示為()A．eq\i\in(－1,3,)f(x)dx B．eq\i\in(－3,1,)f(x)dxC．－eq\i\in(－1,3,)f(x)dx D．－eq\i\in(－3,1,)f(x)dx[答案]C[解析]因?yàn)閒(x)位于x軸下方，故f(x)<0，∴eq\i\in(－1,3,)f(x)dx<0，故上述曲邊梯形的面積為－eq\i\in(－1,3,)f(x)dx.3．設(shè)f(x)＝x2＋x6，則與eq\i\in(－a,a,)f(x)dx的值一定相等的是()A．0 B．2eq\i\in(－a,a,)f(x)dxC．eq\i\in(－a,0,)f(x)dx D．eq\i\in(0,a,)f(x)dx[答案]B[解析]f(x)為偶函數(shù)，故它在[－a,0]上和[0，a]上的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，由定積分的幾何意義可知eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝eq\i\in(0,a,)f(x)dx.4.eq\i\in(1,4,)xdx表示平面區(qū)域的面積，則該平面區(qū)域用陰影表示為()[答案]B[解析]由定積分的幾何意義可得．5．(2014·黃岡檢測(cè))如圖所示，圖中曲線方程為y＝x2－1，用定積分表達(dá)圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是()A．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|B.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxC．eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx[答案]C[解析]面積S＝eq\i\in(0,1,)(1－x2)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx，故選C．二、填空題6．利用定積分的幾何意義在eq\i\in(0,3,)eq\r(9－x2)dx＝________.[答案]eq\f(9,4)π[解析]被積函數(shù)y＝eq\r(9－x2)表示的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半圓周，積分區(qū)間[0,3]由定積分的幾何意義可知此積分計(jì)算的是eq\f(1,4)圓的面積．所以有eq\i\in(0,3,)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,4)＝eq\f(9,4)π.7．根據(jù)定積分的幾何意義寫出下列定積分．(1)eq\i\in(－1,1,)xdx＝________；(2)∫eq\o\al(2π,0)cosxdx＝________.[答案](1)0(2)0[解析](1)如答圖①所示，eq\i\in(－1,1,)xdx＝－S＋S＝0.(2)如答圖②所示，∫eq\o\al(2π,0)cosxdx＝S1－S2＋S3＝0.8．若a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\s\up10(\f(π,4)),))xdx，b＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\s\up10(\f(π,4)),))sinxdx，c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\s\up10(\f(π,4)),))tanxdx，則三者之間的大小關(guān)系為_(kāi)_______．[答案]b<a<c[解析]x∈(0，eq\f(π,4))時(shí)，sinx<x<tanx，所以b<a<c.三、解答題9．用圖像表示下列定積分：(1)eq\i\in(1,2,)log2xdx；(2)eq\i\in(2,6,)xdx.[解析](1)eq\i\in(1,2,)log2xdx表示曲線y＝log2x，直線x＝1，x＝2及x軸圍成的曲邊梯形的面積，如圖中陰景部分所示．(2)eq\i\in(2,6,)xdx表示直線y＝x，x＝2，x＝6及x軸圍成的直角梯形的面積，如圖中陰影部分所示.一、選擇題1．已知eq\i\in(0,4,)f(x)dx＝4，則()A．2eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1 B．eq\i\in(0,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,4,)f(x)dx＝4C．eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝1 D．eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1[答案]B[解析]利用定積分的性質(zhì)解決．eq\i\in(0,4,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,4,)f(x)dx＝4.2．一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)＝2t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間所走的路程為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[答案]C[解析]所走的路程為eq\i\in(0,1,)2tdt，由定積分的幾何意義作圖求得eq\i\in(0,1,)2tdt＝1.3．由曲線y＝ex和x＝0，y＝2圍成圖形的面積S表示為()A．∫eq\o\al(ln2,0)exdx B．2ln2－∫eq\o\al(ln2,0)exdxC．∫eq\o\al(ln2,0)(2＋ex)dx D．以上都不對(duì)[答案]B[解析]如圖所示，可先求得由x軸，x＝0，x＝ln2和y＝ex圍成的曲邊梯形的面積Ⅰ即為∫eq\o\al(ln2,0)exdx，再由矩形面積2ln2減去該曲邊梯形面積可得所求面積S.4．某汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t(單位：h)時(shí)的速度為v(t)＝t2＋2t(單位：km/h)，那么它在3≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s(單位：km)可表示為()A．eq\i\in(3,4,)(t2＋2t)dt B．eq\i\in(3,4,)1dtC．t3＋2t2 D．eq\i\in(4,3,)(t2＋2t)dt[答案]A[分析]物體在某段時(shí)間內(nèi)行駛的路程可以用積分表示，其中被積函數(shù)是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)．[解析]如圖所示，陰影部分的面積表示汽車在3≤t≤4這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s，則s＝eq\i\in(3,4,)v(t)dt＝eq\i\in(3,4,)(t2＋2t)dt.故選A．[點(diǎn)評(píng)]實(shí)際生活中許多問(wèn)題都可以用定積分來(lái)解決．若質(zhì)點(diǎn)的速度為v(t)，則它在a≤t≤b這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.二、填空題5．由定積分的幾何意義，則eq\i\in(,a,)－aeq\r(a2－x2)dx的值(a>0)為_(kāi)_______．[答案]eq\f(π,2)a2[分析]利用定積分的幾何意義：當(dāng)曲邊梯形在x軸上方時(shí)，定積分的值取正，為曲邊梯形面積．[解析]此定積分的值可看成曲線y＝eq\r(a2－x2)，x＝a，x＝－a，y＝0圍成的曲邊梯形的面積．∵y＝eq\r(a2－x2)≥0，即x2＋y2＝a2(y≥0)表示圓心在原點(diǎn)，半徑為a的圓在x軸上方的半圓．∴eq\i\in(-a,a,)eq\r(a2－x2)dx＝eq\f(π,2)a2.[點(diǎn)評(píng)]弄清定積分表示什么圖形，并求相應(yīng)圖形的面積，即為所求定積分．6．利用求定積分定義求eq\i\in(-1,a,)x2dx的值為_(kāi)_______．[答案]3[解析]將區(qū)間[－1,2]n等分，得每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度h＝eq\f(3,n)，取ξi＝－1＋ih(i＝0,1,2，…，n－1)，作和Sn＝eq\i\su(i＝0,n－1,)(－1＋ih)2h＝nh－2h2eq\i\su(i＝0,n－1,i)＋h3eq\i\su(i＝0,n－1,i)2，于是eq\o(lim,\s\do4(n→＋∞))Sn＝3，即eq\i\in(-1,2,)x2dx＝3.[點(diǎn)評(píng)]利用定義求定積分時(shí)要注意將[－1,2]n等分，利用極限求定積分的值．三、解答題7．求定積分eq\i\in(-2,2,)2dx的大?。甗解析]由幾何意義知，eq\i\in(-2,2,)2dx表示由直線y＝2，x＝－2，x＝2，y＝0所圍成的矩形ABCD的面積．如圖所示．則eq\i\in(-2,2,)2dx＝4×2＝8.8．利用定積分的幾何意義比較下列各對(duì)積分值的大小．(1)eq\i\in(0,1,)x2dx與eq\i\in