第三章-剛體力學(xué)基礎(chǔ)

剛體力學(xué)基礎(chǔ)第三章剛體：任何情況下物體的大小和形狀都不發(fā)生變化，即物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。平動(dòng)(3個(gè)自由度)：可以歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。3-1剛體的基本運(yùn)動(dòng)一、剛體的基本運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)(3個(gè)自由度)

：對(duì)點(diǎn)、對(duì)軸（只討論定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）既平動(dòng)又轉(zhuǎn)動(dòng)：質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：各質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心都在一條固定不動(dòng)的直線（轉(zhuǎn)軸）上。轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)軸參考方向剛體上各質(zhì)點(diǎn)的位置、線速度、加速度一般不同，但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同描述剛體整體的運(yùn)動(dòng)用角量最方便。角速度方向規(guī)定為沿軸方向，指向用右手螺旋法則確定。加速轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致減速轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反an=v方/rat=v/t=wr/t=rβ二、剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若β為常數(shù)，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)比較－質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)和剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)

（線量關(guān)系與角量關(guān)系）質(zhì)點(diǎn)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)剛體繞定軸的勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)例題

一轉(zhuǎn)速為每分鐘150轉(zhuǎn)、半徑為0.2米的飛輪，因受到制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)過(guò)30秒停止轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：（1）β和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)

（2）t=6秒時(shí)飛輪的ω

（3）t=6秒時(shí)飛輪邊緣上任一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度分析：由每分鐘150轉(zhuǎn)可知而已知r=0.2mt=30sω=0可由公式求相應(yīng)的物理量解:(1)負(fù)號(hào)表示角加速度方向與角速度方向相反

（飛輪做勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)）所以在30秒時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為(2)(3)在t=6秒時(shí)刻飛輪邊緣上任一點(diǎn)的線速度和加速度可分別由公式得一力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面外(2)轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)(1)任意方向的力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩3-2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量F應(yīng)該理解為外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力只有平行分量對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)起作用如果有幾個(gè)外力矩作用在剛體上，則合力矩等于各個(gè)力矩的代數(shù)和力是引起質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因，而力矩是引起轉(zhuǎn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因Ｍ的方向由右手螺旋定則來(lái)確定，若先選定了轉(zhuǎn)軸的正方向，則M與轉(zhuǎn)軸方向一致時(shí)取正值，反之為負(fù)值轉(zhuǎn)動(dòng)平面二剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可由牛頓第二定律直接導(dǎo)出外力的合力內(nèi)力的合力質(zhì)點(diǎn)i的加速度假設(shè)都是位于質(zhì)點(diǎn)i所在的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)

得到：

ZMdfdFO

rdFd

dmdFn轉(zhuǎn)動(dòng)平面vvvvvvz將切向分量式兩邊同乘r，變換得(法向力的作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸,對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零).ZMdfdFO

rdFd

dm

dFn轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)定律vvvvvvz將力分解為作用在質(zhì)量元△m上的切向力和法向力對(duì)等式左邊求和得到外力矩合外力矩M內(nèi)力矩＝0轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上所有外力對(duì)該軸的合力矩。寫成矢量形式M＝J與地位相當(dāng)m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，J反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變而產(chǎn)生角加速度的原因。國(guó)際單位制中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為千克·米2（kg·m2）三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的形狀

實(shí)質(zhì)上與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的只有前兩個(gè)因素。形狀即質(zhì)量分布，與轉(zhuǎn)軸的位置結(jié)合決定轉(zhuǎn)軸到每個(gè)質(zhì)元的矢徑。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布剛體對(duì)某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之總和。面分布轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義及物理意義外力矩一定時(shí)，J越大，則β越小即剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越難改變例1、求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心。解:J是可加的，所以若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。注意只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ROdmZ例2、求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過(guò)盤心。解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。例3、求長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx(質(zhì)量為線分布)ABLXABL/2L/2CXoodxdx問(wèn)：求質(zhì)量m

,半徑R

的均勻球殼對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：取離軸線距離相等的點(diǎn)的集合為積分元m求質(zhì)量m

,半徑R

的均勻球體對(duì)直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量m解：以距中心，厚的球殼為積分元運(yùn)用上題球殼轉(zhuǎn)動(dòng)慣量結(jié)果計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例子勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J常見轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表(理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的意義,不要死記硬背)OrdrRmdmdm四平行軸定理其中JC表示相對(duì)通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，JA表示相對(duì)通過(guò)棒端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩軸平行，相距L/2。可見：推廣上述結(jié)論，若有任一軸與過(guò)質(zhì)心的軸(JC)平行，相距為d，剛體對(duì)該任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有：

J＝JC＋md2。這個(gè)結(jié)論稱為平行軸定理。在上個(gè)例題中zLCMz'取一個(gè)厚度無(wú)限小的薄板剛體，建立直角三維坐標(biāo)系，設(shè)薄板在OXY平面內(nèi)，則Z軸與平面垂直薄板對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量＝對(duì)X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直軸定理五剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例１、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體ｍ由靜止下落高度ｈ時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。mgP83

定滑輪特點(diǎn)：

1.繩兩端懸掛物體的位移、速度和加速相等。2.若考慮滑輪質(zhì)量，一般而言繩兩端拉力T1于T2不相等。mg解：作業(yè)P95

3-53-6預(yù)習(xí)3-33-43-3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理1力矩的功恒力矩的功等于力矩和角位移的乘積注意是標(biāo)量相乘與質(zhì)點(diǎn)的比較注意:1.對(duì)于剛體,內(nèi)力不作功,僅需考慮外力的功.(因?yàn)閯傮w質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位置不變)2.力矩的功實(shí)際上還是力做的功,在討論剛體時(shí),采用這種表述形式上比較方便.3.可以先求合力矩再求功！(與質(zhì)點(diǎn)求合功的不同!)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的對(duì)比二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半。三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理當(dāng)θ=θ1時(shí)，ω=ω1所以：合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律機(jī)械能守恒定律條件剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，若只有重力矩對(duì)剛體做功，其它外力矩都不做功，則剛體在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒

剛體的質(zhì)心距離零勢(shì)能面間的高度轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)能定理機(jī)械能守恒定理簡(jiǎn)單！不用求積分！例題1一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺角時(shí)的角加速度和角速度。（分別用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律求解）解：（用動(dòng)能定理解）

重力對(duì)軸的力矩為Ogdmdm重力矩所做的功為初位置：末位置：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理Ogdmdm（用機(jī)械能守恒定律解）假設(shè)棒在水平位置時(shí)的重力勢(shì)能為零勢(shì)能還可以求棒上任一點(diǎn)的線速度及加速度Ogdmdm簡(jiǎn)單！不用求積分！但要記住轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例2、一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩一端掛一質(zhì)量為ｍ的物體。忽略軸處摩擦，ｍ開始靜止時(shí)位于距地面ｈ高度，求物體剛到地面時(shí)的速率。mg解：對(duì)滑輪，滿足轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理，外力矩即拉力矩；對(duì)物體，滿足質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理（合力做功）對(duì)滑輪：對(duì)物體：角量與線量關(guān)系：mg用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理用機(jī)械能守恒定理合力（矩）所作的功等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量3-4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律一剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量O質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的矢徑與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢積定義為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量，用表示。對(duì)剛體而言，是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，剛體上每一點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量方向都相同，因此virimii剛體對(duì)軸的角動(dòng)量定義：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率。轉(zhuǎn)動(dòng)定律的另一種表達(dá)形式變形可得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理合外力矩在某時(shí)間段內(nèi)的沖量矩剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量（在某段時(shí)間內(nèi)）的增量等于同一時(shí)間間隔內(nèi)作用在剛體上的沖量矩合外力矩為零，則剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律若常量積分形式微分形式角動(dòng)量守恒定律的兩種情況：1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的剛體例：回轉(zhuǎn)儀2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員討論：判斷下列情況角動(dòng)量是否守恒（1）圓錐擺，作水平勻速運(yùn)動(dòng)的小球m對(duì)豎直軸OZ的角動(dòng)量。分析：小球受重力和張力的作用，重力與OZ軸平行，重力矩為零；張力通過(guò)OZ軸，張力矩為零，故角動(dòng)量守恒（2）繞水平軸自由擺動(dòng)的直棍分析：直棍受重力和拉力的作用，拉力通過(guò)O軸，拉力矩為零，重力矩?cái)[動(dòng)時(shí)不為零；故角動(dòng)量不守恒質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的比較例題一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M

的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m、速率為v的子彈射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a處,使桿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問(wèn)子彈的初速率為多少?MOlva解：把子彈和桿作為一個(gè)系統(tǒng),碰撞中