第二章 數(shù)值計(jì)算

第二章數(shù)值計(jì)算第一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的拆分

1利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣

①A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素。

此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。第二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的拆分2利用空矩陣刪除矩陣的元素

在MATLAB中，定義[]為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X=[]。注意，X=[]與clearX不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。第三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊矩陣1．通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。

rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。第四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊矩陣1．通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。

rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。第五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊矩陣2．用于專門(mén)學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。第六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊矩陣2．用于專門(mén)學(xué)科的特殊矩陣

(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。

第七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日特殊矩陣2．用于專門(mén)學(xué)科的特殊矩陣

(3)希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。

使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。第八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的其它運(yùn)算inv——

矩陣求逆det——

行列式的值eig——

矩陣的特征值diag——

對(duì)角矩陣

’

——

矩陣轉(zhuǎn)置sqrt——

矩陣開(kāi)方第九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日矩陣的一些特殊操作矩陣的變向

rot90:矩陣整體反時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度;rot90(a)fliplr:矩陣左右翻轉(zhuǎn);flipud:矩陣上下翻轉(zhuǎn);矩陣的抽取

diag:抽取主對(duì)角線;tril:抽取左下三角;triu:抽取右上三角;第十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日稀疏矩陣什么是稀疏矩陣？假若在m*n的矩陣中，非零元個(gè)數(shù)num<<m*n，我們可以稱之為稀疏矩陣，并稱t=num/(m*n)為矩陣的稀疏因子。通常認(rèn)為t<<0.05時(shí)稱為稀疏矩陣。

第十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日存儲(chǔ)稀疏矩陣時(shí)，往往只存放其中的非零元。稀疏矩陣的三元組表法是順序存儲(chǔ)方法的一種。采用這種方法時(shí)，線性表中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)稀疏矩陣的一個(gè)非零元素，其中包括3個(gè)字段，分別為該元素的行下標(biāo)、列下標(biāo)和值，結(jié)點(diǎn)間的次序按矩陣的行優(yōu)先順序排列。另外，用第0行的三個(gè)元素分別存儲(chǔ)矩陣的行數(shù)、列數(shù)和非零元數(shù)目。例如，矩陣A：5

007可以用三元組表示為0

2003440

000115147222在具體編程過(guò)程中，往往可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的n*3二數(shù)組來(lái)表示此三元組。即稀疏矩陣A可以用數(shù)組a[5][3]={{3,4,4},{1,1,5},{1,4,7},{2,2,2}}

來(lái)表示。第十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日稀疏矩陣的生成在MATLAB7中，生成稀疏矩陣用特殊的函數(shù)來(lái)進(jìn)行，這些函數(shù)有speye、spones、spdiags、sparse、find、full、spalloc、sprand和sprandn等。第十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日稀疏矩陣與全元素矩陣的相互轉(zhuǎn)換用來(lái)將稀疏矩陣和全元素矩陣相互轉(zhuǎn)換的函數(shù)有sparse、full和find等3個(gè)函數(shù)。注：find函數(shù)生成非中非零元素的位置

第十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日稀疏矩陣的操作對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行操作，主要由nnz、nonzeros、nzmax、sponse、spalloc、isspase、spyfun和spy等函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。第十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算1．基本算術(shù)運(yùn)算

MATLAB的基本算術(shù)運(yùn)算有：＋(加)、－(減)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，運(yùn)算是在矩陣意義下進(jìn)行的，單個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)運(yùn)算只是一種特例。第十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算(1)矩陣加減運(yùn)算

假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。第十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算(2)矩陣乘法

假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。第十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算(3)矩陣除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運(yùn)算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運(yùn)算可以實(shí)現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B(niǎo)/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

對(duì)于含有標(biāo)量的運(yùn)算，兩種除法運(yùn)算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設(shè)a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對(duì)于矩陣來(lái)說(shuō)，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對(duì)于矩陣運(yùn)算，一般A\B≠B/A。第十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算(4)矩陣的乘方

一個(gè)矩陣的乘方運(yùn)算可以表示成A^x，要求A為方陣，x為標(biāo)量。

第二十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日算術(shù)運(yùn)算2．點(diǎn)運(yùn)算

在MATLAB中，有一種特殊的運(yùn)算，因?yàn)槠溥\(yùn)算符是在有關(guān)算術(shù)運(yùn)算符前面加點(diǎn)，所以叫點(diǎn)運(yùn)算。點(diǎn)運(yùn)算符有.*、./、.\和.^。兩矩陣進(jìn)行點(diǎn)運(yùn)算是指它們的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。第二十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系運(yùn)算MATLAB提供了6種關(guān)系運(yùn)算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它們的含義不難理解，但要注意其書(shū)寫(xiě)方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號(hào)不盡相同。第二十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則當(dāng)兩個(gè)比較量是標(biāo)量時(shí)，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達(dá)式結(jié)果為1，否則為0。當(dāng)參與比較的量是兩個(gè)維數(shù)相同的矩陣時(shí)，比較是對(duì)兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第二十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系運(yùn)算符的運(yùn)算法則(3)

當(dāng)參與比較的一個(gè)是標(biāo)量，而另一個(gè)是矩陣時(shí)，則把標(biāo)量與矩陣的每一個(gè)元素按標(biāo)量關(guān)系運(yùn)算規(guī)則逐個(gè)比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。第二十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日邏輯運(yùn)算MATLAB提供3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和～(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：

(1)在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。

(2)設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，

a&ba,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1。

～a當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。第二十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日邏輯運(yùn)算(3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。(4)若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每個(gè)元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。第二十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日邏輯運(yùn)算(5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。(6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。第二十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式及運(yùn)算多項(xiàng)式的MATLAB表示法：如：P＝S3＋2S2＋3S＋4MATLAB可表示為系數(shù)向量

P＝[1234]第二十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式的生成直接輸入系數(shù)向量

>>p=[1234]P＝s3＋2s2＋3s＋4*

求多項(xiàng)式的根，可用函數(shù)roots（P）【例】r＝roots（P）

ans＝-1.6506-0.1747+1.5469i第二十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日若已知多項(xiàng)式根向量，可用poly（P）生成多項(xiàng)式【例】已知P1(s)＝(s+1)(s+2)(s+3)的根為：-1-2-3

則編寫(xiě)：P1＝poly（[-1,-2,-3]）

運(yùn)行后,得

P1＝

16116

表示已生成多項(xiàng)式為：P=s3+6s2+11s+6多項(xiàng)式的生成第三十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式運(yùn)算1．求多項(xiàng)式值polyval(p,x0)V=polyval(P1,1)V=242．多項(xiàng)式加、減:

*階次相同，低階缺項(xiàng)系數(shù)必須補(bǔ)0【例】：（s2+2s+1）+2s2P1=[121]；

P2=[200]；

P=P1+P2》P=321第三十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式運(yùn)算3．多項(xiàng)式乘法conv.（卷積）

(s+1)(s3+6s2+11s+6)P1=[11];P2=[16116];P3=conv(P1,P2)》P3=1717176→P3=s4+7s3+17s2+17s+6第三十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式運(yùn)算4．多項(xiàng)式除運(yùn)算deconva=[123];c=[413282718]d=deconv(c,a)c=413282718[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)第三十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式運(yùn)算5．部分分式展開(kāi)式residue[r,p,k]=residue(b,a)

b(s)r(1)

r(2)

r(n)----=--------+--------+...+--------+k(s)a(s)s-p(1)s-p(2)s-p(n)

p=[p(1),p(2),…p(n)]r=[r(1),r)2),….r(n)].k(s)直接項(xiàng)第三十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式運(yùn)算6．多項(xiàng)式微分運(yùn)算polyder【例】f(x)=2x5+5x4+4x2+x+4 p=[250414];h=polyder(p)

》h=1020081第三十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)例:x1+2x2=82x1+3x2=13

=方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00第三十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式擬合與插值在分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)中，常常要面臨將試驗(yàn)數(shù)據(jù)作解析描述的任務(wù)，這個(gè)問(wèn)題有曲線擬合和插值兩種方法。在曲線擬合中，假定已知曲線的規(guī)律，作曲線的最佳逼近，但不需要經(jīng)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)；在插值中，認(rèn)為數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的，求取其中描述點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)。第三十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日多項(xiàng)式擬合多項(xiàng)式的最小二乘曲線擬合使用polyfit，它需要曲線的x、y值，以及曲線的階數(shù)。曲線的階數(shù)：如果曲線的階數(shù)選擇的過(guò)小，擬合效果不好；如果曲線的階數(shù)過(guò)高，雖然數(shù)據(jù)點(diǎn)上看到效果好，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間會(huì)出現(xiàn)有數(shù)據(jù)振蕩的問(wèn)題，階數(shù)不宜過(guò)高，一般小于5階。靈活使用擬合第三十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日插值函數(shù)1、曲線插值函數(shù)interp1方法t=interp1(x,y,x0,’method’)x、y：原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，x0為進(jìn)行插值的數(shù)組，method為插值算法:線性插值('linear')，三次樣條插值('spline'),三次多項(xiàng)式插值(‘cubic’).如果x0出界，則對(duì)應(yīng)值為NaN第三十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日曲面（二維）插值插值函數(shù)：interp2，基本形式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)method包括linear:線性cubic:三次多項(xiàng)式nearest：粗略估計(jì)數(shù)據(jù)例程：ex43第四十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日元胞數(shù)組的創(chuàng)建1、直接生成單元數(shù)組用類似矩陣的記號(hào)將給復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)納入一個(gè)變量之下。和矩陣中的圓括號(hào)表示下標(biāo)類似，單元數(shù)組由大括號(hào)表示下標(biāo)。a={'ThisisthefirstCell.',[12;34];eye(3),{'Tom','Jane'}}A=[1x23char][2x2double][3x3double]{1x2cell}第四十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日元胞數(shù)組的創(chuàng)建2、使用cell函數(shù)生成元胞數(shù)組應(yīng)用舉例：>>A=cell(2,2)A=[][][][]>>A{1,1}=['富強(qiáng)''民主';'文明''廉潔']A=[2x4char][][][]第四十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日元胞數(shù)組的創(chuàng)建3、創(chuàng)建各元胞來(lái)創(chuàng)建元胞數(shù)組4、由各元胞內(nèi)容創(chuàng)建第四十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日單元數(shù)組的內(nèi)容的顯示>>celldisp(A)A{1,1}=ThisisthefirstCellA{2,1}=1 000 10001A{1,2}=1234A{2,2}{1}=TomA{2,2}{2}=Jane第四十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日單元數(shù)組的內(nèi)容的顯示用cellplot以圖形方式顯示元胞數(shù)組內(nèi)容Cellplot（A)

第四十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日單元數(shù)組的內(nèi)容的獲取1、取元胞數(shù)組的元素內(nèi)容

>>x1=A{1,2} x1= 12 34 >>x2=A{1,2}(2,2) x2= 4第四十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日單元數(shù)組的內(nèi)容的獲取2、取元胞數(shù)組的元素>>X3=A(1,2)3、使用deal函數(shù)取多個(gè)元胞元素的內(nèi)容>>[x4,x5,x6]=deal(A{[2,3,4]})第四十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)數(shù)組的創(chuàng)建1、直接輸入生成>>student.test=[995696876769877692];>>='WuQing';>>student.weight=68;>>student.height=1.72;>>student.num=2003214091;>>student.add='Schoolofcivilengneering.Tsinghuauniversity';>>student.tel='1381042679*';第四十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)數(shù)組的創(chuàng)建2、使用struct函數(shù)生成結(jié)構(gòu)型變量

ps(1)=struct(‘name’,’曲線1’,’color’,’red’,

‘position’,[0,0,300,300]);第四十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)數(shù)組成員的刪除使用函數(shù)rmfield從結(jié)構(gòu)數(shù)組中刪除成員變量>>ps=rmfield(ps,’test’) ps= 1x2structarraywithfields: name color position第五十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)數(shù)組的獲取和設(shè)置1、用“.”符號(hào)獲取2、用getfield獲取結(jié)構(gòu)數(shù)組的數(shù)據(jù)3、用setfield設(shè)置結(jié)構(gòu)數(shù)組的數(shù)據(jù)4、用fieldname獲取結(jié)構(gòu)數(shù)組的所有域第五十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日集中趨勢(shì)的測(cè)定在統(tǒng)計(jì)研究中，需要搜集大量數(shù)據(jù)并對(duì)其進(jìn)行加工整理，對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行整理之后發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)情況下數(shù)據(jù)都會(huì)呈現(xiàn)出一種鐘形分布，即各個(gè)變量值與中間位置的距離越近，出現(xiàn)的次數(shù)越多；與中間位置距離越遠(yuǎn)，出現(xiàn)的次數(shù)越少，從而形成了一種以中間值為中心的集中趨勢(shì)。這個(gè)集中趨勢(shì)是現(xiàn)象共性的特征，是現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)量表現(xiàn)。第五十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日集中趨勢(shì)的描述1．均值函數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)。（2）調(diào)和平均數(shù)。（3）幾何平均數(shù)第五十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日集中趨勢(shì)的描述2．中位數(shù)（中位次數(shù)）函數(shù)中位數(shù)是指全體數(shù)值按大小排列后位于中間的數(shù)值。 如果參數(shù)集合中包含有偶數(shù)個(gè)數(shù)字，中位數(shù)函數(shù)將返回位于中間的兩個(gè)數(shù)的平均值。第五十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日集中趨勢(shì)的描述3．眾數(shù)函數(shù)眾數(shù)是一組數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，眾數(shù)函數(shù)返回某一數(shù)組或數(shù)據(jù)區(qū)域中出現(xiàn)頻率最多的數(shù)值。4．最大（?。┲岛瘮?shù)最大（?。┲岛瘮?shù)可以返回?cái)?shù)據(jù)集中的最大（小）數(shù)值。第五十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日三種平均數(shù)的特點(diǎn)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，它用于對(duì)分類數(shù)據(jù)的概括性度量，其特點(diǎn)是不受極端值的影響，但它沒(méi)有利用全部數(shù)據(jù)信息，而且還具有不惟一性。一組數(shù)據(jù)可能有眾數(shù)，也可能沒(méi)有眾數(shù)；可能有一個(gè)眾數(shù)，也可能有多個(gè)眾數(shù)。中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按大小順序排序后處于中間位置上的變量，它主要用于對(duì)順序數(shù)據(jù)的概括性度量。均值是一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，它利用了全部數(shù)據(jù)信息，是概括一組數(shù)據(jù)最常用的一個(gè)值。第五十六頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日離中趨勢(shì)的測(cè)定在研究現(xiàn)象總體標(biāo)志的一般水平時(shí)，不僅要研究總體標(biāo)志的集中趨勢(shì)，還要研究總體標(biāo)志的離中趨勢(shì)，如研究?jī)r(jià)格背離價(jià)值的平均程度。研究離中趨勢(shì)可以通過(guò)計(jì)算標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)進(jìn)行。標(biāo)志變異指標(biāo)是同統(tǒng)計(jì)平均數(shù)相聯(lián)系的一種綜合指標(biāo)，用于度量隨機(jī)變量在取值區(qū)間內(nèi)的分布情況，主要有平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差、四分位數(shù)、百分位數(shù)等。在一般計(jì)算中，這些指標(biāo)計(jì)算是比較復(fù)雜的。第五十七頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)用來(lái)估算樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差，反映相對(duì)于平均值（mean）的離散程度，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差采用不偏估計(jì)式（亦即自由度＝n-1），其計(jì)算公式為第五十八頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)返回以參數(shù)形式給出的整個(gè)樣本總體的標(biāo)準(zhǔn)偏差，反映相對(duì)于平均值（mean）的離散程度。計(jì)算總體標(biāo)準(zhǔn)差使用整個(gè)總體的變量，通常采用偏性估計(jì)式（亦即自由度為n），其計(jì)算公式為第五十九頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日四分位數(shù)四分位數(shù)是將中值的前后兩部分?jǐn)?shù)值再等分為二，以數(shù)值小的一端算起，前半部的分區(qū)點(diǎn)稱為第1四分位數(shù)，后半部的分區(qū)點(diǎn)稱為第3四分位數(shù)，而中值即為第2四分位數(shù)。四分位數(shù)通常用于在銷售額和測(cè)量值數(shù)據(jù)集中對(duì)總體進(jìn)行分組。第六十頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日分布形態(tài)的測(cè)定只用集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)來(lái)表示所有數(shù)據(jù)，難免不夠準(zhǔn)確。分析總體次數(shù)的分布形態(tài)有助于識(shí)別整個(gè)總體的數(shù)量特征?？傮w的分布形態(tài)可以從兩個(gè)角度考慮，一是分布的對(duì)稱程度，另一個(gè)是分布的高低。前者的測(cè)定參數(shù)稱為偏度或偏斜度，后者的測(cè)定參數(shù)稱為峰度。峰度是掌握分布形態(tài)的另一指標(biāo)，它能描述分布的平緩或陡峭程度。如果峰度數(shù)值等于零，說(shuō)明分布為正態(tài)；如果峰度數(shù)值大于零，說(shuō)明分布呈陡峭狀態(tài)；如果峰度數(shù)值小于零，說(shuō)明分布形態(tài)趨于平緩。第六十一頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日偏度函數(shù)偏度函數(shù)返回分布的偏斜度。偏斜度反映以平均值為中心的分布的不對(duì)稱程度。正偏斜度表示不對(duì)稱邊的分布更趨向正值，負(fù)偏斜度表示不對(duì)稱邊的分布更趨向負(fù)值。其計(jì)算公式為第六十二頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日峰度函數(shù)峰度函數(shù)返回?cái)?shù)據(jù)集的峰值，表示次數(shù)分布高峰的起伏狀態(tài)。峰值反映與正態(tài)分布相比某一分布的尖銳度或平坦度。正峰值表示相對(duì)尖銳的分布，負(fù)峰值表示相對(duì)平坦的分布。其計(jì)算公式為第六十三頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)分析工具對(duì)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的一些常用統(tǒng)計(jì)量，比如均值、中位數(shù)、眾數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、峰度系數(shù)、偏度系數(shù)等，可以利用上述統(tǒng)計(jì)函數(shù)計(jì)算。但Matlab提供了一種更快捷的方法，就是描述統(tǒng)計(jì)工具。描述統(tǒng)計(jì)分析工具用于生成數(shù)據(jù)源區(qū)域中數(shù)據(jù)的單變量統(tǒng)計(jì)分析報(bào)表，它可以同時(shí)計(jì)算出一組數(shù)據(jù)的多個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量，提供有關(guān)數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)以及分布形態(tài)等方面的信息。第六十四頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分析1、極小化MATLAB提供了fmin和fmins兩個(gè)函數(shù)來(lái)求極值，它們分別尋找一維和n維函數(shù)的極值。它使用的單純性法搜索。函數(shù)計(jì)算量大，或搜索區(qū)內(nèi)有多極值，搜索的過(guò)程較長(zhǎng)，也可能找不到極值。如找不到極值，將停止運(yùn)行并提供解釋。尋找極大值點(diǎn)，重定義函數(shù)為-f(x)即可。第六十五頁(yè)，共七十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分析2、求零點(diǎn)函數(shù)fzero可以尋找一維函數(shù)的過(guò)零點(diǎn)。應(yīng)用：使用bode圖判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，要看幅頻特性過(guò)零點(diǎn)和相頻特性過(guò)1800點(diǎn)。