2025屆高考數(shù)學專項復(fù)習：阿基米德三角形【六大題型】含答案

2025屆高考數(shù)學專項復(fù)習阿基米德三角形

【六大題型】

阿基來德三角形【大我兼逐】

（題型歸納）

【題型1弦長與弦所在方程問題】...................................................................1

【題型2定點問題】................................................................................4

【題型3切線垂直問題】...........................................................................9

【題型4切線交點及其軌跡問題】..................................................................13

【題型5面積問題】...............................................................................18

【題型6最值問題】...............................................................................21

（命題規(guī)律

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，阿基

米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復(fù)習時要加強此類問題的訓練，靈活求解.

-----------------------------------------------------O［方法與技巧總結(jié)］O

【知識點1阿基米德三角形】

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊力B上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線,該直線

與以。點為中點的弦平行.

性質(zhì)3若直線Z與拋物線沒有公共點，以Z上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點（若直線I

方程為：岫+如+。=0,則定點的坐標為-絢.

\aa）

性質(zhì)4底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為黑.

8P

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小，

最小值為fA

Q［舉一反三）o

【題型1弦長與弦所在方程問題】

1.（23-24高二下?河南開封?期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)

學家、天文學家,不僅在物理學方面貢獻巨大,還享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線上任意兩點48處的

切線交于點P,稱為“阿基米德三角形”,當線段經(jīng)過拋物線焦點尸時，口具有以下特征：

⑴P點必在拋物線的準線上；⑵為直角三角形，且尸氏⑶PFLAB.已知過拋物線靖=

169焦點的直線I與拋物線交于A,B兩點，過點A,B處的切線交于點尸，若點P的橫坐標為2,則直線

的方程為（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.a?—4y+16=0D.必+40一16=0

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天

文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大,還享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線上任意兩點4B處的切線交

于點P,稱三角形E48為“阿基米德三角形”.已知拋物線。：靖=89的焦點為F,過4B兩點的直線

的方程為遮力-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形”下列結(jié)論不正確的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.點P的坐標為（聲,—2）

3.（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年~公元前212年）是古希臘偉大的物理學家，數(shù)學家

和天文學家，并享有''數(shù)學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該定

理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.若拋物線上任意

兩點處的切線交于點尸，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當線段經(jīng)過拋物線的焦點尸時，

具有以下特征：（1）P點必在拋物線的準線上；（3）0斤，48.若經(jīng)過拋物線爐=

8T的焦點的一條弦為“阿基米德三角形”為△&LB,且點P在直線x-y+6=Q±.,則直線AB的方

程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0C.x+y—2=0D.x+2y—2=0

4.（2024高三?全國?專題練習）人8為拋物線d=2加（「＞0）的弦，蟲如仇），紡）分別過AB作的拋物

線的切線交于點M（xo.yo），稱4AMB為阿基米德三角形,弦AB為阿基米德三角形的底邊.若弦AB過

焦點尸，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底邊AB的直線方程為gc—p（u+“o）=0；

C.是直角三角形；D.面積的最小值為2P2.

0

【題型2定點問題】

5.（23-24高二下?安徽?開學考試）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德

三角形”.對于拋物線C：y=a"給出如下三個條件:①焦點為網(wǎng)0《）；②準線為夕=—/；③與直線

2y-l=0相交所得弦長為2.

（1）從以上三個條件中選擇一個,求拋物線C的方程；

（2）已知是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點Q是拋物線。在弦兩端點處的兩條切線的

交點，若點Q恰在此拋物線的準線上，試判斷直線是否過定點？如果是，求出定點坐標;如果不是，

請說明理由.

6.（2024.湖南.三模）已知拋物線E:y2=2Px（p>0）的焦點為尸，過F且斜率為2的直線與E交于A,B兩

點，|AB|=10.

（1）求E的方程；

（2）直線Z:c=—4,過/上一點P作E的兩條切線尸尸M切點分別為求證:直線MN過定點，并

求出該定點坐標.

7.（2024.甘肅蘭州.一模）已知圓。過點P（4,l）,M（2,3）和N（2,—1）,且圓。與4軸交于點F,點、F是拋物

線E：X2=2py（p>0）的焦點.

（1）求圓。和拋物線E的方程；

（2）過點P作直線Z與拋物線交于不同的兩點4,8,過點4,8分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點

Q,試判斷直線QM與圓。的另一個交點。是否為定點，如果是，求出。點的坐標;如果不是，說明理由.

8.（2024?遼寧?三模）設(shè)拋物線C的方程為必=4/，/為直線l-.x=-m（m>0）上任意一點；過點河作拋物

線。的兩條切線MA,MB,切點分別為8（4點在第一象限）.

⑴當M的坐標為（―吟）時，求過河，人，B三點的圓的方程；

（2）求證:直線恒過定點；

（3）當m變化時,試探究直線I上是否存在點M，使ZWAB為直角三角形,若存在，有幾個這樣的點，說

明理由;若不存在，也請說明理由.

【題型3切線垂直問題】

9.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為爐=44,過點P作拋物線C的兩條切線,切點分

別為48.

（1）若點P坐標為（0,-1），求切線PA,PB的方程；

（2）若點P是拋物線C的準線上的任意一點,求證:切線P4和PB互相垂直.

10.（23—24高二上?河南駐馬店?期末）已知P是拋物線。:婿=4x的準線上任意一點，過點P作拋物線C的

兩條切線切點分別為

（1）若點P縱坐標為0,求此時拋物線C的切線方程；

（2）設(shè)直線PA,PB的斜率分別為甌M，求證：自?自為定值.

11.（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為"=甸,點P是拋物線C的準線上的任意一點,

過點P作拋物線。的兩條切線，切點分別為A8,點河是的中點.

（1）求證:切線上4和P8互相垂直；

（2）求證:直線PM馬y軸平行；

（3）求△出口面積的最小值.

12.（23-24高三下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習）已知橢圓C1：4+4=1，拋物線5與橢圓C］有相同的焦點，

拋物線G的頂點為原點，點尸是拋物線G的準線上任意一點，過點P作拋物線G的兩條切線PA.PB,

其中人、口為切點,設(shè)直線PA,PB的斜率分別為自，防

⑴求拋物線&的方程及自履的值;

⑵若直線AB交橢圓G于。兩點，&、$2分別是△B4B、AFCD的面積，求黑的最小值.

【題型4切線交點及其軌跡問題】

13.(2024.遼寧沈陽.模擬預(yù)測)已知拋物線后：/=29，過點T(U)的直線與拋物線E交于人，B兩點，設(shè)拋

物線E在點4口處的切線分別為h和①已知。與刀軸交于點M，，2與立軸交于點N,設(shè)。與12的交點

為P.

(1)證明：點P在定直線上；

(2)若△PMN面積為掾，求點P的坐標：

(3)若P,河，N,T四點共圓，求點P的坐標.

14.(24—25高三上?云南?階段練習)已知點P(g,%)是拋物線娟=2pt(p>0)上任意一點,則在點P處的切

線方程為“oU=p(x+g).若A,B是拋物線Co：y2=a1c(a>0)上的兩個動點，且使得在點A與點B處

的兩條切線相互垂直.

(1)當a=6時,設(shè)這兩條切線交于點Q,求點Q的軌跡方程；

(2)(i)求證：由點A,B及拋物線&的頂點所成三角形的重心的軌跡為一拋物線G；

(ii)對a再重復(fù)上述過程,又得一拋物線6，以此類推,設(shè)得到的拋物線序列為G，G，a，…，a，試

求Gz的方程.

°

15.(2024.廣西.二模)已知拋物線。:d=4,過點E(0,2)作直線交拋物線。于4,8兩點，過4,3兩點分別

作拋物線C的切線交于點P.

(1)證明：P在定直線上；

(2)若斤為拋物線C的焦點，證明：=

16.(2024.上海.三模)已知拋物線「靖=2"的焦點為F,過點7(1,1)的直線，與「交于A、B兩點.設(shè)「在

點入、8處的切線分別為。，如。與多軸交于點M，。與多軸交于點N,設(shè)。與。的交點為P.

(1)設(shè)點A橫坐標為a,求切線h的斜率，并證明FM工

(2)證明：點P必在直線y=c—1上；

⑶若P、M、N、T四點共圓，求點P的坐標.

...........日

【題型5面積問題】

17.（23-24高三上?河南濮陽?階段練習）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點處的兩條切線所圍成

的三角形△JR4B（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角

形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點R時，具有以下性質(zhì)：

①P點必在拋物線的準線上；

②24,尸B；

③

已知直線l：y=fc（s-l）與拋物線婿=4必交于人，口點，若M3=8,則拋物線的“阿基米德三角形”

的面積為（）

A.8V2B.4V2C.2V2D.V2

18.（2024.山西.模擬預(yù)測）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過

拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于4,8兩點，分別過兩點作拋物線的切線小力相交于

點尸，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性:①點P必在拋物線的準線上;②/XPAB為直角三角形，

且/為直角；③PRLAB,已知P為拋物線92=*的準線上一點，則阿基米德三角形R48面積的

最小值為（）

A.4-B.4-C.2D.1

24

19.（2024?河北秦皇島?二模）已知拋物線石：d=2y的焦點為F,點P是*軸下方的一點,過點P作E的兩條

切線"心，且，14分別交工軸于M,N兩點.

（1）求證：F,P,M,N四點共圓；

（2）過點F作V軸的垂線Z,兩直線分別交Z于4口兩點，求△上4B的面積的最小值.

20.（2024.河南.模擬預(yù)測）在直角坐標系xOy中，已知4=（4,y）,6=（力,—g）,且4?日=0.

（1）求點河⑶9）的軌跡「的方程；

（2）由圓22+g2=R2上任一點N?,yo）處的切線方程為XQX+yQy=1,類比其推導(dǎo)思想可得拋物線C:

y1=2px（p>0）上任一點N（g,%）處的切線方程為譏。=0（/（）+力）.現(xiàn)過直線化=一3上一點P（不在力軸

Q

上）作r的兩條切線，切點分別為QR若分別與立軸交于Q,R1，求詈％的取值范圍.

b"QR

【題型6最值問題】

21.（23-24高三?云南昆明?階段練習）過拋物線靖=2pc（p>0）的焦點尸作拋物線的弦，與拋物線交于4

B兩點，分別過人，8兩點作拋物線的切線4，L相交于點又常被稱作阿基米德三角形.

的面積S的最小值為（）

A.￡B.C.p2D.V2p2

22.（23—24高三上.湖南長沙.階段練習）48為拋物線〃=2pg（p>0）的弦，A（g,%）,3（狽紡）分別過AB

作的拋物線的切線交于點河（&,坊），稱△/MB為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若

弦過焦點F,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Tj+T2=2ic0B.底邊AB的直線方程為ga;—p（y+uo）=0；

C.A4MB是直角三角形；D.△⑷V陽面積的最小值為2P2.

_________畝

23.（2024.云南曲靖.一模）已知斜率為1的直線。交拋物線民〃=2";他>0）于兩點，線段48的中點

Q的橫坐標為2.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設(shè)拋物線E的焦點為尸，過點F的直線12與拋物線石交于M、N兩點,分別在點M、N處作拋物線E

的切線，兩條切線交于點P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的

直線的方程;若不存在，請說明理由.

24.（2024.河北.模擬預(yù)測）已知拋物線C:x2=2py（p>0）,過點F（O,2）的直線I與。交于人歸兩點，當直線I

與沙軸垂直時，04,08（其中。為坐標原點）.

（1）求。的準線方程；

（2）若點A在第一象限，直線I的傾斜角為銳角，過點4作。的切線與y軸交于點T,連接交。于另

一點為。，直線AD與y軸交于點Q,求與△AZZT面積之比的最大值.

...........由

1過關(guān)測試）

一、單選題

1.（2024?吉林白山"二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如

在化學中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計中用于裝飾燈等.在圓傕曲線中，稱圓錐曲線的弦與過

弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線。:媛=8c的焦點為F,頂點為

O,斜率為A的直線I過點F且與拋物線。交于M,N兩點，若△PMN為阿基米德三角形，則\OP\=

O

（）

A.VHB.2V3C.V13D.V14

2.（2024?青海西寧?二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.

阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如:若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為

定值.設(shè)拋物線y2=2Pxe>0），弦AB過焦點,/\ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值

為（）

12

A.yB.pC.2pD.4P2

3.（23-24高二"全國?課后作業(yè)）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米

德三角形,其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點

的兩條切線的交點在其準線上.設(shè)拋物線y2=2px[p>0）,弦過焦點尸，AABQ為阿基米德三角

形，則△人8。為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨著點4,8位置的變化,前三種情況都有可能

4.（2024.河北.三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學發(fā)

展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質(zhì).已知拋物

線才=4為過焦點的弦的兩個端點的切線相交于點則下列說法正確的是（）

A.河點必在直線①=—2上，且以48為直徑的圓過M點

B.河點必在直線必=-1上，但以48為直徑的圓不過河點

C.河點必在直線?=—2上，但以48為直徑的圓不過河點

D.河點必在直線必=—1上，且以4B為直徑的圓過河點

5.（23-24高三上?河南濮陽?階段練習）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點處的兩條切線所圍成

的三角形△ELB（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角

形”，當線段經(jīng)過拋物線的焦點F時，4PAB具有以下性質(zhì)：

①P點必在拋物線的準線上；：

②弘,服

...................................由

③尸F(xiàn)LAB.

已知直線l-.y=fc（x-l）與拋物線才=4n交于4口點，若\AB\=8，則拋物線的“阿基米德三角形”

頂點P的縱坐標為（）

A.±1B.±2C.±3D.±^-

6.（23-24高三?云南昆明?階段練習）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點斤作拋物線的弦與拋物線交于A、B

兩點，河為AB的中點，分別過A、B兩點作拋物線的切線1卜h相交于點P△上又常被稱作阿基米德

三角形.下面關(guān)于的描述：

①P點必在拋物線的準線上；

②AP_LPB；

③設(shè)A（x1,y1）＞B（x2,y2）,則ARIB的面積S的最小值為%；

?PF±AB；

⑤PAf平行于刀軸.

其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三?全國?專題練習）已知拋物線「："=加的焦點為F,直線，與拋物線「在第一象限相切于點

P,并且與直線y=-2和T軸分別相交于A,B兩點,直線P9與拋物線r的另一個交點為Q.過點B作

〃/斤交P斤于點。，若|PC|=|QR|,則|P川等于（）

附加結(jié)論:拋物線上兩個不同的點8的坐標分別為%）,8（如例），以入，8為切點的切線

相交于點P，我們稱弦為阿基米德的底邊.

定理:點P的坐標為（苦包,筍）；

推論:若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點。（0,m）（巾＞0），則另一頂點P的軌跡方程為

y=-m.

A.V5-1B.2+V5C.3+V5D.5+V5,

8.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家

和天文學家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理,并享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線的弦

.........由

與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，△Q4B為阿基米德三角形.拋

物線〃=2py（p>0）上有兩個不同的點人（如%）,口（狽統(tǒng)），以人，B為切點的拋物線的切線相交

于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）

（1）若弦4B過焦點，則△4BP為直角三角形且ZAPB=90°；

（2）點尸的坐標是（三丁,爺

（3）/\PAB的邊AB所在的直線方程為（x1+x2）x—2py—xrx2=0；

（4）ZVMB的邊AB上的中線與沙軸平行（或重合）.

A.⑵⑶⑷B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.⑴⑶⑷

二、多選題

9.（2024.山東.模擬預(yù)測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知拋物線C：x2=8y，阿基米德三角形上,弦AB過。的焦點尸,其中點A在第一象限，則下列說法正

確的是（）

A.點P的縱坐標為一2B.。的準線方程為劣=—2

C.若|人m=8,則AB的斜率為V3D.面積的最小值為16

10.（2024?湖南長沙?二模）過拋物線C：d=2py（p>0）的焦點F的直線與拋物線。相交于A,B兩點，以

A，B為切點作拋物線。的兩條切線L，3設(shè)21，L的交點為河，稱為阿基米德三角形.則關(guān)于阿

基米德三角形人上歸,下列說法正確的有（）

A.是直角三角形B.頂點河的軌跡是拋物線。的準線

C.是的高線D.面積的最小值為功2

11.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線。:d=向上兩個不

同的點，以A（g,%）,B（g,紡）為切點的切線交于P點.若弦人口過點F（0,l）,則下列說法正確的有

（）.

A.X1X2=—4：B.若0=2,則A點處的切線方程為①一0一1=0

C.存在點P,使得次?萬>0D.面積的最小值為4

....................0

三、填空題

12.（2024高三.全國.專題練習）拋物線的弦與過弦端點的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.

設(shè)拋物線為=4c,弦AB過焦點，△ABQ為阿基米德三角形，則的面積的最小值為.

13.（24-25高二上?上海?單元測試）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點4、口處的兩條切線所圍成的

△a4B（p為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段

48經(jīng)過拋物線的焦點斤時，具有以下性質(zhì)：

①P點必在拋物線的準線上;②上4，P8；③PF，4B.

已知直線Z：V=—1）與拋物線才=42交于48兩點，若|人引=8,則拋物線的“阿基米德三角形”

△MB的頂點P的坐標為（-1,2）（-1,-2）.

14.（23—24高三下.江西.階段練習）圓錐曲線。的弦AR與過弦的端點的兩條切線的交點P所圍成的

三角形叫做阿基米德三角形，若曲線。的方程為"=4,，弦過。的焦點歹，設(shè)4（電,納），

B（T2,紡），P（g,y°），則有g(shù)=*生，%=學，對于。的阿基米德三角形給出下列結(jié)論:①點P

在直線y=-1上；②甌4?=1；③心4+八?=0；④|P*2=|必||尸8|，其中所有正確結(jié)論的序號為

四、解

15.（23-24高三上?河北衡水?階段練習）著名古希臘數(shù)學家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的

面積公式S=a版，（a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓

（i）求。的面積；

（2）若直線Z：rr+2夕—3=0交。于A,B兩點，求\AB\.

.............恨

16.（23-24高二下?重氏階段練習）過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為4我們稱

為拋物線的阿基米德三角形，弦48與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“冏邊形”，且已知

“冏邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二.如圖，點P是圓Q-.x2+（y+5）2=4上的動

點，/XPAB是拋物線r：?2=2py（p>0）的阿基米德三角形，尸是拋物線「的焦點，且=6.

⑴求拋物線「的方程；

（2）利用題給的結(jié)論,求圖中“冏邊形”面積的取值范圍；

（3）設(shè)D是“圓邊形”的拋物線弧卷上的任意一動點（異于A,B兩點），過。作拋物線的切線I交阿基米

德三角形的兩切線邊PA,產(chǎn)B于M,N,證明：\AM\'\BN\=\PM\■|F2V|.

...................0

17.（23-24高三上?重慶九龍坡?階段練習）阿基米德（公元前287年——公元前212年,古希臘）不僅是著

名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率7T等于橢圓的長

半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓C："+鳥=l（a>0）的面積等于2兀，且橢

圓。的焦距為2瓜.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）點尸（4,0）是x軸上的定點，直線I與橢圓。交于不同的兩點人、已知A關(guān)于0軸的對稱點為

B點關(guān)于原點的對稱點為N,已知P、M、N三點共線,試探究直線I是否過定點.若過定點，求出定點坐

標;若不過定點,請說明理由.

18.（23-24高二下?湖北?階段練習）拋物線的弦與在弦兩端點處的切線所圍成的三角形被稱為‘阿基米

德三角形”對于拋物線Cry=2a"給出如下三個條件：

①焦點為尸（0,1）;②準線為?/=—1;③與直線旬―1=0相交所得弦長為1.

（1）從以上三個條件中選擇一個，求拋物線。的方程；

（2）已知是（1）中拋物線的"阿基米德三角形”，點Q是拋物線。在弦4B兩端點處的兩

條切線的交點，若直線48經(jīng)過點（0,3）,試判斷點Q是否在一條定直線上？如果是，求出定直線方程;如

果不是，請說明理由.

...............................................................H

19.（23-24高二下?上海?階段練習）過拋物線的一條弦的中點作平行于拋物線對稱軸的平行線（或與對稱

軸重合），交拋物線于一點，稱以該點及弦的端點為頂點的三角形為這條弦的阿基米德三角形（簡稱阿氏

三角形）.

現(xiàn)有拋物線M：y=a",直線2：,=60：+0（其中（1,6,。是常數(shù)，且a>0）,直線I交拋物線M于？1,8兩

點，設(shè)弦AB的阿氏三角形是AABC

（1）指出拋物線河的焦點坐標和準線方程；

⑵求△ABC的面積（用a,b,c表示）；

⑶稱4B的阿氏△4BC為一階的；AC、8c的阿氏△ACD'ABCE為二階的；AD、。。、CE、E8的阿

氏三角形為三階的；……，由此進行下去，記所有的k（%eN*）階阿氏三角形的面積之和為SB，探索與

Sk+1之間的關(guān)系，并求；i^（Si+S2H-----

.....”

麴基杲檐縣魯杉【△丈發(fā)型】

（題型歸納）O---------------------------------------------------------

【題型1弦長與弦所在方程問題】...................................................................1

【題型2定點問題】................................................................................4

【題型3切線垂直問題】...........................................................................9

【題型4切線交點及其軌跡問題】..................................................................13

【題型5面積問題】...............................................................................18

【題型6最值問題】...............................................................................21

（命題規(guī)律）O

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點、熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，阿基

米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復(fù)習時要加強此類問題的訓練，靈活求解.

Q［方法與技巧總結(jié)］O

【知火點1阿基米德三角形】

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊力B上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點Q的軌跡為一條直線,該直線

與以。點為中點的弦平行.

性質(zhì)3若直線Z與拋物線沒有公共點，以Z上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊AB過定點（若直線I

方程為：岫+如+。=0,則定點的坐標為-絢.

\aa）

性質(zhì)4底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為黑.

8P

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點，則頂點Q的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小，

最小值為fA

______S

Q［舉一反三）o

【題型1弦長與弦所在方程問題】

1.（23-24高二下?河南開封?期末）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)

學家、天文學家,不僅在物理學方面貢獻巨大,還享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線上任意兩點/,口處的

切線交于點P稱口為“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線焦點F時，/XPAB具有以下特征:

⑴9點必在拋物線的準線上；⑵為直角三角形，且MLPB；（3）PF±AB.已知過拋物線d=

164焦點的直線Z與拋物線交于A,B兩點，過點A,B處的切線交于點P,若點P的橫坐標為2,則直線

AB的方程為（）

A.x+2y—8=0B.x—2y+8=0C.T—4y+16=0D.a:+4y—16=0

［解題思路】根據(jù)“阿基米德三角形”的性質(zhì)直接可得點P的坐標，進而得解.

【解答過程】拋物線x2=16V的焦點F的坐標為（0,4）,準線方程為y=—4,

由題意知，APAB為''阿基米德三角形”，可得P點必在拋物線的準線上，

所以點P（2,-4），直線PF的斜率為4二（二Q=-4,

又因為所以直線AB的斜率為:，

所以直線4B的方程為9=\~2：+4，即2一49+16=0,

故選：C.

2.（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天

文學家,不僅在物理學方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學之神”的稱號.拋物線上任意兩點4B處的切線交

于點P,稱三角形上為“阿基米德三角形”.已知拋物線。：d=89的焦點為尸，過人，8兩點的直線

的方程為四田—3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形"AR4b下列結(jié)論不正確的是（）

A.\AB\=^-B.PA±PB

o

C.PF±ABD.點P的坐標為（3,一2）

【解題思路】聯(lián)立方程可解得A（-￥"4）,B（4V^6）,則|陽=挈，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得以=—4也=庖可

判斷_B4_LPB,利用點斜式可求得兩條切線方程〃^+33+2=0和孤±一9一6=0,聯(lián)立求「（苗￡,—2）,

再求kpF=",可判斷PF_LAB.

【解答過程】聯(lián)立方程卜”;弛+6=。，消去，得：3靖_20夕+12=0,解得%=,或統(tǒng)=6

I6一（Syo

即A（—竽（）戶（4依6）,則|AB|=含A正確；

工2=劭,即夕=?式=亨

對于人（—學,4）,8（47^6）,切線斜率分別為以=—乎也

kAkB=—l,^PAJ_PB,_B正確；

在點A的切線方程為g—曰=_^^~（/+,即V3x+3g+2=0

同理可得在點B的切線方程為-y-6=0

聯(lián)立方程（2"+”2:0,解得卜=竽，即p（孑，_2）,D不正確；

[V3a;-y-6=02=-2'3/

V/0,2）,貝"kPF=2=一信心=今

3

：.kPFkAB=—l,即PF_LAB,C正確；

故選：D.

3.（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學家,數(shù)學家

和天文學家,并享有“數(shù)學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該定

理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.若拋物線上任意

兩點處的切線交于點P,則口為“阿基米德三角形”，且當線段48經(jīng)過拋物線的焦點F時，

△MB具有以下特征：（1）P點必在拋物線的準線上；（2）取，。8；（3）PF±AB.若經(jīng)過拋物線媛=

8T的焦點的一條弦為48,“阿基米德三角形”為△B4B,且點P在直線力—夕+6=0上,則直線的方

程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2—0C.x+y—2=QD.x+2y—2=0

【解題思路】首先根據(jù)題意可得到P點在拋物線的準線工=-2上，又在直線c—夕+6=0上，從而可求出點P

的坐標；根據(jù)PF±AB,即可求出直線48的斜率，從而可求出直線AB的方程.

【解答過程】根據(jù)題意,可知P點在拋物線的準線①=一2上，又點P在直線c—g+6=0上，

所以P（—2,4），又F（2,0）,所以kPF=^-^=-l,

因為PFJ_AB,所以kAB=1,所以直線AB的方程為9一0=c—2,即劣一9一2=0.

故選：A.

4.（2024高三.全國?專題練習）AB為拋物線〃=2。貝0>0）的弦，蟲如如，紡）分別過作的拋物

線的切線交于點M（x0,y0）,稱4AMB為阿基米德三角形,弦為阿基米德三角形的底邊.若弦AB過

焦點F,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.Xi+x2=2x0B.底邊AB的直線方程為ga?—p（9+%）=0；

C.是直角三角形；D.面積的最小值為2".

【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得人處的切線方程，得出直線AM,■的方程為夕=包工一等和沙

P2P

=—x——，得至I工（為一名2），=圣—§,進而可判定A正確；

點M（xo,7/0）在直線AM,BM-h,進而得到底邊AB的直線方程，可判定B正確；

設(shè)直線AB-.y=kx+^,聯(lián)立方程組，根據(jù)kMA?k皿B=—1,可判定C正確；

3.

取4B的中點以，化簡得到4AMB的面積為S=p2（i+A；2產(chǎn)，可判定。不正確.

【解答過程】如圖：

X=

~iM

ZV.21

依題意設(shè)461，珀，B（N2，敵），由方程62=2pg,可得沙二五，則yf=-x,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為以”=工的，同理直線BA/的斜率為kBM=—x2,

PP

可得4處的切線方程為：y—y1=—x^x—Xi），即g—孚~=-x^x—xi）,

p2pp

化簡可得沙=生2—孚，所以直線AM的方程為？/=包必一手，

p2pp2p

同理可得：直線'的方程為^=&_力一三",所以包力一"^=—re-,

p2pp2Pp2P

則工01-力2）/=彳-一￡，

p2p2p

因為劣iW62,解得x="1；一，即力1+g=2g，所以4正確；

因點"（如為）在直線AM,BM.h,

可得g?g-p（%+%）=0,宏o,力2-「（%+統(tǒng)）=0,

即4（力1,%）在gN—p?+g（））=0上，6（62,仍）在力o力一「（沙+為）=0上，

所以底邊4B的直線方程為x^x—p（y+yo）=0,所以B正確；

設(shè)直線4B:g=for+與，聯(lián)立方程組["2,整理得力2—2武力—召2=0,

2[x2=2py

則A=（―2p）2+4P2=8P2>0且力i+g=2pk,力避2=一。2,

_2

因為^MA,^MB—~,—=—=-1,所以M4-MB=0,

PPp2

所以△4MB是直角三角形，所以。正確；

取AB的中