第一節(jié)函數(shù)極限與連續(xù)

第一節(jié)函數(shù)極限與連續(xù)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日

第一章二、函數(shù)一、集合第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束映射與函數(shù)第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日無限區(qū)間點(diǎn)的鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日定義3.給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束或第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域函數(shù)圖形:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束自變量因變量第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域：

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例4.已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)時(shí),稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱

l

為周期(一般指最小正周期).周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束指數(shù)函數(shù)第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)復(fù)合映射機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束手電筒D引例.復(fù)合映射第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日定義.則當(dāng)由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射,時(shí),或機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個(gè)映射的情形.第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù),①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束—復(fù)合映射的特例②u

稱為中間變量.注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).可定義復(fù)合第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù)

.可表為故為初等函數(shù).又如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例5.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)

作業(yè)

P134、5、6(1),(3)、8、

9(1),(3)、10(1),(3)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日且備用題證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù)