高等數(shù)學(xué)D3-3泰勒公式

二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式第三節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用應(yīng)用目的－用多項(xiàng)式近似表示函數(shù).理論分析近似計(jì)算泰勒公式

第三章整理課件特點(diǎn):一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x

的一次多項(xiàng)式整理課件1.求

n

次近似多項(xiàng)式要求:故令則整理課件2.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有整理課件整理課件公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.泰勒(Taylor)中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)整理課件公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)

余項(xiàng)

.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立整理課件特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差整理課件稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式整理課件二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式整理課件其中麥克勞林公式整理課件麥克勞林公式類似可得其中整理課件其中麥克勞林公式整理課件已知其中因此可得麥克勞林公式整理課件三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.整理課件例1.

計(jì)算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:已知令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為整理課件說明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超過總誤差限為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.整理課件例2.

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.整理課件2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必達(dá)法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),整理課件3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:+整理課件內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.整理課件2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P142~P144)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)整理課件泰勒多項(xiàng)式逼近6422464224O整理課件泰勒多項(xiàng)式逼近642246O4224整理課件思考與練習(xí)

計(jì)算解:原式整理課件作業(yè)P1452;7;9(2);10(3)

整理課件泰勒

(1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.整理課件麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(172