小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之解行程問(wèn)題的方法

第一章

小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法解題技巧之

解行程問(wèn)題的方法已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問(wèn)題。解答行程問(wèn)題的關(guān)鍵是，首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向然后根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度×?xí)r間=路程路程÷速度=時(shí)間路程÷時(shí)間=速度行程問(wèn)題常見(jiàn)的類型是相遇問(wèn)題追及問(wèn)（即同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題相離問(wèn)（即相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）。（一）相遇問(wèn)題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)隨著時(shí)間的發(fā)展必然面對(duì)面地相遇，這類問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。1

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。它們的基本關(guān)系式如下：總路程=（甲速+乙速）×相遇時(shí)間相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速）另一個(gè)速度=甲乙速度和-已知的一個(gè)速度1.求路程（1）求兩地間的距離例1兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，一輛汽車每小時(shí)56千米，另一輛汽車每小時(shí)行63千米，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米（適于五年級(jí)程度）解兩輛汽車從同時(shí)相對(duì)開(kāi)出到相遇各行小時(shí)一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間就是這輛汽車行駛的路程。兩車行駛路程之和，就是兩地距離。2

56×4=224（千米）63×4=252（千米）224+252=476（千米）綜合算式：56×4+63×4=224+252=476（千米）答略。例2兩列火車同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行駛40千米，乙車每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后，兩列火車相距多少千米（適于五年級(jí)程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車的距離。480-（40+42）×53

可編輯修改=480-82×5=480-410=70（千米）答：5小時(shí)后兩列火車相距70千米。例3甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)5千米，乙每小時(shí)行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)、A兩地后又立即按原速度返回。從開(kāi)始走到第二次相遇，共用了6小時(shí)。、B兩地相距多少千米（適于五年級(jí)程度）解：從開(kāi)始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè)之長(zhǎng)；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個(gè)AB之長(zhǎng)（圖），這三個(gè)AB之長(zhǎng)是：（5+4）×6=54（千米）所以，A、B兩地相距的路程是：4

54÷3=18（千米）答略。例4兩列火車從甲乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開(kāi)來(lái)一列火車每小時(shí)行駛千米，第二列火車每小時(shí)行駛55千米。兩車相遇時(shí)，第一列火車比第二列火車多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級(jí)程度）解：兩車相遇時(shí)，兩車的路程差是千米。出現(xiàn)路程差的原因是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時(shí)比第二列火車多行（）千米。由此可求出兩車相遇的時(shí)間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。（60+55）×[20÷（60-55）]=115×[20÷5]=460（千米）答略。*5甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相而行，甲每小時(shí)6千米，乙每小時(shí)走5千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)千米的地方相遇。求、B兩地之間的距離。（適于五年級(jí)程度）5

可編輯修改解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了×2千米（35-2），甲比乙每小時(shí)多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出A、B兩地之間的距離。（6+5）×[×2÷（6-5）]=11×[×2÷1]=11×3=33（千米）答略。6

可編輯修改由兩車“在離中點(diǎn)2千米處相遇”可知，甲車比乙車少行：2×2=4（千米）所以，乙車行的路程是：甲車行的路程是：A、B兩站間的距離是：24+20=44（千米）同普通客車相遇。甲、乙兩城間相距多少千米（適于六年級(jí)程度）7

可編輯修改快車從乙城開(kāi)出，普通客車與快車相對(duì)而行。已知普通客車每小時(shí)行千米，快車每小時(shí)行80千米，可以求出兩車速度之和。又已知兩車相遇時(shí)間，可以按“速度之和×相遇時(shí)間”，求出兩車相對(duì)而行的總行程。普通客車已行駛普通客車與快車速度之和是：60+80=140（千米/小時(shí)）兩車相對(duì)而行的總路程是：140×4=560（千米）兩車所行的總路程占全程的比率是：甲、乙兩城之間相距為：綜合算式：8

可編輯修改答略。2）求各行多少例1兩地相距千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走千米，乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米（適于五年級(jí)程度）解：到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是：÷（+4）=5（小時(shí)）甲行的路程是：×5=（千米）乙行的路程是：4×5=20（千米）答略。9

例2甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)相走來(lái)，甲每小時(shí)走4米，乙每小時(shí)走6千米相遇后他們都走了1小時(shí)人各走了多少千（適于五年級(jí)程度）解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是：40÷（4+6）=4（小時(shí)）由于他們又都走了1小時(shí)，因此兩人都走了：4+1=5（小時(shí)）甲走的路程是：4×5=20（千米）乙走的路程是：6×5=30（千米）答略。例3兩列火車分別從甲、乙兩個(gè)火車站相對(duì)開(kāi)出，第一列火車每小時(shí)行千米，第二列火車每小時(shí)行千米在相遇時(shí)第一列火車比第二列火車多行了千米到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米（適于五年級(jí)程度）10

解：兩車同時(shí)開(kāi)出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程。從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是：÷（）=÷=4（小時(shí)）第一列火車行駛的路程是：×4=（千米）第二列火車行駛的路程是：×4=（千米）答略。11

*4東、西兩車站相距千米，兩列火車同時(shí)從兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)6小時(shí)相遇一列火車比第二列火車每小時(shí)快千米遇時(shí)這兩列火車各行了多少千適于五年級(jí)程度）解：兩列火車的速度和是：564÷6=94（千米/小時(shí)）第一列火車每小時(shí)行：（94+2）÷2=48（千米）第二列火車每小時(shí)行：48-2=46（千米）相遇時(shí)，第一列火車行：48×6=288（千米）第二列火車行：46×6=276（千米）答略。12

可編輯修改2.求相遇時(shí)間例1兩個(gè)城市之間的路程是500千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開(kāi)出，客車的平均速度是每小時(shí)55千米貨車的平均速度是每小時(shí)千米。兩車開(kāi)了幾小時(shí)以后相遇（適于五年級(jí)程度）解：已知兩個(gè)城市之間的路程是千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間。500÷（55+45）=500÷100=5（小時(shí)）答略。例2兩地之間的路程是420千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市13

可編輯修改答略。例3在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來(lái)相距千米。據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向我處前進(jìn)了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時(shí)前進(jìn)千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇（適于五年級(jí)程度）解：此題已給出總距離是千米，由“敵人已向我處前進(jìn)了千米”可知實(shí)際的總距離減少到（）千米。（）÷（+5）=÷=（小時(shí)）答：我軍出發(fā)小時(shí)后與敵人相遇。14

例4甲、乙兩地相距200千米，一列貨車由甲地開(kāi)往乙地要行駛5小時(shí)；一列客車由乙地開(kāi)往甲地需要行駛4小時(shí)如果兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以相遇（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級(jí)程度）解：此題用與平常說(shuō)法不同的方式給出了兩車的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間。200÷（200÷5+200÷4）=200÷（40+50）=200÷90≈（小時(shí)）答：兩車大約經(jīng)過(guò)小時(shí)相遇。例5在復(fù)線鐵路上，快車和慢車分別從兩個(gè)車站開(kāi)出，相向而行?？燔囓嚿黹L(zhǎng)是180米，速度為每秒鐘9米；慢車車身210米，車速為每秒鐘6米。從兩車頭相遇到兩車的尾部離開(kāi)，需要幾秒鐘（適于五年級(jí)程度）解：因?yàn)槭且詢绍囯x開(kāi)為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間，所以兩車經(jīng)過(guò)的路程是兩個(gè)車身的總長(zhǎng)?？傞L(zhǎng)除以兩車的速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開(kāi)所需要的時(shí)間。15

（180+210）÷（9+6）=390÷15=26（秒）答略。3.求速度例1甲乙兩個(gè)車站相距550千米兩列火車同時(shí)由兩站相向開(kāi)出小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行60千米。慢車每小時(shí)行多少千米（適于五年級(jí)程度）解：先求出速度和，再?gòu)乃俣群椭袦p去快車的速度，便得出慢車每小時(shí)行：550÷5-60=110-60=50（千米）答略。16

例2A、B兩個(gè)城市相距380千米?？蛙嚭拓涇噺膬蓚€(gè)城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇。貨車比客車每小時(shí)5千米。這兩列車每小時(shí)各行多少千米（適于五年級(jí)程度）解：客車每小時(shí)行：（380÷4-5）÷2=（95-5）÷2=45（千米）貨車每小時(shí)行：45+5=50（千米）答略。例3甲、乙兩個(gè)城市相距980千米，兩列火車由兩城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)10小時(shí)相遇?？燔嚸啃r(shí)行50千米，比慢車每小時(shí)多行多少千米（適于五年級(jí)程度）解：兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間得到兩車的速度和。從兩車的速度和中減去快車的速度得到慢車的速度用快車速度減去慢車的速度即得到題中所求。17

可編輯修改50-（980÷10-50）=50-（98-50）=50-48=2（千米）答略。例4甲、乙兩地相距486千米，快車與慢車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)6小時(shí)相遇已知快車與慢車的速度比是∶4求快車和慢車每小時(shí)各行多少千（適于六年級(jí)程度）兩車的速度和是：486÷6=81（千米/小時(shí)）快車每小時(shí)行：18

可編輯修改慢車每小時(shí)行：答略。例5兩輛汽車同時(shí)從相距465千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，小時(shí)后兩車還相距120千米。一輛汽車每小時(shí)行37千米。另一輛汽車每小時(shí)行多少千米（適于五年級(jí)程度）解：如果兩地間的距離減少千米，小時(shí)兩車正好相遇。也就是兩車小時(shí)行465-120=345千米，345千米除以小時(shí)，可以求出兩車速度之和。從速度之和減去一輛車的速度，得到另一輛車的速度。答略。例6甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時(shí)走5千米，先出發(fā)小時(shí)。乙騎自行車，2小時(shí)后，兩人在某地相遇。乙騎自行車每小時(shí)行多少千米（適于五年級(jí)程度）19

解：兩人相遇時(shí)，甲共走：+2=（小時(shí)）甲走的路程是：5×=14（千米）乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是：40-14=26（千米）所以，乙每小時(shí)行：26÷2=13（千米）綜合算式：[40-5×（+2）]÷2=[40-5×]÷2=[40-14]÷2=26÷220

=13（千米）答略。例7甲乙二人從相距50千米的兩地相對(duì)而行甲先出發(fā)每小時(shí)步行5千米。1小時(shí)后乙騎自行車出發(fā)，騎了2小時(shí)，兩人相距千米。乙每小時(shí)行駛多少千米（適于五年級(jí)程度）解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時(shí)內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到：50-5-11=34（千米）這時(shí)，原題就改變成“兩地相隔千米，甲乙二人分別從兩地同時(shí)相對(duì)而行。甲步行，乙騎自行車，甲每小時(shí)5千米。經(jīng)2小時(shí)兩人相遇。乙每小時(shí)行多少千米”由此可知，二人的速度和是：34÷2=17（千米/小時(shí)）乙每小時(shí)行駛的路程是：21

17-5=12（千米）綜合算式：（50-5-11）÷2-5=34÷2-5=17-5=12（千米）答略。（二）追及問(wèn)題追及問(wèn)題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問(wèn)題。根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：距離差=速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間=距離差÷速度差22

速度差=距離差÷追及時(shí)間速度差=快速-慢速解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來(lái)達(dá)到解題目的。*1甲、乙二人在同一條路上前后相距千米。他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)。甲在前，以每小時(shí)5千米的速度步行；乙在后，以每小時(shí)10千米的速度騎自行車追趕甲。幾小時(shí)后乙能追上甲（適于高年級(jí)程度）解：求乙?guī)仔r(shí)追上甲，先求乙每小時(shí)能追上甲的路程，是：10-5=5（千米）再看，相差的路程9千米中含有多少個(gè)5千米，即得到乙?guī)仔r(shí)追上甲。9÷5=（小時(shí)）綜合算式：9÷（10-5）=9÷523

=（小時(shí)）答略。*2甲、乙二人在相距6千米的兩地，同時(shí)同向出發(fā)。乙在前，每小時(shí)5千米；甲在后，每小時(shí)的速度是乙的倍。甲幾小時(shí)才能追上乙（適于高年級(jí)程度）解：甲每小時(shí)行：5×=6（千米）甲每小時(shí)能追上乙：6-5=1（千米）相差的路程6千米中，含有多少個(gè)千米，甲就用幾小時(shí)追上乙。6÷1=6（小時(shí)）答：甲6小時(shí)才能追上乙。*3甲、乙二人圍繞一條長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道練習(xí)長(zhǎng)跑。甲每分鐘跑米，乙每分鐘跑250米二人從跑線出發(fā)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲能追上（適于高年級(jí)程度）24

解：此題的運(yùn)動(dòng)路線是環(huán)形的求追上的時(shí)間是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平時(shí)所說(shuō)的“落一圈”，這一圈相當(dāng)于在直線上的400米，也就是追及的路程因此，甲追上乙的時(shí)間是：400÷（350-250）=400÷100=4（分鐘）答略。*4在解放戰(zhàn)爭(zhēng)的一次戰(zhàn)役中，我軍偵察到敵軍在我軍南6千米的某地，正以每小時(shí)千米的速度向南逃竄我軍立即以每小時(shí)千米的速度追擊敵人在追上敵人后，只用半小時(shí)就全殲敵軍。從開(kāi)始追擊到全殲敵軍，共用了多長(zhǎng)時(shí)間（適于高年級(jí)程度）解：敵我兩軍行進(jìn)的速度差是：（千米/小時(shí)）我軍追上敵軍用的時(shí)間是：25

6÷3=2（小時(shí)）從開(kāi)始追擊到全殲敵軍，共用的時(shí)間是：2+=（小時(shí)）綜合算式：60÷（）+=6÷3+=（小時(shí)）答略。*5一排解放軍從駐地出發(fā)去執(zhí)行任務(wù)每小時(shí)行千米開(kāi)駐地3千米時(shí)，排長(zhǎng)命令通訊員騎自行車回駐地取地圖。通訊員以每小時(shí)千米的速度回到駐地，取了地圖立即返回。通訊員從駐地出發(fā)，幾小時(shí)可以追上隊(duì)伍（適于高年級(jí)程度）解：通訊員離開(kāi)隊(duì)伍時(shí)，隊(duì)伍已離開(kāi)駐地3千米。通訊員的速度等于隊(duì)伍的2倍（10÷5=2），通訊員返回到駐地時(shí)，隊(duì)伍又前進(jìn)了（3÷2）千米。這樣，通訊員需追及的距離是（3+3÷2）千米，而速度差是（）千米/小時(shí)。26

根據(jù)“距離差÷速度差=時(shí)