空間向量數量積運算

導入新課復習

如果一個物體在力F的作用下產生位移s,那么力F所作的功

,為了在數學中體現“功”的這樣一個標量,我們引入了“數量積”的概念.當前1頁，總共24頁。1.平面向量數量積的定義

已知兩個非零向量,則叫做的數量積，記作,即OAB向量的夾角：B當前2頁，總共24頁。AOBababab4．平面向量的夾角：復習：當前3頁，總共24頁。2.平面向量的數量積的主要性質設a，b是兩個非零向量（1）a⊥ba×b=0數量積為零是判定兩非零向量垂直的充要條件;

（2）當a與b同向時,a·b=|a|·|b|;當a與b反向時,a·b=-|a|·|b|;特別地，

用于計算向量的模;

（3）用于計算向量的夾角.當前4頁，總共24頁。3.平面向量數量積滿足的運算律（1）交換律:（2）對數乘的結合律:（3）分配律:數量積不滿足結合律,即:當前5頁，總共24頁。空間向量的數量積運算當前6頁，總共24頁。知識要點1.兩個向量的夾角的定義如圖，已知兩個非零向量a，b.在空間任取一點O，可以作OA=a，OB=b，則角∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作:〈a，b〉OAB當前7頁，總共24頁。1）空間兩個向量的夾角的定義思考：1、〈a，b〉與〈b，a〉相等嗎？2、〈a，b〉與〈a，－b〉相等嗎？注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉空間向量的數量積運算當前8頁，總共24頁。2）兩個向量的數量積注：

①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②零向量與任意向量的數量積等于零。當前9頁，總共24頁。3)空間向量的數量積性質:

對于非零向量

，有：（求角的依據）（證明垂直的依據）（求向量的長度的依據)當前10頁，總共24頁。4)空間向量的數量積滿足的運算律下列命題成立嗎?①若,則②若,則③思考:當前11頁，總共24頁。1.向量a、b之間的夾角為30°，且|a|＝3，|b

|＝4，則a·b

＝__________，a2＝__________，

(a＋2b)·(a－b)＝__________.當前12頁，總共24頁。當前13頁，總共24頁。

范圍:0≤〈a，b〉≤π在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角就被唯一確定了，并且〈a，b〉=〈b，a〉.

如果〈a，b〉=π/2，則稱a與b互相垂直，并記作a⊥b.當前14頁，總共24頁。題型一利用數量積求夾角如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA與BC所成角的余弦值．【例1】當前15頁，總共24頁。

2.空間向量數量積的定義設OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作:|a|

已知空間兩個非零向量，則叫做的數量積，記作,即當前16頁，總共24頁。

（1）兩個向量的數量積是數量，而不是向量.

（2）規(guī)定:零向量與任意向量的數量積等于零.

（3）當前17頁，總共24頁。

若m、n是平面α內的兩條相交直線，且l⊥m，l⊥n.

則l⊥α.glmn4.線面垂直的判定定理（必修2）：當前18頁，總共24頁。高考鏈接1.（2006年四川卷）如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6

，下列向量的數量積中最大的是______.A.B.C.D.A當前19頁，總共24頁。解析：如圖，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，設邊長則∠P2P1P3=π/6,∴數量積中最大的是當前20頁，總共24頁。

（1）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，則|a+b|=_________.課堂練習

1.填空

1

方法一:發(fā)現|a+b|2+|a–b|2=2(|a|2+|b|2)帶入求得.有其他方法嗎？當前21頁，總共24頁。方法二:由|a–b|2=|a|2-2a·b+|b|2

帶入求得a·b=-2.∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2

得|a+b|=1方法三:數形結合法，發(fā)現形的特殊性.當前22頁，總共24頁。

（2）已知則a，b所成的夾角為_______.分析:根據兩向量夾角公式可得到所求結果.當前23頁，總共24頁。2.選擇設a，b，c是任意的非零空間向量，且相互不共線，則：①(a·b)c-(c·a)b=0②|a|-|b|<|a-b|③(b