高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)5兩角和與兩角差的三角函數(shù)

第章三函課題：角和與差的余弦、正弦、正一教學(xué)目：掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式和兩角和與差2.能用以上公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值.教學(xué)重：弦的和與差角公式及簡(jiǎn)單應(yīng).教學(xué)難：弦的和與差角公式的推.教學(xué)過(guò)：一、上一節(jié)學(xué)習(xí)了任意角的三函數(shù)，在研究三角函數(shù)時(shí)，還常常會(huì)遇到這樣的問題：已知任意角αβ的角函數(shù)值，如何α＋β、α－β或α的角函數(shù)?即α＋－β或α的角函數(shù)值與的三角函數(shù)值有什么關(guān)?二、1.數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離就等于這兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì).2.平面內(nèi)P（，（，｜PP｜

(x)21

2y)223.兩角和的余弦公式合圖推導(dǎo)出兩角和的余弦公)（1）相關(guān)點(diǎn)的標(biāo)（，cosα，αPcosα＋sin（α＋（cos（－β（β）.（2）公式推導(dǎo)｜PP｜

[cos(

2

sin2｜PP｜

[cos(2[sin(2又由｜｜＝｜｜得［cos（α＋）1］＋α＋β）［cos－）cosα］＋［sin－）α］整理，得兩角和的余弦公為：（α＋β）αcos－αβ（

）這個(gè)公式對(duì)于任意的角，β都成.注意：不能把cos（＋β）按分配律展開，應(yīng)按兩角和的余弦公式展.用

替代公式中的

得到兩角差的余弦公式：cosα－β）＝cosαcosβ＋sinsin（）總結(jié)：兩角之和的余弦等于這兩角余弦之積與其正弦之積的.(2)角之差的余等于這兩角余弦之積與其正弦之積的.三、例題分析例1.求下列式的值：（1）cos75（）（3）（4）cos23°cos22－sin23°sin22°

cos105例2.已

sin

3，為第二象限角，，第四象限角，求5

，例3.已知α、β為角，且cosα＝

4，cos（＋β）＝－，求cosβ的值565

．．．．．．例4.已知cos－β＝

1，sin－sinβ＝，求：cosα－β）的值2四、練習(xí)1.下列命題中的假命題)A.存在這樣的和β的，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβB.不存在無(wú)窮多個(gè)和的，使得cosα＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβC.對(duì)于任意的和β，有cosα＋β）coscosβ－sinsinＤ.不存在這樣α和值使得cosα＋）cosαcosβ－sinαsinβ2.在中，已知cos·cos＞sin·sin，一是鈍角三角形嗎？3.已知：∈（

3512，∈0cos（－α），（＋）－44513求：cosα＋β）.4.在中，已知sin＝

3，cos＝，求cos的值55.已知

2cos(2

，tan(

的值。五、1.平面內(nèi)P（ｙ（）兩點(diǎn)間的距離公式：P｜

(xx)21

2

)21

22.兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)。

第章三函課題：角和與差的余弦、正弦、正二教學(xué)目：掌握Ｓ、ＳT、的導(dǎo)過(guò)程及公式特征；2.利用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值與證明.教學(xué)重：角和與差的正弦公式及推導(dǎo)過(guò).教學(xué)難：活應(yīng)用所學(xué)公式進(jìn)行求值證.教學(xué)過(guò)：一、cos（＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

C

cos（－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβcos（－α）sin2

C

sin（

2

－）cos(二、講授新課

CC

((

cos(2sin(cos2

1.推導(dǎo)公式：把（

2

－θ）=sinθ中θ用α＋代替，得到sinα＋β）＝sinαcosβ＋cossin把β用β代替，得到

（Ｓ）sinα－β）＝sinαcosβ－cossin（）sincos當(dāng)（α＋）0時(shí)tan（α＋β）coscos如果cos≠，即α≠且β≠，得到：tan（＋）

tan

（T

）同理可得：tanα－）

tantan

（T

）2.公式應(yīng)用：例1.利用(差角式求°、15°正弦、余弦、正切值.例2.已知sin＝

2，α∈，3

3，β∈（π，42求（α－（α＋β（＋）例3.已知

5sin

，求證：

。例4.tan7126（1）（）1tan7126

1tantan75

（）

11tan15例5.已知：

tan

，

，

，

tan求與tan值。tan三、1.對(duì)等式sin（＋β）＝sinα＋的確認(rèn)識(shí)是)A.一定成立B.C.只有有限對(duì)、Ｄ.有無(wú)窮多α、β的值使等式成立，但不是對(duì)所α、成立2.若·＝，cosα·cosβ＝.3.已知

，cos(，，求值。241365

）24.若（＋）＝，tan（β－）＝，求tanα＋）值）54225.已知tan＝

11，tan（－β）＝－，求（β－α)（）25126.已知

tan

、tan

是方程

x2

的兩個(gè)根，試求：sin

3sin(

的值。7.證明

tan

3x2sinx2cosx2x四、1.兩角和（差）的正弦公式：sin（＋）＝αcosβ＋cosαsinβ(S)sin（－）＝αcos－αsinβ（2.兩角和（差）的正切公式：tan（±）＝（及T）幾個(gè)變式tan±β＝tan（±βtanαtan］1

tantanβ＝

tantan(

第章三函課題：角和與差的余弦、正弦、正三教學(xué)目：掌握Ｓ，及T的靈活應(yīng).2.綜合應(yīng)用上述公式的技能.教學(xué)重：，，的活應(yīng).教學(xué)難：活應(yīng)用和、差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證.教學(xué)過(guò)：一、和、差角公式：sin（±）＝sinαcosβcossinβ()cosα±β）＝cosαcosβinSβ(C)tanα±β）＝（Ttan公式推導(dǎo)順序C二、講授新課——

→C→→S→T→.公式S，都適用于α、β為意角，但運(yùn)用公式T

時(shí)須定、βα±β都不等于

2

＋ｋπ（ｋ∈Ｚ).例1.求證

sin(sin(sin2costan

例2.已知sin＝·sin2α＋求證：tan（＋β）

11

tan例3.求tan70°＋tan50°－

tan50°tan70°值例4.設(shè)

tan

，且

2

，

，求cos。2例5.設(shè)sin＋cosθ＝

，＜＜π，＋cosθ與tanθ－cotθ的.評(píng)述）在sinθ＋θ、sinθcos與sin－θ中，知其中之一便可求出另外兩（2解有關(guān)θ＋cosθsinθθ與sinθ－的題是三角函數(shù)中的一類重要問題三、1.tan230°－＋A（°－A＋（°－A（°－A＝（）.2.是否存在兩個(gè)銳角使求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

，tan32

同成？存，413.已α、β為銳角，α＝，tan（α－β），求53

的.

91050

）四、在解決三角函數(shù)問題時(shí)，常要將和角公式、差角公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等等綜合使.

第章三函課題：角和與差的余弦、正弦、正四教學(xué)目：2.理解公式：sinθ＋θ＝

a

sin（＋(其中

aa2

,sin

ba2

，θ為意角).3.靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問.教學(xué)重：利用兩角和與差的正弦式將asinθ＋cosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式.教學(xué)難：使學(xué)生理解并掌握將sinθ＋cosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問.教學(xué)過(guò)：一、講授新課利用兩角和與的正弦公式的倒寫形式，有時(shí)可以簡(jiǎn)化問。這節(jié)課，主要就是通過(guò)例題總結(jié)這類問題的應(yīng)用。例1.求證

3sin

2

6

cos

(其中令

2(sin2(sincoscossin6613sin,cos)26

sin(6例2.求證

3

3

cos

3sin

2(coscos23

23(其中令

13cos,2333

)總結(jié)：對(duì)于形如sin＋cos的子都可化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式。變形方式：

acos

a2(

a

a2

a

b2

分析：由于

(

a

a22

b)2)a22

及sinθ＋θ＝(1)若令

a

a

b＝sin，＝cosθa∴asin＋cos＝

2

（sinsinα＋coscosα）＝

cos（θ－α）（或＝

2

2

cos（－(2)若令

a

a2

＝cos

，則

a

b

＝

∴

a

sin＋cosα＝

（sincos

＋cossin

）＝

sin（＋

）總之，二、

a

sin＋cos均可化為某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，且有兩種形.

1.證(1)

sin()6(2)cosθ＋sinθ＝

sin（＋

4(3)

（sin+cos）=2cos(x-

4

)2.化下列各式為一個(gè)角的三角函數(shù)形式3(1)sinx＋cos(2)3sin－5(22(3)3sin－cos

(4)

66sin－）＋cos（－）23.求證：

sincosxtan(